2021-2022学年北京师大附属实验中学九年级(上)开学数学试卷word版含解析

卷

一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列各式中，化简后能与2合并的是( ) A．12 B．8 C．2 3D．0.2 2．（3分）下列各式中，不正确的是( ) A．(2)22

B．(2)22

C．(2)22

D．(2)22

3．（3分）下列曲线中，表示y是x的函数的是( )

A． B．

C． D．

4．（3分）北京市6月某日10个区县的最高气温如下表：（单位：C) 区县 最高气温 则这10个区县该日最高气温的中位数是( ) A．32

B．31

C．30

D．29

大兴 32 通州 32 平谷 30 顺义 32 怀柔 门头沟 延庆 30 32 29 昌平 32 密云 30 房山 32 5．（3分）下列命题是假命题的是( ) A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．四个内角都相等的四边形是矩形

D．既是菱形又是矩形的四边形是正方形

6．（3分）若点A(2,a)，B(3,b)都在直线y5x2上，则a与b的大小关系是( ) A．ab

B．ab

C．ab

D．无法确定

7．（3分）估计(1215)3的值应在( ) A．1和2之间

B．3和4之间

C．4和5之间

D．5和6之间

8．（3分）如图，正方形ABCD的面积是4，点E是AB的中点，点P是AC上的动点，则

PEPB的最小值为( )

A．2

B．5

C．4

D．25 9．（3分）若实数x，y满足等式x3y24y40，则xy的值是( ) A．3

1B．

9C．9 D．3

10．（3分）生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的m天数据，整理后绘制成统计表进行分析． 日均可回收物回收量（千吨） 1x2 频数 频率 1 0.05 2x3 3x4 4x5 b 5x6 合计 m 2 0.10 a 3 0.15 1 表中3x4组的频率a满足0.20a0.30． 下面有四个推断： ①表中m的值为20； ②表中b的值可以为7；

③这m天的日均可回收物回收量的中位数在4x5组； ④这m天的日均可回收物回收量的平均数不低于3． 所有合理推断的序号是( ) A．①②

B．①③

C．②③④

D．①③④

二、填空题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分） 11．（2分）若代数式x2有意义，则x的取值范围是 ．

12．（2分）如图，在ABC中，ABC90，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S210，S312，则S1 ．

13．（2分）把直线y3x1沿y轴向上平移3个单位，所得直线的函数关系式是 ． 14．（2分）如图，将矩形ABCD折叠，使点A落在CD边上的点M处，折痕BE交AD边于点E．若AB5，BC4，则EM的长为 ．

15．（2分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 ．

16．（2分）如图，菱形ABCD中，AB10，AC，BD交于点O，若E是AD边的中点，

AOE65，则OE的长等于 ，ADO的度数为 ．

17．（2分）已知一次函数ykx4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于2，则k的

值是 ．

18．（2分）ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、，连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，下列四个结论中： B重合）

①对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形；

②若ABC90，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形； ③若ABAD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形； ④若BAC45，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形． 以上所有正确说法的序号是 ．

三、解答题（共8题，19题10分，20～24题，每题6分，25，26题，每题7分，共54分） 19．（10分）计算： （1）48618； （2）2728(4)2．

20．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上两点，且DEBF． 求证：四边形AFCE是平行四边形．

21．（6分）已知：在ABC中，ABC90． 求作：矩形ABCD． 作法：如下，

①分别以点A，C为圆心，大于

1AC的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N； 2②作直线MN，交边AC于点O；

③作射线BO，以点O为圆心，以BO长为半径作弧，与射线BO的另一个交点为D，连接CD，

AD；

所以四边形ABCD就是所求作的矩形．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明．

证明：直线MN是AC的垂直平分线，

AOOC． BODO，

． 四边形ABCD是平行四边形( )（填推理的依据）

ABC90，

． 四边形ABCD是矩形( )（填推理的依据）

22．（6分）如图，每个小正方形的边长为1． （1）直接写出四边形ABCD的面积和周长； （2）求证：BCD90．

23．（6分）近5年，我省家电业的发展发生了新变化．以甲、乙、丙3种家电为例，将这3种家电2016~2020年的产量（单位：万台）绘制成如图所示的折线统计图，图中只标注了甲种家电产量的数据．

