在高等数学教学中培养学生的高等数学观

高等理科教育　在高等数学教学中培养学生的高等数学观　在高等数学教学中培养学生的高等数学观　汪银乐　周晓跃施庆生　（南京工业大学理学院，江苏南京２１０００９）　摘要　学习高等数学，不但要让学生掌握现代的数学知识、思想和方法，还要掌握一种高　等数学思维模式和数学技能，获得数学能力，形成高等数学观。文章讨论了在数学课程教学中培　养学生高等数学观的基本措施。　关键词数学史　高等数学观数学思想方法数学美　中图分类号Ｇ６４２　文献标识码Ａ　著名教育家克莱因认为：观点越高，事物越显简单　。在高等数学等数学课程的学习中，　许多学生感到数学难学。在教学中也发现，不少学生在学习了新的数学方法之后，在解题时还采　用中学时的方法，这样使得后续的学习更加困难。这与学生没有形成高等数学观有很大的关系。　本文就如何在数学教学中培养学生的高等数学观做一些探讨。　一、联系中学数学。培养学生高等数学观点　学生大多掌握了高等数学的许多知识，但很多老师和同学深感居高未必能自然临下。这主要　是因为在大学里，只讲学科知识本身，忽略了与中学数学的联系，使学生未形成高等的数学观　点。例如，很多老师讲实变函数时，大谈勒贝格测度及勒贝格积分，却不讲测度与体积、面积之　间的内在联系，而后者也许更为重要。因此指导学生用高等数学的观点来看初等数学的内容和问　题，一方面可以提高学生的学习兴趣，另一方面可以加深对新知识的理解。例如在高等代数中学　习行列式时可先让学生回忆中学学习二元一次方程组、三元一次方程组的情形。当时采用的是代　人消元法和加减消元法，但这两种方法对四元、五元一次方程组就比较麻烦。至于更多元数，解　起来就更困难了，为了解决这一问题，在高等代数中就产生了行列式理论。可是在实际问题中，　未知数的个数与可能列出的方程组的个数不一定相等，比如有８个未知数，却列出７个方程或９　个方程，这在中学就没办法解决，这时行列式理论就有局限了，矩阵理论就应运而生。在高等代　数中，总结了解任意线性方程组的一般方法：初等变换法和公式法。给出并证明了一般的线性方　程组的解的状况定理，任意给定一个具体的方程，我们都可以判断它是否有解，在有解时，判断　它是唯一解还是无穷多解，并可求出全部解和解空间。由此可见，从代人消元法、加减法、行列　式理论、矩阵理论就是一个特殊到一般的过程。再比如在初等数学中只能求解二次函数及特殊函　数的极值问题，但在数学分析中学习了导数之后，就一般地解决了函数极值问题。还有祖咂原理　是学习多面体和旋转体的理论基础。可是在定积分中，它只不过是一个例题而已。在解析几何课　程中学了二次曲线的一般理论之后，联系中学所学二次曲线内容，中学所学只是一些特殊情况。　收稿日期２００６—０６—３０　资助项目　“高等数学”精品课程建设项目资助．　作者简介汪银乐（１９６８一）女，陕西西安人，讲师，主要从事偏微分方程数值解研究　一３５—　维普资讯 http://www.cqvip.com 高等理科教育　２００８年第１期（总第７７期）　大多初等数学的内容在高等数学中只是一个特殊情况。好多在初等数学中没有解决的问题在高等　数学中都得到了解决。大学数学的许多学科是在中学数学的基础上向着更深、更广以及理论化、　系统化的方向发展。教师在教学中只有充分展示知识发展规律，揭示其内在联系，从而培养学生　用较高的数学观点处理和驾驭所学的数学知识，才能使学生在用数学解决问题时游刃有余。　二、增加一些数学史料。使学生从宏观上了解初等数学到高等数学的发展历程　在讲解高等数学的概念时，增加一些能体现知识系统产生、发展重要阶段的数学史资料，把　学生带到知识系统自身产生、发展的历史进程之中，为学生了解数学发展的线索，弄清数学体系　的脉络，理解数学概念的形成创造一个有益的外部条件。例如，在数学分析中为了让学生深刻理　解函数概念，可通过数学史实，向学生介绍函数概念发展过程：函数概念最早产生于人们对运动　的研究。伽利略在他的力学著作《两门新科学》中已包含了大量的函数关系　Ｊ，比如“从静止　状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比”；“沿着同高度但　不同坡度的倾斜平板下滑的物体，其下滑的时间与平板的长度成正比”，等等。也就是以这些具　体的函数为原型，１７世纪一些数学家通过抽象获得了如下的函数概念：“函数是这样一个量，它　是从一些其它的量通过一系列代数运算而得到的。”后来人们接触到了超越函数，如对数函数、　指数函数、三角函数等，又对函数概念进行了扩展：“函数是指由一个变量与一些常量，通过任　何方式（有限或无限）形成的解析表达式。”这由解析表达式给出的定义尽管过于狭窄，但在１８　世纪却曾长期占统治地位。１９世纪，狄里克莱给出了如下的函数概念：“如果对于给定区间上的　每一个ｘ值有唯一的一个Ｙ值同它对应，那么，Ｙ就是ｘ的一个函数。”