高中数学抛物线_高考经典例题

①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ②焦准距：FKp

③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：OFOKp。 2⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。

⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。

⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。 3抛物线标准方程的四种形式：

y22px，y22px，x22py，x22py。

4抛物线y2px的图像和性质： ①焦点坐标是：2p，0， 2②准线方程是：xp。 22③焦半径公式：若点P(x0,y0)是抛物线y2px上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：PFx0④焦点弦长公式：过焦点弦长PQx12p， 2ppx2x1x2p 222y22⑤抛物线y2px上的动点可设为P(,y)或P(2pt,2pt)或P(x,y)其中y2px

2p5一般情况归纳： 方程 图象 k>0时开口向右 y=kx k<0时开口向左 k>0时开口向上 x=ky k<0时开口向下 22焦点 (k/4,0) 准线 定义特征 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离 x= ─k/4 (0,k/4) y= ─k/4 抛物线的定义：

例1：点M与点F (－4，0)的距离比它到直线l：x－6=0的距离，求点M的轨迹方程． 分析：点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等，符合抛物线定义．

2

答案：y=－16x 2

例2：斜率为1的直线l经过抛物线y=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长．

分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和．

2

解：如图8－3－1，y=4x的焦点为F (1，0)，则l的方程为y=x－1．

y24x2由消去y得x－6x+1=0． yx1设A (x1，y1)，B (x2，y2) 则x1+x2=6． 又A、B两点到准线的距离为A，B，则

AABBx11x21x1x22628

点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。

2

例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y=10x，求它的焦点坐标和准线方程；

(2) 已知抛物线的焦点是F (0，3)求它的标准方程；

2

(3) 已知抛物线方程为y=－mx(m>0)求它的焦点坐标和准线方程； (4) 求经过P (－4，－2)点的抛物线的标准方程；

分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P值(注意p>0)．特别是(3)题，要先化为标准形式：x2答案：(1) F，0，x11 y，则2p．(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解．

mm52151222

．(2) x=12y (3) F0，；(4) y=－x或x=－8y． ，y4m24m例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

（1）过点（－3，2）；

（2）焦点在直线x－2y－4=0上

分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论

22

解：（1）设所求的抛物线方程为y=－2px或x=2py（p＞0）， ∵过点（－3，2），

∴4=－2p（－3）或9=2p·2

∴p=

29或p= 342

4919x或x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=－ 3238（2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，

∴所求的抛物线方程为y=－

∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）

p=4， 22

∴p=8，此时抛物线方程y=16x；

p焦点为（0，－2）时，=2，

22

∴p=4，此时抛物线方程为x=－8y

22

∴所求的抛物线的方程为y=16x或x=－8y， 对应的准线方程分别是x=－4，y=2

当焦点为（4，0）时，

常用结论

2

① 过抛物线y＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

22

② 设A(x1，y)， 1B(x2，y2)是抛物线y＝2px上的两点， 则AB过F的充要条件是y1y2＝－p

2

③ 设A， B是抛物线y＝2px上的两点，O为原点， 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)

22

例5：过抛物线y=2px (p>0)的顶点O作弦OA⊥OB，与抛物线分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2=－4p．

分析：由OA⊥OB，得到OA、OB斜率之积等于－1，从而得到x1、x2，y1、y2之间的关系．又A、B是抛物线上的点，故(x1，y1)、(x2，y2)满足抛物线方程．从这几个关系式可以得到y1、y2的值．

证：由OA⊥OB，得KOAKOB22y1y2y12y2y12y21，即y1y2=－x1x2，又x1，x2，所以：x1x2，即2x1x22p2p4p2y12y22

． 而yy1y21y2≠0．所以y1y2=－4p． 4p2弦的问题

2

例1 A,B是抛物线y=2px(p>0)上的两点，满足OAOB(O为坐标原点)求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；

(2)直线AB经过一个定点

(3)作OMAB于M，求点M的轨迹方程

22

解：(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y1=2px1, y2=2px2,

222

∴y1y2=4px1x2,

∵OAOB, ∴x1x2+y1y2=0,

22

由此即可解得：x1x2=4p, y1y2=─4p (定值) (2)直线AB的斜率k=

y2y1y2y12p=2=,

x2x1y2y12y1y22p2py122p∴直线AB的方程为y─y1=(x─),

2py1y2即y(y1+y2)─y1y2=2px, 由(1)可得 y=直线AB过定点C(2p,0)

