福建省龙岩一中2011-高二第四学段(模块)数学文

龙岩一中2011—2012学年第四学段考试

高二数学（文科）试题

时间120分钟 满分150分

命题人：连亮曦 审题人：许元琰 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．） 1. 已知全集UR，集合M{xxx0}，则ðUM（ ） A．{x|0x1} B．{x|0x1} C．{x|x0或x1}

D．{x|x0或x1}

22. 如果a1,k，bk,4，那么“a//b”是“k2”的（ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

1，则sin2（ ） 38844A． B． C． D．

99993. 已知sincos4.下列函数中，既是偶函数，且在区间0,内是单调递增的函数是（ ） A． yx B．ycosx C． ylnx D．y2 5. 右图所示的是函数yAsinwx图象的一部分，则其函数解析式是（ ） A．ysinx12x B．ysinx 33C．ysin2x D．ysin2x 6626. 设函数f(x)g(x)x，曲线yg(x)在点1,g1处的切线方程为y2x1，则

曲线yf(x)在点1,f1处的切线的斜率为（ ） A、2 B、

7. 奇函数f(x)在(0,)上的解析式是析式是（ ）

11 C、4 D、 42f(x)x(1x)，则在(,0)上f(x)的函数解

▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

A．f(x)x(1x) B．f(x)x(1x) C．f(x)x(1x) D．f(x)x(x1)

|2x1|,x28. 设已知函数f(x)3，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则实数

,x2x1a的取值范围为（ ）

A．（1，3）

B．（0，3）

C．（0，2）

D．（0，1）

f(x)，且当9．已知函数f(x)是(,)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2），则f(2011)f(2012)的值为（ ） x[0,2)时，f(x)log2(x1）A．2 B．1 C．1 D．2

10. 函数f(x)2cos(x)（0,0）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为42，则函数f(x)图象的一条对称轴的方程为（ ） A．x4 B．x

2

C．x4 D． x2

11. 将ylnx的图象绕坐标原点O逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则角满足的条件是（ ）

A．esin= cos B．sin= ecos C．esin=l D．ecos=1

12. 若将有理数集Q分成两个非空的子集M与N，且满足MNQ，MN，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称M,N为有理数集的一个分割．试判断，对于有理数集的任一分割M,N，下列选项中，不可能成立的是（ ） ．．．A．M没有最大元素，N有一个最小元素 B．M没有最大元素，N也没有最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M有一个最大元素，N没有最小元素

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．）

x,x013.已知函数f(x)x，则ff1 . 2,x0

14. 已知i、j为互相垂直的单位向量，非零向量aa1ia2j(a1,a2R)，若向量a与向量i、j的夹角分别为、，则cos2

cos2 15.已知三次函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图所示， f(3) ． 则

f(1)▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

16. 定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，如果存在非零常数（∈R，使得对任意的xR，都有f（x+）=f（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，为“倍增系数”，下列命题为真命题的是____（写出所有真命题对应的序号）． ①若函数yf(x)是倍增系数=-2的倍增函数，则yf(x)至少有1个零点； ②函数f(x)2x1是倍增函数，且倍增系数=1； ③函数f(x)ex是倍增函数，且倍增系数∈（0，1）； ④若函数f(x)sin(2x)(0)是倍增函数，则k(kN*) 2三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.) 17（本题12分）. 已知ABC中，C90，D为斜边AB上靠近顶点A的三等分点. （I）设CAa,CBb，求CD；

（II）若CA22,CB1，求CD在AB方向上的投影.

18（本题12分）. 有一道题目由于纸张破损，有一条件看不清楚，具体如下： 在ABC中，已知a3， ，2cos(2AC)(21)cosB，求角A. 20经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，该题的答案A60是唯一确定的，试将条件补充完整，并说明理由.

19（本题12分）. 某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)pqx；②f(x)px2qx1；③

f(x)x(x2p,q均为常数，且q1） （以上三式中、q)．p（I）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)

（II）若f(0)4，f(2)6，求出所选函数f(x)的解析式（注：函数定义域是[0,5]．其中x0表示8月1日，x1表示9月1日，…，以此类推）；

（III）在（II）的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌． 20（本题12分）.