在康托尔创立集合论　后，函数概念被进一步扩张为“对于以集合为元素而构成的集合Ｐ的每一个元素Ａ，如果另一个　集合Ｑ中有完全指定的集合Ｂ与之对应，那么集合Ｑ叫做集合Ｐ的函数。”１９世纪４０年代，引　入了广义函数的概念，使函数概念进一步扩张。只有当学生了解到函数概念多次扩张的发展史，　才能更好理解和掌握它。再如给学生讲笛卡尔的哲学思想和笛卡尔坐标系的建立，牛顿、莱布尼　兹分别创建的微积分等等数学史实，从宏观上让学生了解数学的发展历程，逐步形成高等的数学　观点。　三、揭示数学知识的思想内涵。注重数学方法和数学思维能力的培养　教师不仅是一个知识的传授者，更应该是方法的引导者。数学科学是知识和思想方法的有机　结合。没有不包含数学思想方法的知识，也没有游离于数学知识之外的方法。例如等差、等比数　列的前Ｎ项和公式，是通过错位相消减、整体代换法获得的。一元二次方程的求根公式，是通　过配方法得到的，不等式的证明和求解，是通过综合法、分析法、数学归纳法、比较法、放缩法　等得到的。有些数学思想方法不是以明确的形式呈现出来，而是要靠老师的挖掘，从大量事实中　去概括。例如不等式的证明，尽管具体途径很多，但却都是设法把不明的不等式转化为明显的不　等式，这一点却是共同的，即都是化归这一重要数学思想的体现。教师在教学中不但要注意解题　的技巧性方法，还要留意那些思考问题时带有一般性的认识论的方法，如，从特殊到一般、先具　体后抽象、先简单后复杂、局部与整体相联系等，把这些思想贯穿于日常的教学中，可以逐步提　高学生的思维能力。大多数学思想方法贯穿于初等数学与高等数学之中。还有一些在高等数学中　逐渐完善的数学方法，如数形结合法、公理化方法、无穷小方法等。例如学微积分时，可给学生　介绍无穷小方法。因为在中学时学生已经知道我国魏晋时的数学家刘徽的“割圆术”。即利用圆　内接正多边形的面积寻求圆的面积，但只知其然，不知其所以然。通过微积分的学习，要让学生　从本质上理解这个方法，并且会应用它。另外，讲解题目时，还要注重方法的对比、前后照应以　及方法的综合应用，这样不但有利于学生掌握知识、领会方法、训练学生的思维能力，还可使学　一３６—　维普资讯 http://www.cqvip.com 高等理科教育　在高等数学教学中培养学生的高等数学观　生以较高的观点去看待所学的知识。　四、展示数学美，培养学生较高的数学审美观　作为一名数学教师，应该对数学有强烈的热爱，这样才能唤起学生对数学的兴趣。而只有感　觉到数学的美和有趣才会喜欢数学。毕达哥拉斯发现了勾股定理，他为直角三角形具有这种简　明、和谐的关系而赞叹，竞举行了一次百牛大祭；罗素十一岁学习欧几里德几何，感觉是那么的　有趣，象初恋一样人了迷。但数学美不同于自然美，英国数理哲学家罗素说　Ｊ：“数学，如果正　确的看它，不但拥有真理，而且也有至高的美，正象雕刻的美，是一种冷而严格的美，这种美不　是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地　步，能够达到严格的只有伟大的艺术才能显示的那种完满的境地。”可见数学美是一种理性的　美，抽象形式的美，只有深入其中，才能体会。科学家庞加莱说：“一个名副其实的科学家，尤　其是数学家，他在他的工作中体验到和艺术家一样的印象，他的乐趣和艺术家的乐趣具有相同的　性质，是同样伟大的东西。”　和任何美感一样，人们对数学的美感也具有强烈的感情色彩，而且，不同的人对数学美的标　准也是各不相同，但是，数学美也有一些主要的特征，如：简单性、对称性、统一性、奇异性、　抽象性等。例如：欧拉公式：ｅ“＝ＣＯＳ．￣＋ｉｓｉｎｘ就是一个非常优美的公式，原因在于，指数函数与　三角函数在实数域中看不出任何联系，而在复数域中发现了他们可以互相转化，并且被一个非常　简单的关系式联系在一起。再比如体积计算中的“万能计算公式”、三角函数式的恒等变形中的　“万能置换公式”等。高等数学中更充满了表明数学统一性的例子。例如，在学习泰勒公式时，　就会深切体会到数学的统一性：各种彼此完全不同的函数（只要它们在某一包含在内的开区间　（　，ｂ）内具有直到ｎ＋１阶的导数）就能表示成如下的统一形式：　，　，　、　ｎ），　、　ｎ＋１），、　）＋　。）＋厂（　。）（　—　。）＋　（　—　。）　＋…＋Ｌ　（　—　。）　＋　（　—　。）　（其中ｃ是在　与　。之间的某个值）。另外，函数的傅里叶级数展开显然从另一个角度同样表　明了数学的统一性。数学中的这种美比比皆是，教师在教学中只有充分展示，才可以让学生欣赏　和体会到数学的美，逐步培养出学生的数学审美观，丰富学生的数学素养。　总之，学生的培养是一个综合的系统工程。需要我们重视对课程改革的探索与实践，使教学　能以更有效的方式进行。　参考文献：　［１］唐高华，韦素娥，黄倩霞，等．试论高师数学主干课程对中学教学的指导作用［Ｊ］．广西师范学院学报（自然科学版）　２００１，１８（】）：９５—９６．　［２］［３］郑毓信．数学方［Ｍ］．南宁：广西教育出版社，１９９１．１１８，１４８．　一３７—