(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y=

2p(x─2p),

y1y22p(x─2p) (i),

y1y22py·= ─1 (ii)

y1y2x又ABOM, 故两直线的斜率之积为─1, 即

2

2

由(i),(ii)得x─2px+y=0 (x0)

解法2: 由OMAB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出

2

例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标

解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=

yy2x1x2, y=1,

22/

/

/

/

又设点A，B，M在准线l:x=─1/4上的射影分别为A,B,M, MM与y轴的交点为N，

11/

,|BF|=|BB|=x2+, 44111115∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)(|AB|─)=

2222241等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─)

4则|AF|=|AA|=x1+

/

1yk(x)2222

由4得16kx─8(k+2)x+k=0 y2x1k2

依题意|AB|=1k|x1─x2|=1k×==3,

16k2k2

228(k22)51∴k=1/2, 此时x=(x1+x2)== 224216k2

∴y= ±

22255即M(,), N(,─) 224242例3设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线yx2相交于B、C两点,点B、C在x轴上的射影分别为B1,C1, P是线段BC上的点,且适合

BPBB1,求POA的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形 PCCC1解析: 设B(x1,y1),C(x2,y2),P(x0,y0),Q(x,y)

yBPBB11, y0PCCC1y2y1y1y2y22y1y2 y1y1y21y2yx22222由得y(k4k)y6k0 yk(x2)26k212ky02 ①

k4kk4又

y0k代入①式得y04x04 ②

x02x02xx03x23由得 代入②式得:12x3y40

yy3y0y03由0得k426或k426, 又由①式知y0关于k是减函数且y012

1246y01246, 446y4且y4 33所以Q点轨迹为一线段(抠去一点): 12x3y40

(446y4且y4) 332例4 已知抛物线y2px,(p0),焦点为F,一直线l与抛物线交于A、B两点,且AFBF8,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0)

①求抛物线方程; ②求ABS面积的最大值 解: ①设A(x1,y1),B(x2,y2), AB中点 M(x0,y0) 由AFBF8得x1x2p8,x04p 22py12px122 又 得y1 y2p(xx),y21202ky22px2pppk所以 M(4,) 依题意k1, p4

p2k462抛物线方程为 y8x ②由M(2,y0)及kl令y0得xK22244(x2) , lAB:yy0y0y012y0 442160 (x2)得: y22y0y2y0y0 又由y8x和lAB:yy0SABS111222KSy2y1(4y0)4y04(2y016) 224SABS14222(16y0)(322y0)23()6 8392

例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M

的坐标

解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=

yy2x1x2, y=1,

22/

/

/

/

又设点A，B，M在准线l:x=─1/4上的射影分别为A,B,M, MM与y轴的交点为N，

11/

,|BF|=|BB|=x2+, 44111115∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)(|AB|─)=

2222241等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─)

4则|AF|=|AA|=x1+

/

1yk(x)2222由4得16kx─8(k+2)x+k=0 y2x1k2

依题意|AB|=1k|x1─x2|=1k×==3, 2216kk

228(k22)51∴k=1/2, 此时x=(x1+x2)==

2216k242

∴y= ±

22255即M(,), N(,─) 22424综合类(几何)

例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平

行于抛物线的对称轴

解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则

MQpy2px,yk(x)22p(k211)2p(1k21)P(,),k2k2p(k211)2p(1k21)Q(,)k2k2y2k(1k21)(k211)22(1k21)p(1k21)px.xyMyQy22pxy1y2y1y2p2P(x1,y1)x,ykk22py1yp2pp222Q(x2,y2)M(x3,y3)y2pxyk(x)ky2pykp0y1y2py2y1xxy32x1x122y1P(x1,y1)2py0yop22y2x11p(xp)22py1pp2y3(py1)2y22x1y1y1yoy22px(p0)yyoypM(,y0),Q(0,y0)22pp2y22px2y2y0pyAByxy22pyp20AB2y1y22(y1y2)24y1y24pyxby22py2pb04p28pb0,bhppR(,p)2221pABh2p2l1M(1,0)y24xP1P2P1P2l2l1l2l1f(k)f(k)l2l2f(k)f(k)l1yk(x1)y24x2222242k22k22k22kx(2k4)xk0P,xxyk(x1)y1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y)x1x2k2k2k2k

