新人教版初二数学知识点

编辑：丁婕 第十一章 一次函数

知识点一：变量与函数

1.常量：在变化过程中，保持不变取值的量叫常量。 2.变量：在变化过程中，可以不断变化取值的量叫变量。

3.函数：一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

4.函数的图像：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。

知识点二：一次函数

1.概念：若两个变量x, y间的关系式可以表示成y=kx+b(k, b为常数,k不为零)的形式,则称y是x的一次函数。特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数(正比例函数是特殊的一次函数)。

2.一次函数的性质:

(1)当k＞0时,y随x的增大而增大； (2)当k＜0时,y随x的增大而减小； (3)函数图象经过定点（0，b）。 3.正比例函数的性质:

(1)当k＞0时,图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； (2)当k＜0时,图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小； (3)函数图象经过定点（0，0）。 3.作正比例函数图像:

对于正比例函数y=kx,通常取两个点(0,0),(1,k),两点的连线就是其图象(两点确定一条直线),所以正比例函数的图象是一条直线。 4.作一次函数图像:

通常取直线与坐标轴的交点来画它的图象。在x轴上的交点(-b／k,0),y轴上的交点(0,b) 5.一次函数y=kx+b的图像的位置与k,b符号的关系: (1)k﹥0,b﹥0时，图象经过第一、二、三象限； (2)k﹥0,b﹤0时，图象经过第一、三、四象限； (3)k< 0,b﹥0时，图象经过第一、二、四象限； (4)k< 0,b﹤0时, 图像经过第二、三、四象限；

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(5)k﹥0,b= 0时，图象经过第一、三象限； (6)k< 0,b= 0时，图象经过第二、四象限。

知识点三：一次函数与一元一次方程

议一议：一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？

从”数”的方面看,当一次函数 y=0.5x+1 的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程0.5x+1=0 的解；从“形”的方面看,函数 y=0.5x+1 与 x 轴交点的横坐标即为方程 0.5x+1=0 的解。

第十二章 数据的描述

知识点一：常见的统计图表

1.条形图，如下： 100806040200第一季度第二季度第三季度第四季度东部北部

特点：①能够显示每组中的具体数据；②易于比较数据之间的差别。 2.扇形图，如下：

第一季度第二季度第三季度第四季度

特点：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比；

②易于显示每组数据相对于总数的大小。

3.折线图，如下：

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4035302520151050第一季度第二季度第三季度第四季度西部

特点：易于显示数据的变化趋势。

4.频数与频率：一般我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比为频率，频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量，频率×100%就是百分比。如下：

5.组数和组距：我们把分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距。

此表为频数分布表，该表中组数为8，组距为5。

6.如下反映频数分布表的统计图是频数分布直方图：

特点：①能够显示各组频数分布的情况；②易于显示各组之间频数的差别。

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知识点二：用图表描述数据

1.选择图表：当我们需要表示每个项目的具体数目和对比情况时用条形图，需要反映事物的变化情况时用折线图，需要反映各部分在总体中所占的比例时应用扇形图。

2.用直方图描述数据：组距和组数的确定没有固定的标准，要凭借经验和研究的具体问题来决定，通常数据越多，分成的组数也就越多，当数据在100个以内时，根据数据的多少通常分成5~12个组。

3.组中值：各个小组两个端点的平均数称为组中值。若将组中值作为横坐标，直方图可变为折线图。

第十三章 全等三角形

知识点一：全等三角形

1.概念: 能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等符号“≌”，记作：△ABC≌△DEF。注意：记两个三角形全等时, 要求把对应顶点的字母写在对应的位置上。 2.性质: 全等三角形对应边、对应角相等。 寻找对应元素的规律:

（1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角；

（4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边； （5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角； （6）对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （7）对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （8）可根据全等式找对应边和对应角。

知识点二：三角形全等的条件

 三边对应相等,两三角形全等(SSS)；

 两边和它们的夹角对应相等, 两三角形全等(SAS)；  两角和它们所夹的边对应相等, 两三角形全等(ASA)；  两角和其中一角所对的边对应相等, 两三角形全等(AAS)。  直角三角形:斜边和一条直角边对应相等, 两三角形全等(HL)。

知识点三：角平分线的性质

性质1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 性质2：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