观察统计图回答下列问题：

（1）这5年甲种家电产量的中位数为 万台；

（2）若将这5年家电产量按年份绘制成5个扇形统计图，每个统计图只反映该年这3种家电产量占比，其中有一个扇形统计图的某种家电产量占比对应的圆心角大于180，这个扇形统计图对应的年份是 年；

（3）小明认为：某种家电产量的方差越小，说明该家电发展趋势越好．你同意他的观点吗？请结合图中乙、丙两种家电产量变化情况说明理由．

24．（6分）如图，AD是ABDE的对角线，ADE90，延长ED至点C，使DCED，连接AC交BD于点O，连接BC． （1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）连接OE，若AD4，AB2，求OE的长．

25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1:y1kxb与直线y2x平行，且经过点(1,0)． （1）求直线l1的解析式；

（2）已知直线l2:y2mx1，过点p(n,0)作x轴的垂线，与直线l1交于点M，与直线l2交于点N． 结合图象回答：

①若m1，当点M在点N的上方时，直接写出n的取值范围；

②若对任意的n2，都有点M在点N的上方，直接写出m的取值范围．

26．（7分）在正方形ABCD中，点E在射线CB上（不与点B，C重合），连接DB，DE，过点E作EFDE，并截取EFDE（点D，F在BC同侧），连接BF． （1）如图1，点E在BC边上． ①依题意补全图1；

②用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系，并证明；

（2）如图2，点E在CB边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段BD，BE，BF之间的数量关系．

四、附加题（第27题6分，第28题7分，第29题7分，共20分）

27．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点O．按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O为其对角线交点： （1）在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；

（2）在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等； （3）在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等．

28．（7分）正方形ABCD中，点M是对角线AC的中点．

（1）如图1，点P在线段AM上（不与点A，M重合），过点P作PFCD于点F，作

PEPB且PE交CD于点E．求证：DFEF．

（2）如图2所示建立直角坐标系，点B与原点重合，点A(0,2)，点C(2,0)．若点P在线段

AC上，PEPB，且PE交直线CD于点E．求出当PCE是等腰三角形时，P点的坐标

为 （直接写出答案）．

29．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点A(0,6)，点B在x轴的负半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“伴随矩形”．下图为点P，Q的“伴随矩形”的示意图．

（1）若点B(3,0)，点C的横坐标为1，则点B，C的“伴随矩形”的面积为 ； （2）点M，N的“伴随矩形”是正方形．

①当正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，并求出直线ON的函数解析式；

②当正方形的对角线长度为32时，原点O与所有正方形上各点所连线段的长记为m，直接写出m的取值范围．

2021-2022学年北京师大附属实验中学九年级（上）开学数学试

卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列各式中，化简后能与2合并的是( ) A．12 B．8 C．2 3D．0.2 【解答】解：A、1223，不能与2合并；

B、822，能与2合并；

C、26，不能与2合并； 33D、0.2故选：B．

5，不能与2合并； 52．（3分）下列各式中，不正确的是( ) A．(2)22

B．(2)22

C．(2)22

D．(2)22

【解答】解：A.(2)22，故此选项符合题意；

B．(2)22，故此选项不合题意；

C．(2)22，故此选项不合题意；

D．(2)22，故此选项不合题意；

故选：A．

3．（3分）下列曲线中，表示y是x的函数的是( )

A． B．

C． D．

【解答】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；

B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；

C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；

D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意；

故选：D．

4．（3分）北京市6月某日10个区县的最高气温如下表：（单位：C) 区县 最高气温 则这10个区县该日最高气温的中位数是( ) A．32

B．31

C．30

D．29

大兴 32 通州 32 平谷 30 顺义 32 怀柔 门头沟 延庆 30 32 29 昌平 32 密云 30 房山 32 【解答】解：这10个区县该日最高气温分别为：29、30、30、30、32、32、32、32、32、32，

