2014年泉港一中高中自主招生(数学及答案)

（总分：120分 请将答案或解答填到答题卷上）

一、填空题（本大题共10小题；每小题5分，共50分）

1．某同学在使用计算器求30个数的平均值的时候，错将99误输入为9，那么由此求出的平均数与实际平均数的差的绝对值为 ． 2．已知x1是关于x不等式组0x2的一个解，那么实数a的取值范围是 ． xam1，则实数m的取值范围为____________ 3. 如果m34．已知：xyx101101， 则的值为__________． ,y22xyy2x2xy5．一个圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥的底面半径是_______．

6．（如图）随机地在如图所示的等边三角形及内区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为 ．

7．一束光线从y轴上的点A（0 ,m）出发，经过x轴上的点MB（3，3）,则m ．

8．设点P是半径为5的⊙O内一定点，且OP＝4，则过点P的所有弦中，弦长可能取到的所

有整数值之和为 ．

9．如图,已知⊙O过正方形ABCD的顶点A、D，且与BC边相切，若⊙O的半径

为1，则正方形的边长为 ．

3,0反射后恰好经过点410．将1，－2，3，－4，5，－6……按一定规律排列如下

图，则第10行从左到右第9个数是__________．

二、解答题（本大题共6小题；共70分）

11. （本题满分10分）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的五个等分

点，连接AC、BE相交于点F. （1）求证：ABAFAC

（2）设AFm,CFn，求m:n的值．

12．（本题满分10分）已知函数yx2的图象向右平移2个单位，再向上平移n(n0)个

单位后得到的抛物线C恰好与直线y2x8相切与点A. （1）求抛物线C得解析式 （2）若抛物线C的顶点为B，交

求MN的长

13. （本题满分12分）为了探索代数式x422y轴与点D，ABD的外接圆交x轴与M、N两点，

8x216的

ADC最小值，小李同用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作BABBD,EDBD，连结AC、EC．已知AB=2，DE=4，BD=8，

设BC=x．则ACx4，CE28x216， 则问题即

E转化成求AC+CE的最小值．

（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时， AC+CE的值最小，于是可求得

x248x216的最小值等于 ，此时x ；

（2）请你根据上述的方法和结论，若代数式1x小值等于13，求m值.

2m212x（其中m0)的最

214. （本题满分12分）已知关于x的方程(x1)(x23xm)0，m为实数． （1）当m4时，求方程的根；

（2）若方程的三个实根中恰好有两个实根相等，求m的值；

（3）若方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，求m的取值范围．

15. （本题满分14分）在等腰三角形中，建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底

边与腰长的比叫做顶角的正对（符号为sad）.如图1，在ABC中，AB=AC，顶角A的

正对记作sadA，这时sadA=底边÷腰=

BC.容易知道一个角的大小，与这个角的正对AB0值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解决下列问题：

（1）计算：sad60= ________；sad90= ________；sad120= ________； （2）对于0＜A＜180，则∠A的正对值sadA的取值范围是_____________． （3）如图2在直角三角形ABC中ACBC，已知sinA=

00003，试求sadA的值． 5A B B 图1 C C 图2 A 16.( 本题满分14分)当1x1时，函数yx22mx2n1的最小值是4，最大值

是0，求m、n的值.

2014年泉港一中高中自主招生数学参及评分标准

一、填空题（本大题共10小题；每小题5分，共50分）

1． 3

2． a1 3．m0且m1410 4． 5．2 398 10． -90 56．3 7．1 9 8. 40 9．

二、解答题（本大题共6小题；共70分）

11．（本小题满分10分）

（1）证明：A、B、C、D、E是⊙O上的五个等分点，

52180五边形ABCDE为⊙O的内接正五边形，其每个内角为

5108，

ABF=BAF=ACB=36,CBF=CFB=72, ABF∽ACB, AB=BC=CF, ABAF2则得ABAFAC …………………5分 ACAB

（2）解：由（1）有AB=CF=n, 由ABAFAC=AFAFCF

2n2m(mn)，化为m2mnn20

mmm0 ，而10nnn解得

2m51符合题意 . ..…………………10分 n2 12．（本小题满分10分）

解：（1）抛物线C:yx2n(n0)

2y2x82x6x12n0 联立化为2yx2n直线与抛物线相切

364(12n)0得n3

抛物线C的解析式为yx223…………………5分

（2）令x0得y1， D(0，-1), 抛物线的顶点B(2，3) 由（1）n=3时x26x90得x3

切点A(3，2)

则AD32,BD25,AB2,满足BD2AD2AB2

ABD为斜边BD的直角三角形，

其外接圆圆心E为BD中点E(1，1),半径为r12BD5, MN的长度为2r2d22514…………………10分13．（本小题满分12分）

解： （1）最小值10，此时x83…………………6分

（2）由（1）设AB⊥BD,ED⊥DB,AB=1，DE=m，BC=x 则AC1x2,CE12x2m2

1x2m212x2的最小值=AC+CE的最小值

AC+CE≥AE=13

m12122132且m0

m4，此时由

14x12x得x125…………………12分 14．（本小题满分12分）

解： （1）m=4时方程为(x1)(x23x4)0 得x10或x23x40 由x10得x1

由x23x40得91670，该方程无实数解

方程的实根为x1…………………3分

（2）由由x10得x11

由x23xm0得94m0两根为x2,x3

ADBCE

若x21，则13m0得m2，方程为x3x20 得x21,x32符合题意

29 4932方程为x3x0得x2x3符合题意

429综上知m2或m…………………8分

4若x2x3时94m0得m（3）方程的三个实根满足x11，x3xm0得94m0两根为x2,x3 且x2x33,x2x3m

方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，

2m0则94m0 |xx|132由|x2x3|x2x224x2x394m1得m2

2m9…………………12分 4 15．（本小题满分14分）

解：（1）sad60= ____1_； sad90= 2； sad120= 3；…………………4分 （2）0sadA2…………………8分 （3）不妨设BC=3，AB=5则AC=4，

在AB上取点D，使得AD=4，故ACD为腰长4的等腰三角形，作CE⊥AB于E点。 由面积法得CE00012 5291222在直角三角形BCE中BEBCCE9

554DEBEBD,

5在直角三角形ECD中CDCEDE22B 410 5C A 在等腰三角形ACD中sadACD10…………………14分 AC5

16．（本小题满分14分）

22解：yx2mx2n1xmm2n1,其对称轴为直线xm,……2分

2①当 m1,即m1时，12m2n14m1,解得…………………4分

12m2n10n1m22n102②当1m0,即0m1时, 消去n得，m2m30,

12m2n14解得m1或m3,舍去。…………………7分

m22n10③当 0m1,即1m0时，

12m2n14解得m1或m3，舍去。…………………10分 ④当 m1,即m1时，12m2n10m1解得…………13分

12m2n14n1综上所述m1,n1或m1,n1…………14分