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第十四章 轴对称

知识点一：轴对称现象

1.轴对称图形：（1）如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。注：对称轴是一条直线，不是线段或射线。 （2）轴对称图形至少有一条对称轴,最多可达无数条，如：圆。

例:①圆的对称轴是它的直径( × ) 直径是线段,而对称轴是直线(应说圆的对

称轴是过圆心的直线或直径所在的直线)；

②角的对称轴是它的角平分线( × ) 角平分线是射线而不是直线(应说角的对称

轴是角平分线所在的直线)；

③正方形的对角线是正方形的对称轴( × ) 对角线也是线段而不是直线。

2.轴对称：如果两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图关于这条直线轴

对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。(成轴对称的两图形本身可以不是轴对称图形)。

3.轴对称图形与轴对称的关系

①联系：都是沿一条直线折叠后能够互相重合;当把成轴对称的两个图形看成一个整体时,它

是一个轴对称图形；

②区别：轴对称图形是一个图形,轴对称是两个图形之间的关系。 4.垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线。

性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； ②与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

5.轴对称性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连接线段

的垂直平分线（同理，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连接线段的垂直平分线）；轴对称图形对应线段相等，对应角相等。

知识点二：轴对称变换

1.概念：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。成轴对称的两个图形的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到。

2.轴对称图形作法：只要作出已知几何图形的一些特殊点（如顶点、线段端点等）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 例：

①画点A关于直线L的对应点A´：过点A作对称轴L的垂线，垂足为B；延长AB至A´，使得B A´=AB ；点A´就是点A关于直线L的对应点。

②画线段AB关于L的对应线段A´B´：过点A作对称轴L的垂线A A´，使CA=C A´；过点A作对称轴L的垂线B B´，使DB=DB´；连接A´B´，A´B´即是关于直线L的对应线段。

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3.用坐标表示轴对称

点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）； 关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）； 关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）。

知识点三：等腰三角形

1.概念：有两边相等的三角形叫等腰三角形。 2.性质：

①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

②三线合一定理:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（也称为“三线合一”,它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴）。 注意:对于一般的等腰三角形,一定要说清哪边上的中线、高和哪个角的平分线；等边三角形有三组三线合一,任意一边上的中线和高及其所对的角的平分线。

3.等腰三角形判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简

写成“等角对等边”）。

知识点四：等边三角形

1.概念：有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。

2.性质：①等边三角形三个内角都相等且都为60°；②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

3.推理：直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；斜边上的中线等于斜边的一半。

第十五章 整式

知识点一：整式的概念

代数式中的一种有理式：不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式。 (分母中含有字母有除法运算的，那么式子叫做分式) 1.单项式：数与字母的乘积，单个的数或字母也是单项式

（1）单项式的系数：单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。( 如果一个单项式，只含有数字因数，系数是它本身，次数是0)。

（2）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数(非零常数的次数为0)。

2.多项式

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（1）概念：单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。

（2）多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。 （3）多项式的排列：

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

在做多项式的排列的题时注意：

(1)由于单项式的项，包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分，一起移动。

(2)有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意： a.先确认按照哪个字母的指数来排列。 b.确定按这个字母降幂排列，还是升幂排列。

3.整式: 单项式和多项式统称为整式。

知识点二：整式的加减运算

1.同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也叫同类项。(同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关)。

2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。不能合并的项单独作为一项，不可遗漏 3.整式加减实质就是去括号,合并同类项。

知识点三：整式的乘法

1.同底数幂的乘法法则：底数不变指数相加。am·an=am+n（m、n都是正整数） 2.幂的乘方法则：底数不变，指数相乘。（am）n＝amn（m，n都是正整数） 3.积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

(ab)n＝anbn(n是正整数) (abc)n＝anbncn(n为正整数)

4.单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

5.单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。m（a+b+c）=ma+mb+mc

6.多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

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7.平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。(a+ b)(a-b)=a－b 立方差公式：(a－b)( a-ab+ b) ＝a—b

立方和公式：(a+ b)( a-ab+ b) ＝a+ b

8.完全平方公式：两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。 两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两积的2倍。(首方加尾方，乘积两倍中间放)

(a＋b)＝a＋2ab＋b； (a－b)＝a－2ab＋b

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完全立方公式： (a+ b)³=a³+3a²b+3ab²+b³； (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