则这10个区县该日最高气温的中位数是故选：A．

5．（3分）下列命题是假命题的是( ) A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．四个内角都相等的四边形是矩形 D．既是菱形又是矩形的四边形是正方形

【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不符合题意；

323232， 2B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，符合题意；

C、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意；

D、既是菱形又是矩形的四边形是正方形，正确，是真命题，不符合题意；

故选：B．

6．（3分）若点A(2,a)，B(3,b)都在直线y5x2上，则a与b的大小关系是( ) A．ab

B．ab

C．ab

D．无法确定

【解答】解：k50，

y随x的增大而减小．

又点A(2,a)，B(3,b)都在直线y5x2上，23，

ab．

故选：A．

7．（3分）估计(1215)3的值应在( ) A．1和2之间

B．3和4之间

C．4和5之间

D．5和6之间

【解答】解：(1215)3 123153 25， 253， 4255，

故选：C．

8．（3分）如图，正方形ABCD的面积是4，点E是AB的中点，点P是AC上的动点，则

PEPB的最小值为( )

A．2

B．5

C．4

D．25 【解答】解：如图所示，连接PD， 四边形ABCD是正方形，

DAPBAP，ADAB，

又APAP，

ADPABP(SAS)，

PDPB，

BPEPDPEP，

当D，P，E在同一直线上时，BPEP的最小值等于线段DE的长， 正方形ABCD的面积是4，点E是AB边的中点，

AD2，AE1，

在RtADE中，DEAD2AE222125，

PEPB的最小值为5，

故选：B．

9．（3分）若实数x，y满足等式x3y24y40，则xy的值是( ) A．3 【解答】解：

1B．

9C．9 D．3

x3y24y40，

x3(y2)20，

x30，y20，

解得：x3，y2， 则xy(3)29． 故选：C．

10．（3分）生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的m天数据，整理后绘制成统计表进行分析． 日均可回收物回收量（千吨） 1x2 2x3 3x4 4x5 5x6 合计 频数 频率 1 0.05 2 0.10 a b 3 0.15 m 1 表中3x4组的频率a满足0.20a0.30． 下面有四个推断： ①表中m的值为20； ②表中b的值可以为7；

③这m天的日均可回收物回收量的中位数在4x5组； ④这m天的日均可回收物回收量的平均数不低于3． 所有合理推断的序号是( ) A．①②

B．①③

C．②③④

D．①③④

【解答】解：①10.0520． 故表中m的值为20，是合理推断； ②200.24，

200.36， 126312，

故表中b的值可以为7，是不合理推断； ③1269，

故这m天的日均可回收物回收量的中位数在4x5组，是合理推断； ④(15)23，

0.050.100.15，

故这m天的日均可回收物回收量的平均数不低于3，是合理推断． 故选：D．

二、填空题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分） 11．（2分）若代数式x2有意义，则x的取值范围是 x2 ． 【解答】解：代数式x2有意义， x20， x2．

故答案为x2．

12．（2分）如图，在ABC中，ABC90，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，

面积分别记为S1，S2，S3，若S210，S312，则S1 2 ．

【解答】解：ABC中，ABC90， AB2BC2AC2， BC2AC2AB2，

BC2S1、AB2S210，AC2S312，

S1S3S212102．

故答案为：2．

13．（2分）把直线y3x1沿y轴向上平移3个单位，所得直线的函数关系式是 y3x4 ．

【解答】解：由题意得：平移后的解析式为y3x13，即y3x4． 故答案为：y3x4．

14．（2分）如图，将矩形ABCD折叠，使点A落在CD边上的点M处，折痕BE交AD边于点E．若AB5，BC4，则EM的长为

5 ． 2

【解答】解：四边形ABCD是矩形，

C90，ABCD5，

由翻折可知，BABM5，

CMBM2BC252423，

DMCDCM532，

设MEx，则AEx，DE4x，

DM2DE2ME2，

22(4x)2x2，

解得xME5， 25， 25． 2故答案为

15．（2分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 48 ．

【解答】解：设图1中分成的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b， a6ab10，得， ab2b4图1中菱形的面积为：