222k2kk(2,)y24xF(1,0)l2k2kk2k21k212k2f(k)1224(2k4)4k01k0lk0221k0k1f(k)k1k0或0k1k(1,0)f(k)2y22px(2pt12,2pt1)(2pt2,2pt2)kCD1t1t2py(t1t2)(x)2p122p(t1t2)(t1t2)[p(t12t2)]p(t1t2)(t12t2)0221p2p(t1t2)0t12t20CFDFC(x1,y1),D(x2,y2)xx1x2,y1y2y0y22px(p0)(x0,y0)222(p(t12t2),p(t1t2))x0、y02y12y2OAOBkOAkOB1(x，y)A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),y2px1,y2px2x1x24p2212222y12y2x0y0y(xy0)2y1y20y1y20y1y24pyy0(xx0),x00xx1x2y1y2024py0x0y2px,2x0y2py0y2p(xy)022020x00222p(x0y0)y1y2x0222p(x0y0)4px0222x0y02px00(x00)x0、y02x2y22px0(x0)A(2pt2,2pt)(xpt2)2(ypt)2p2(t4t2)x2y22pt22pty0B(2pt1,2pt1)t1t1t11t1tt1t2(x2y2)2px2pty0(1t2)(x2y22px)0x2y22px0(x0)l1l2l1l2Nl1l2AM7AN3BN6l2l1l2y22px(p0)(xAxxB,y0),xAxBMNp,M(pp,0),N(,0)22AM17,AN3(xA(xAp2)2pxA17p42p2x1)2pxA9A2p2ppxAp4xA1xBBN624y28x(1x4,y0).2xA22(x5)2y29(x6)2y22722(x5)y92y2pxy22px(0p1)PQPQA(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),P(x1,y1),Q(x2,y2)x22(5p)x160y1xxBx1A5P22pyAyB(xAxB)222pxAxB2xAxB22p2(5p)829pp222(x6)y272y2pxx22(6p)x90x2xCxD6p2y2yCyD22p(xCxD)y122P2xAxBy29pp2x1x21,y1y20PQ112SABQSAPQSBPQSABQ1PQyAyB22P102p82p(1p)0p1p1lCxA(1,0)B(0,8)lClClCABlB'OxCy22px(p0)lykx(k0)A(1,0)B(0,8)2x11y1k,22lA'(x1,y1)B'(x2,y2)y1k1,x11pk2k10kk21x,1k21y2k;1k21x2y28k,22y82k1,x24k2k2116k2p2,x22,22(k1)k1k1''AB28(k1)(k21)216ky.2p.2222k21(k1)k1151515251545kpxCy2xABlA'(x1,y1)p0k0kly222525B'(x2,y2)B'OxOA'OA1OB'OB8x28cosy28sinBOA90B'OA'90x1cos(90)siny1sin(90)cosx10x20A'(sin,cos)B'(8cos,8sin)A'B'225455251cos2psin,233'pyxsincos8sincosBOBlCtanl255552sin16pcos.15sin(90)cos1590xABCDABl：yx445ktan(45)ly22221cos(90)1sin22y2xxy2yb0y1y21CDyxABCDAB：yx4AB//CDCDyxbC(x1,y1)D(x2,y2)yxby1y2bCD11y1y2k1CD2(y1y2)24y1y22(14b)ABCDCDADCDABCD2kCD4b22(14b)4b2b28b120b6b2b6ABCDSCD2(124)50b22ABCDSCD2(18)18ABCDd104km30y22pxp0F(y22px,3py(x),3223pp(x),0)P(x0,y0)PFy322x(743)p2x0(743)p2PF23p23(743)pp|x0|||(423)p32322(423)pdp23p232323pddd104kmd104kmPFP(x0,y0)y22pxF(,0)224442xppp(x00)x00PFx2y24xllABCDABCDABCDx2y24xPFx0222(x2)2y24F(2,0)F(2,0)y28xABCDADBCBCBC4ABCDAD4A(x1,y1)y28,D(x2,y2)ADAFFDADly2(x2)yx26x40x1x26AD6410y2(x2).过焦点F的弦的倾斜角为ABCD1046ABCDABCDADBCAD4AD知抛物线y2=2px(p>0)，θ(θ≠0),且与抛物线相交于A、B两点. （1）求证：|AB|=

2p; 2sinp,0）. 2

(2)求|AB|的最小值.