添括号：如果括号前是正号，括到括号里的各项符号不变，如果是负号，则改变符合 如：a +b +c=a+(b+ c) ； a—b—c=a－（b+ c）。

9.同底数幂相除：底数不变，指数相减。任何不等于0的数的0次幂都等于1。 10.单项式相除：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数不变作为商的一个因式。

知识点四：因式分解

1.概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解,也叫分解因式。

2.注意:(1)分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；

(2)分解因式的结果要以积的形式表示；

(3)每个因式都是整式,且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数； (4)必须分解到每个多项式不能再分解为止。

3.公因式:多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 4.正确找出多项式各项公因式的关键是：

(1)定系数:公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数(当系数是整数时) (2)定字母:字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 (3)定指数:相同字母的指数取各项中字母的最低次幂。

5.提公因式法:如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 步骤:(1)找出公因式；

(2)提公因式并确定另一个因式:当各项系数都是整数时, 公因式的系数应取各项系数的最大公约数。注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式，所得的商即是提

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公因式后剩下的一个因式 (提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同) ；

(3)把多项式化成两个因式乘积的形式。

口诀:找准公因式,一次要提净；全家都搬走,留1把家守；提负要变号,变形看奇偶。 注意:当多项式第一项系数是负数，通常先提出 “－ ”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。

6.公式法:若把乘法公式反过来, 就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 7.常用公式:平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式 注意:①首先提取公因式，然后考虑用公式，最终必是连乘式。

②先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。

8.十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。 这种方法有两种情况:

①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ． ②kx+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx+mx+n=(ax+b)(cx+d)． 图示如下： a b ╳ c d

例如：7x^2-19x-6因为 1 —3 ╳ 7 2

-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19， 所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．

第十六章 分式

知识点一：分式

1．分式的概念：如果整式A除以整式B, 可以表示成A的形式,且除式B中含有字母，那么

B称式子A为分式。其中, A叫分式的分子, B叫分式的分母。

B注意：①判断一个代数式是否为分式,不能将它变形,不能约分后去判断,即使它约分后是整

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式也不能说它就是整式,约分之前是分式这个式子就是分式。如:x2／x是分式,虽然约分之后等于x是整式,但约分前是分式。②π是常数,所以a/π不是分式而是整式。

2．有理式：整式和分式统称有理式。(整式的分母中不含有字母) 3．关于分式的几点说明:

(1)分式的分母中必须含有未知数；

(2)分式是两个整式相除的商式,对任意一个分式，分母都不为零； (3)分数线有除号和括号的作用,如：

abcd

表示（a＋b）÷(c－d)；

(4)“分式的值为零”包含两层意思：一是分式有意义(分母≠0)，二是分子的值为零，不要误解为“只要分子的值为零，分式的值就是零”。 4．一般的，对分式A／B都有：①分式有意义

②分式无意义 ③分式的值为0④分式的值大于0⑤分式的值小于0

B≠0； B=0； A=0且B≠0； 分子分母同号； 分子分母异号。

5．基本性质：分式的分子和分母同乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式值不变。

知识点二：分式的乘除法

1.分式的乘除法则:分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式的乘方是把分式的分子、分母各自乘方，再把所得的幂相除。

2.约分:把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。

注意:①当分式的分子分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式时,直接约分；

②分式的分子和分母都是多项式时，将分子和分母分解因式再约分。 3.最简分式: 一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，

一般要将一个分式化为最简分式。

知识点三：分式的加减法

1.通分:利用分式的基本性质 ,把异分母的分式化为同分分母的过程。

最简公分母:取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母。 通分原则:异分母通分时, 通常取各分母的最简公分母作为它们的共同分母。

通分步骤:先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分 母，同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子。

最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂及

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单独字母的幂的乘积。

2.法则:同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减,先通分,化

为同分母的分式,再按同分母分式的加减法法则进行计算。

知识点四：分式方程

1.概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2.分式方程的解法:①去分母(方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化为整式程若