已知函数fxAsinx（A0,0,2）的部分图像， P,Q是这部分图

象与x轴的交点（按．图所示），函数图象上的点R满足：

|RP|11,|RQ|33,cosRPQ（Ⅰ）求函数fx的周期；

311. 11yRQ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ OPx▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

（Ⅱ）若P的横坐标为1，试求函数yfx的解析式，并求f4的值. 3

21（本题12分）

已知函数f(x)|x|(xa)． （I）判断f(x)的奇偶性；

（Ⅱ）设函数f(x)在区间[0,2]上的最小值为m(a)，求m(a)的表达式； （Ⅲ）若a4，证明：方程f(x)

40有两个不同的正数解． x1x（Ⅰ）若a1，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直，求b的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：g(x)f(x)2ln2；

（Ⅲ）若b2，试探究函数f(x)与g(x)的图象在其公共点处是否存在公切线，若存在，

22（本题14分）. 已知函数f(x)a(x)blnx（a,bR），g(x)x2． 研究a值的个数；若不存在，请说明理由．

▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

龙岩一中2011—2012学年第四学段考试

高二数学（文科）答案 时间120分钟 满分150分

命题人：连亮曦 审题人：许元琰

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B B D A C B D C D B C 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．） 13. 2 .14. 1 15. -5 ． 16. _①③④___

三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.) 17（本题12分）解：（I） ∵ AB3AD 即CBCA3CDCA …………4分

21ab …………6分 3385（II）过C作CEAB于E，则由射影定理得AE ∴DE

335又因为CD在AB方向上的投影为负，故CD在AB方向上的投影为…………12分

3∴3CDCB2CA 故 CD18（本题12分） 解：2cos(2AC1cos(AC)2 )(21)cosB2(21)cosBcosB222又B(0,)，所以B=

.-------------3分 4（1）

b3b2，-------5分

sin450sin600ba233sinA,又A(0,)，且ab， 0sinBsinAsin45sinA200检验：

所以A60或者A120，这与已知角A的解为唯一解矛盾.----7分 （2）B=

00，又A60，所以C75------------8分 4c362c----------------10分 00sin75sin60262ca332sinA,又A(0,)，且ca，所以检验：0sinCsinAsin75sinA2A600--12分

▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

19（本题12分）.

解：（I）根据题意，应选模拟函数f(x)x(xq)2p --------------4分

p4p4（II）f(0)4，f(2)6，,得： 2q3(2q)1所以f(x)x36x29x4(0x5)---------------------------8分 （III）f(x)x36x29x4，f/(x)3x212x9令f/(x)0x3或x1 又

x[0,5],f(x)在(0,1),(3,5)上单调递增，在(1,3)上单调递减.-------11分

所以可以预测这种海鲜将在9月，10月两个月内价格下跌. -------12分

20（本题12分）.

解

（

2Ⅰ）在

2PRQ中，由余弦定理可得：

33PQ2112|PQ|11311， 11PQ26|PQ|160，|PQ|8或|PQ|2（舍去）. ……………3分 函数yfx的周期为8. ………….5分

（Ⅱ）又

T8，2， ……….7分 T4函数fx过点P(1,0)，4， …………8分

fxAsinx.

44TPHR过点R作x轴的垂线，垂足为H，在R中，|PR|11,cosRPQ311，11|PH|3，|RH|2， R4,2， Asin2， A2. …..10分

4fx2sinx，

44则f

6242sincos2cossin. …….12分 2sin34342334▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

21（本题12分）.