（1）证明：如右图，焦点F的坐标为F（

设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ·（x-

p）,与抛物线方程联立，消去y并整理，得 2p2•tan2tanθ·x-(2p+ptanθ)x+=0.

42

2

2

2pptan2此方程的两根应为交点A、B的横坐标，根据韦达定理，有x1+x2=. 2tan设

A、B

到抛物线的准线

x=-

p的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有2|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p=（2）解析：因|AB|=所以，当θ=

2p. 2sin2p2

的定义域是0<θ<π，又sinθ≤1， 2sin时，|AB|有最小值2p. 22

12.已知抛物线y=2px(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证：线，你能得到什么结论 解析：（1）当AB⊥x轴时，m=n=p， ∴

11为定值，本题若推广到椭圆、双曲mn112=. mnp（2）当AB不垂直于x轴时，设AB:y=k(x-A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n, ∴m=

p), 2pp+x1,n=+x2. 22将AB方程代入抛物线方程，得

k2p2kx-(kp+2p)x+=0,

422

2

k2p2pxx2,21k∴ x•xp2.124∴

11mn =

mnmn=

x1x2p2. 2pppx1x2(x1x2)24本题若推广到椭圆，则有

112；若推广到双曲线，则要求弦AB与双曲线交于同一支，此时，=（e是椭圆的离心率）

mnep同样有

112=(e为双曲线的离心率). mnep2

13.如右图，M是抛物线y=x上的一点，动弦 ME、MF分别交x轴于A、B两点，且|MA|=|MB|.

（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；

（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程.

2

（1）证明：设M（y0,y0），直线ME的斜率为k(k>0),则直线MF的斜率为-k，

2

直线ME的方程为y-y0=k(x-y0).

2yy0k(xy0),由得

2yx.ky-y+y0(1-ky0)=0. 解得y0·yE=

2

y0(1ky0),

k1ky0(1ky0)2∴yE=,∴xE=. 2kk1ky0(1ky0)2同理可得yF=,∴xF=. 2kk∴kEF=

yEyF1（定值）.

xExF2y02

2

（2）解析：当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1，由（1）得E（（1-y0）,（1-y0)）F（（1+y0）,-(1+y0)）. 设重心G（x,y），则有

2xMxExF23y0x,33 yyMyEyFy0.33消去参数y0,得y=

2

12 (x>0). x927tOM+(1-t)ON(t∈R),点

14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1,-3）、N（5，1），若点C满足OC=C的轨迹与抛物线y=4x交于A、B两点. （1）求证：OA⊥OB;

2

(2)在x轴上是否存在一点P（m,0），使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点.若存在，请求出m的

值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.

（1）证明：由OC=tOM+(1-t)ON(t∈R)知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：y+3=即y=x-4. 由1(3)·(x-1),4yx4,2y4x,(x-4)2=4xx2-12x+16=0.

∴x1x2=16，x1+x2=12，

∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16. ∴x1x2+y1y2=0.故OA⊥OB.

（2)解析：存在点P（4，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点. 由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，

22

故设弦所在的直线方程为：x=ky+4，代入y=x，得y-4ky-16=0, ∴y1+y2=4k,y1y2=-16.

y1y2y1y21616••kOA·kOB==-1. 22x1x2y1y216y1y244∴OA⊥OB,故以AB为直径的圆都过原点.

设弦AB的中点为M(x,y)， 则x=

11(x1+x2),y=(y1+y2). 222

x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k·(4k）+8=4k+8.

x2k24,2

∴弦AB的中点M的轨迹方程为：消去k，得y=2x-8.

y2k,