遇到互为相反数时，不要忘了改变符号)；

②按解整式方程的步骤求出未知数的值；③验根。

3.分式方程的增根:在方程变形时，有时会产生不适合原方程的根即代入方程后分母

的值为０的根，叫做原方程的增根。 例题：m取 时，方程

xx32mx3会产生增根(或说无解)。

(思路)在这里增根就是x=3,但不能直接带入方程求m,所以要先去分母再将x=3带入求m

第十七章 反比例函数

知识点一：反比例函数

1.定义:一般地,形如 y＝k／x (k为常数,k≠0)的函数叫做反比例函数,其中x是自变量，y是x的函数,k是比例系数。若y=k/nx 此时比例系数为:k/n,如y=2/3x的比例系数为2/3 反比例函数的定义中需要注意什么？ (1)常数 k 称为比例系数,k是非零常数；

(2)自变量x次数不是1（是-1）,x 与 y 的积是非零常数； (3)除 k、x 、y三项以外,不含其他项。

反比例函数自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 2.反比例函数的三种表现形式:(k为常数,k≠0) (1)y＝k／x (2)xy=k

(3)y=kx(即:y等于x的负一次方) 3.k的几何含义:

反比例函数y＝k／x (k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y＝k／x (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线,设垂足分别为A、B,则所得矩形OAPB的面积为|k|

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知识点二：反比例函数的图象和性质

1.图像:

反比例函数的图像是双曲线,双曲线只能与坐标轴无限靠近,永远不能与坐标轴相交。因为在

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y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 2.性质:

当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而减小； 当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而增大。

第十八章 勾股定理

知识点一：探索勾股定理

勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a, b，斜边为c，那么a2 +b2=c2 ,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(一个直角三角形,以它的两直角边为边长所作的两正方形面积之和等于以它的斜边为边长所作的正方形的面积)

由此图可证c2=1/2ab*4+(a-b) 2= a2 +b2。

注意:电视机有多少英寸,指的是电视屏幕对角线的长度。

知识点二：勾股数

1.勾股定理的逆定理:若三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2，则该三角形是直角三角形。 在∆ABC中, a，b，c为三边长,其中 c为最大边, 若a2 +b2=c2,则∆ABC为直角三角形； 若a2 +b2>c2 ,则∆ABC为锐角三角形； 若a2 +b22.勾股数:满足a2 +b2=c2 的三个正整数(即能构成一个直角三角形三边的一组正整数)，称为勾股数(勾股数是正整数)。

规律:一组能构成直角三角形的三边的数,同时扩大或缩小同一倍数(即同乘以或除以同一个正数),仍能够成直角三角形。

一组勾股数的倍数不一定是勾股数,因为其倍数可能是小数,只有整数倍数才仍是勾股数。 常用勾股数:3,4,5(三四五) 6,8,10(3,4,5的两倍) 9,12,15(3,4,5的三倍)

5,12,13(5.12记一生) 8,15,17(八月十五在一起) 7,24,25(企鹅是二百五)

勾股数须知:连续的勾股数只有3,4,5 连续的偶数勾股数只有6,8,10

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第十九章 四边形

前提:在同一平面内

知识点一：平行四边形

1.定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.表示:四边形ABCD是平行四边形,记作“

ABCD”,读作“平行四边形ABCD ”，线段AC、

BD就是ABCD 的两条对角线。

3.性质:平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分。

4.面积公式:①平行四边形面积=底×高(S=ah，a是底，h是高)

②平行四边形面积=两组邻边的积×夹角的正弦值；如用α表示两边的夹

角，S表示平行四边形的面积，则S=a*b*sinα

5.周长公式:平行四边形周长=2×(底1+底2) (C=2(a+ b))

6.平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点；一般的平行四边形不是轴对称图形，特殊的平行四边形菱形、长方形、正方形是轴对称图形。

知识点二：平行四边形的判定

1.判定:(1)用定义判定:具备“两组对边分别平行”的条件就可判定四边形是平行四边形；

(2)判定定理1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)判定定理2:对角线互相平分的四边形是平行四边形； (4)判定定理3:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

2.中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 3.平行四边形中常用辅助线的添法: ⑴连结对角线或平移对角线；

⑵过顶点作对边的垂线构成直角三角形；

⑶连结对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线；

⑷连结顶点与对边上一点的线段并延长该线段，构造相似三角形或等面积三角形； ⑸过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。 具体示例：

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第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。

例1： 如左下图1，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AECF,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可） ⑴连结BF ⑵BFDE ⑶证明：连结DB,DF,设DB,AC交于点O

∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AOOC,DOOB ∵AEFC ∴AOAEOCFC 即OEOF ∴四边形EBFD为平行四边形 ∴BFDE

DCFOEA图1BA图2BEODC

第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。

例2 如右上图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC12，BD10，ABm，那么m的取值范围是（ ）

A.1m11 B.2m22 C.10m12 D.5m6 解：将线段DB沿DC方向平移，使得DBCE,DCBE,则有四边形CDBE为平行四边形,∵在ACE中, AC12,CEBD10,AE2AB2m

∴12102m1210，即22m22 解得1m11 故选A

第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

例3 已知：如左下图3，四边形ABCD为平行四边形 求证：ACBDABBCCDDA

证明：过A,D分别作AEBC于点E，DFBC的延长线于点F

∴ACAECEABBE(BCBE)ABBC2BEBC BDDFBF2222222222222222222(CD2CF2)(BCCF)2CD2BC22BCCF

2222则ACBDABBCCDDA2BCCF2BCBE ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB∥CD且ABCD,ADBC ∴ABCDCF ∵AEBDFC90 ∴ABEDCF ∴BECF ∴ACBDABBCCDDA

2222220 14

CDA3E1PDF2BE图3CFB图4AK

第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。

例4 已知：如右上图4，在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：APAB

证明：延长CF交BA的延长线于点K ∵四边形ABCD为正方形

∴AB∥CD且ABCD,CDAD,BADBCDD90

∴1K 又∵DDAK90,DFAF ∴CDF≌KAF ∴AKCDAB ∵CE00AD ∴CEDF

220∵BCDD90 ∴BCE≌CDF ∴12

∵1390 ∴2390 ∴CPB90,则KPB90 ∴APAB

第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。 例5 如左下图5，在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。

解：延长AE与BC的延长线相交于F，则有AED∽FEC,FAB∽FEC,AED∽

00001CD,DF1FAB

AADENFB图5CFBEC图6OD

第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线 例6 已知：如右上图6，在平行四边形ABCD中，ANBN,BE13BC,NE

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交BD于F，求BF:BD

解：连结AC交BD于点O,连结ON

∵四边形ABCD为平行四边形 ∴OAOC,OBOD∵ANBN ∴ON∥

BD2

12ON1BF2∵BEBC ∴BE:ON2:3 ∴

3FO3BF2∴ ∴BF:BD1:5 BO5

BC且ON12BC ∴

BEBFFO综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。

知识点三：矩形

1.定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形。 2.性质: (1)一般性质:具备平行四边形的所有性质；

(2)特殊性质:矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。

3.矩形既是轴对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）又是中心对称图形。 4.判定:①定义判定 ②有三个角是直角的四边形是矩形 ③对角线相等的平行四边形是矩形 5.推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

知识点四：菱形

1.定义:有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 2.性质:首先具有平行四边形的一切性质。 性质1:菱形的四条边都相等；

性质2:菱形的两条对角线互相垂直且平分,并且每一条对角线平分一组对角。 补充:①菱形既是轴对称,对称轴是两条对角线所在直线,又是中心对称图形；

②在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的3.面积公式:菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半 4.菱形的判定

①定义判定: 一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②判定定理1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形； ③判定定理2:四边都相等的四边形是菱形。

3倍。

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知识点五：正方形

1.定义:四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形，是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。 2.性质=菱形的性质+矩形的性质 3.判定：⑴对角线相等的菱形是正方形；

⑵有一个角为直角的菱形是正方形； ⑶对角线互相垂直的矩形是正方形； ⑷一组邻边相等的矩形是正方形；

⑸四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形； ⑹一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ⑺四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形。

知识点六：梯形

1.定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底

边，其中长边叫下底，短边叫上底；不平行的两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。

直角梯形：有一个角是直角的梯形；等腰梯形：两腰相等的梯形。

2.等腰梯形的性质：两条腰相等；在同一底上的两个底角相等；两对角线相等；是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线。

3.梯形的中位线： 两腰中点相连的线叫梯形的中位线(中位线性质：梯形的中位线平行与两底并且等于两底和的一半)

4.面积公式：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 等腰梯形面积公式=中位线×高 5.判定:⑴一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形（一组对边平行且不相

等的四边形是梯形）；

⑵两腰相等的梯形是等腰梯形；

⑶同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； ⑷有一个内角是直角的梯形是直角梯形； ⑸对角线相等的梯形是等腰梯形。