解：（I）a0时，f(x)是奇函数；……（1分）

a0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．……（2分）

aa2（II）当x[0,2]时，f(x)xaxx，函数f(x)图像的对称轴

2422为直线x当

a

．……（3分） 2

a0，即a0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数，所以m(a)f(0)0； 2aaa当02，即0a4时，函数f(x)在[0,]上是减函数，在[,2]上是增函

222数，

aa2所以m(a)f()；……（5分）

24当

a

2，即a4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数， 2

所以m(a)f(2)42a．……（6分）

a00,2a,0a4 ．……（7分） 综上，m(a)442a,a4（III）证法一：

2若a4，则x0时，f(x)x24x，方程可化为x4x40， x4x24x．……（8分） x4令g(x)，h(x)x24x，在同一直角坐标系中作出函数g(x) h(x)在x0时

x即

的图像．…………（9分）

因为g(2)2，h(2)4，所以h(2)g(2)，即当x2时 函数h(x)图像上的点在函数g(x)图像点的上方．……（11分） 所以函数g(x)与h(x)的图像在第一象限有两个不同交点． 即方程f(x)O 2 x y 40有两个不同的正数解．…………（12分） x▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

证法二：

2若a4，则x0时，f(x)x24x，方程可化为x4x240， x即x4x令g(x)4．…………（8分） x4，在同一直角坐标系中作出函数f(x)，g(x)在x0时的图像．（9分） xy O 2 x 因为f(2)4，g(2)2，所以f(2)g(2)， 即当x2时，函数f(x)图像上的点在 函数g(x)图像点的上方．…………（11分）

所以函数f(x)与g(x)的图像在第四象限有两个不同交点． 所以方程f(x)22（本题14分）.

解：（Ⅰ）Qa1，f(x)x40有两个不同的正数解．…………（12分） x1blnx， x1bx2bx1∴f(x)12， --------------------------2分

xxx22b，∴0b2． --------------------------3分 依题意得 f(1)1（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)x2lnx，定义域为(0,)，

x12要证g(x)f(x)2ln2，只须证xx2lnx2ln20，

x12设F(x)xx2lnx2ln2,(x0)， -------------------4分

x122x3x212x(x21)(2x1)则F(x)2x12，

xxx2x21令F(x)0，得x， ---------------------------------------6分

2列表得

x F(x) F(x) ∴x1(0,) 2_ 递减 11 (,) 220  极小 递增 117时，F(x)取极小值也是最小值，且F(x)minF()0， 224∴F(x)0，∴g(x)f(x)2ln2. -----------------------------------8分 （Ⅲ）假设函数f(x)与g(x)的图象在其公共点(x0,y0)处存在公切线，

▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

∵b2，∴f(x)a(x)2lnx，

1xax22xaax022x0a∵f(x)，g(x)2x，由f(x0)g(x0)得，2x0， 2x2x0a2即2x03ax022x0a0，∴(x01)(2x0a)0x0，--------------9分

2∵f(x)的定义域为(0,)，

a当a0时，x0(0,)，∴函数f(x)与g(x)的图象在其公共点处不存在公切线；

2---10分

当a0时，令 f()g()，∵f()a()2ln()a2a2a2a22aa212aa2ln()2，22a1g()a2， 2412a12a28aln()(a0)，----------------------------11分 ∴a2ln()2a，即

22482下面研究满足此等式的a值的个数：

a28a2ln()得 8ln（方法一）由 )aa88ln2a0(， 082882x22设函数h(x)8lnxx88ln2,(x0)，h(x)2x，

xx令h(x)0得x2，当x(0,2)时，h(x)0,h(x)递增； 当x(2,)时，h(x)0,h(x)递减；

所以，h(x)maxh(2)8ln2488ln240，又x0时，h(x)， x422时，h(22)8ln280，

所以，函数h(x)的图象与x轴有且仅有两个交点，即符合题意的a值有且仅有两个． 综上，当a0时，函数f(x)与g(x)的图象在其公共点处不存在公切线；

当a0时，函数f(x)与g(x)的图象在其公共点处存在公切线，

且符合题意的a值有且仅有两个．-------------------------------14分

a28aa1ln()化为lntt21， (方法二)设t，则a2t，且t0，方程

228212121分别画出ylnt和yt1的图象，因为t1时，lnt0,t10，

22212由函数图象性质可得ylnt和yt1图象有且只有两个公共点（且均符合

2t0），

a28aln()有且只有两个解． 所以方程82综上，当a0时，函数f(x)与g(x)的图象在其公共点处不存在公切线；

当a0时，函数f(x)与g(x)的图象在其公共点处存在公切线，

且符合题意的a值有且仅有两个．--------------------------------14分

▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