6.梯形中常用辅助线作法:①过底的顶点作另一底的垂线；②平移一腰(过一顶点作一腰的平行线) ；③平移对角线(过一顶点作一条对角线的平行线)；④延长两腰交于一点；⑤取一腰中点，另一腰两端点连接并延长；⑥取两底中点，过一底中点做两腰的平行线。

（1）平移对角线：平移一条对角线，使之经过梯形的另一个顶点。

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例1 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AC⊥BD,梯形的高CF为10，求梯形ABCD的面积。

分析：由于等腰梯形ABCD的对角线AC⊥BD且AC=BD，所以我们可以平移一对角线构造一等腰直角三角形，通过验证发现梯形的面积与这个三角形的面积相等，因此只需求出三角形的面积即可。

解：过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E.

∵DC∥AE；∴四边形CDBE为平行边形；∴DB=CE,DC=BE ∵梯形ABCD为等腰梯形；∴AD=BC,AC=BD；∴AC=CE ∴△ADC≌△CBE即S△ADC=S△CBE；∴S梯形ABCD= S△ACE ∵AC⊥BD，CE∥DB；∴AC⊥CE；∴△ACE为等腰直角三角形 ∵CF为高, ∴CF也为等腰直角三角形ACE斜边上的中线 ∵CF=10，∴AE=20

∴S梯形ABCD= S△ACE=1/2 AE×CF=1/2×20×10=100

（2）平移一腰或两腰：平移一腰，使之经过梯形的另一个顶点或另条腰的中点；或者同时移动两腰使它们交于一点。

例2 如图，等腰梯形ABCD两底之差等于一腰的长，那么这个梯形较小的一个内角是( )

A.9O° B.6O° C.45° D.30°

解析：由条件“两底之差等于一腰的长”，可平移一腰。如图所示平移 DC到AE，AE交BC于E。可知BE= BC-AD=AB．又AB=DC=AE．故 AB=BE=AE,△ABE是等边三角形。所以∠B=60°.故选B。

（3）延长两腰：将梯形两腰延长相交构造三角形。

例3 在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30，BD平分∠ABC，求梯形周长。 解析：延长两腰相交于点 E，如图，因为∠ABC=∠BCD=60°，故∠E=60°，△BCE为等 边三角形。又BD平分∠ABC，所以BD垂直平分CE，所以CD=1/2BC。又AD∥BC，故△ADE为等边三角形。AD=ED=CD.由AD+BC=30,知CD+2CD=30,CD=10。

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∴梯形的周长为30+AB+CD=30+2CD=50。

（4）作梯形的高：过梯上底的两个端点分别作梯形的高。

例4 已知等腰梯形的一个内角为60°，它的上底是3cm，腰长是4cm，则下底是 。 解析：如图，梯形ABCD中，∠B=∠C=60°， AD=3cm，AB=DC=4cm，过点A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则有∠BAE=∠CDF=30°，BE=FC=1/2AB=2 cm。

∴ BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7(cm).

梯形中添加辅助线的方法有很多，同学们在学习的过程中还须活学活用，也可以以口诀的形式记忆下来：“移动梯形对角线，两腰之和成一线；平行移动一条腰，两腰同在“△”现；延长两腰交一点，“△”中有平行线；作出梯形两高线，矩形显示在眼前；已知腰上一中线，莫忘作出中位线”。

知识点七：重心

1.线段的重心就是线段的中点。

2.平行四边形的重心是它的两条对角线的交点。

3.三角形的三条中线交与一点，这一点就是三角形的重心。

知识点八：多边形的内角和与外角和

1.多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180º,揭示了多边形的内角和与边数的关系：当边数增加1时，内角和增加180º

2.外角定义：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。(n边形的外角个数为2n)

3.多边形的外角和：在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和(多边形的外角和不是所有外角的和)。

推论：任意多边形的外角和等于360º ,与边数无关。 证明：∵ n边形的每一个外角与它相邻的内角的和是180º

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∴ n边形的内角和加外角和等于n • 180º ∵ n 边形的内角和等于(n-2) • 180º ,

∴ n 边形的外角和等于n • 180º – (n-2) • 180º ＝360º。 规律：①一个多边形的外角最多有3个是钝角；

②一个多边形的内角最多有3个是锐角； ③内角和与外角和相等的多边形的边数是4；

④一个多边形每增加一条边，内角和增加180°外角和不变；

⑤一个多边形裁去一个角（不过顶点）后,形成的多边形的外角和不变, 内角和增加180°；

⑥从n边形一顶点引出的对角线条数为(n-3)条,它的对角线总条数为[(n-3)·n]／2条。 4.正n边形各内角的度数=(n-2) • 180º／n

5.只要满足一个顶点周围几个内角的和等于360度，就可以进行平面镶嵌。 例1、下列正多边形中，不能铺满地面的是( B )

A. 正方形 B. 正五边形 C. 等边三角形 D. 正六边形 例2、下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是( A )。 A. 正六边形和正三角形 B. 正三角形和正方形 C. 正八边形和正方形 D. 正五边形和正八边形

第二十章 数据的分析

知识点一：平均数

1.算术平均数: 简单算术平均数主要用于未分组的原始数据。设一组数据为

x1,x2,,xn，简单的算术平均数的计算公式为: Mx1xxn/n。

2.加权平均数:

(1) 加权算术平均数主要用于处理经分组整理的数据。加权平均数是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算。“权”的英文是 Weight，有表示数据重要程度的意思．即数据的权能反映数据的相对“重要程度”。 设有n个原始数据数，被分成k组，各组中的值为x1,x2,,xk，各组的频数分别为f1,f2,,fk，即x1出现f1次，x2出现f2次，„„，xk出现fk次，那么

x1f1x2f2xkfk/f1f2fk 叫做x1,x2,,xk的加权平均数，

f1,f2,,fk是x1,x2,,xk的权。

(2)意义:在一组数据中，由于每个数据的权不同，所以计算平均数时，用加权平均数，才符合实际。

(3)权的常见形式:①数据的形式：如50、45、55②比例的形式：如3：3：2：2③百分比的形式：如50%、40%、10%

算术平均数是加权平均数的一种特殊情况(它特殊在各项的权相等)。

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3.几何平均数:n个观察值连乘积的n次方根就是几何平均数。

XnnX1X2X3XN

知识点二：中位数和众数

1.中位数：将一组数据按大小顺序排列，把处在中间位置的一个数叫这组数据的中位数。将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数,那么位于中间的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数,那么位于中间的两个数的平均数称为这组数据的中位数。 2.众数

定义:在一组数据中，把出现次数最多的数据叫做这组数据的众数(一组数据的众数可以不止一个)。

注意：(1)众数是一组数据中的原数据,而不是其出现的次数,这一点很容易混淆；

(2)一组数据中的众数有时不只一个,如数据2,3,1,2,3中,2和3都出现了两次,

它们都是这组数据的众数；

(3)有时一组数据中的每一个数据出现次数都相同的时候,则称没有众数。如

2,2,3,3,4,4,这组数据就没有众数。

3.三个数据代表的存在性和意义： 数据代表 存在性 意义 优点 平均数 一个 平均水平 中位数 一个（奇、偶有别） 中等水平 众数 一个、多个或没有 多数水平 不受极端值影响 充分利用数据 计算量少，不受极端值影响 极端值：指一组数据中与其余数据差异很大的数据。

平均值受极端值的影响较大。因此比赛评分时多去掉一个最高分和一个最低分。

知识点三：数据的波动

1.极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。

意义：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量(一般而言,极差小,各个数据的波动也就小,它们的平均数对这组数据一般水平的代表性也就大；极差大,平均数的代表性也就小),但只能反映数据的波动范围,不能衡量每个数据的变化情况,而且受极端值的影响较大(当个别极端值远离其它数据时,极差往往不能充分反映全体数据的实际离散程度)。 2.方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，即

s21xn1xx2xxnx

222 性质：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。

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标准差：就是方差的算术平方根。

规律：有两组数据，设其平均数分别为x1、x2，方差分别为S1、S2 (1) 当第二组每个数据比第一组每个数据增加m个单位时,则有 x2x1m，S1S22n2S12 x2nx1，S22222

(2) 当第二组每个数据是的第一组每个数据 n 倍时, 则有

(3) 当第二组每个数据是的第一组每个数据 n 倍加 m 时，则有

x2nx1m，S2n2S221 22