64448， 2故答案为48．

16．（2分）如图，菱形ABCD中，AB10，AC，BD交于点O，若E是AD边的中点，

AOE65，则OE的长等于 5 ，ADO的度数为 ．

【解答】解：四边形ABCD是菱形，

BODO，ADO1ADC，AB//CD， 2E是边AD的中点，BODO，

OE是ABD的中位线， OE//AB，OE1AB5， 2OE//CD，

ACDAOE65， ADCD，

DACACD65，

ADC180DACACD50，

1ADOADC25．

2故答案为：5，25．

17．（2分）已知一次函数ykx4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于2，则k的值是 4 ．

【解答】解：当x0时，yk044， 一次函数ykx4的图象与y轴交于点(0,4)；

当y0时，kx40，解得：x4， k4一次函数ykx4的图象与x轴交于点(，0)．

k一次函数ykx4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于2， 14|4|||2， 2kk4，

经检验，k4是原方程的解，且符合题意． 故答案为：4．

18．（2分）ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、，连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，下列四个结论中： B重合）

①对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形；

②若ABC90，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形； ③若ABAD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形； ④若BAC45，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形． 以上所有正确说法的序号是 ①③ ． 【解答】解：①如图1，

四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，

AB//DC，ABDC，OAOC，OBOD， OAEOCF， AOECOF，

AOECOF(ASA)，

AECF，

又AE//CF，

四边形AECF为平行四边形，

即E在AB上任意位置（不与A、B重合）时，四边形AECF恒为平行四边形， 故选项①正确； ②如图22，

当CEAB时，点E不在边AB上，故选项②错误． ③如图3，

当EFAC时，四边形AECF为菱形，故选项③正确．

④如果ABAD，就不存在点E在边AB上，使得四边形AECF为正方形，故选项④错误． 故答案为：①③．

三、解答题（共8题，19题10分，20～24题，每题6分，25，26题，每题7分，共54分） 19．（10分）计算： （1）48618；

（2）2728(4)2． 【解答】解：（1）原式2232 2；

（2）原式3344 33．

20．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上两点，且DEBF． 求证：四边形AFCE是平行四边形．

【解答】证明：连接AC交BD于O，四边形ABCD是平行四边形，

AOCO、BODO，

BFDE，

OEOF，

四边形AFCE是平行四边形

21．（6分）已知：在ABC中，ABC90． 求作：矩形ABCD． 作法：如下，

①分别以点A，C为圆心，大于

1AC的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N； 2②作直线MN，交边AC于点O；

③作射线BO，以点O为圆心，以BO长为半径作弧，与射线BO的另一个交点为D，连接CD，

AD；

所以四边形ABCD就是所求作的矩形．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明．

证明：直线MN是AC的垂直平分线，

AOOC． BODO，

四边形ABCD是平行四边形( 对角线互相平分的四边形是平行四边形 )（填推理的依

据）．

ABC90，

． 四边形ABCD是矩形( )（填推理的依据）

【解答】（1）解：如图，四边形ABCD即为所求．

（2）证明：直线MN是AC的垂直平分线，

AOOC． BODO，

， 四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

ABC90，

． 四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．

22．（6分）如图，每个小正方形的边长为1． （1）直接写出四边形ABCD的面积和周长； （2）求证：BCD90．

【解答】（1）解：四边形ABCD的面积5531242251251214.5； 由勾股定理得AB521226、BC422225、CD22125、

AD421217，

故四边形ABCD的周长是2625517263517； （2）证明：连接BD．

BD32425，

BC2CD220525， BD225， BC2CD2BD2，

BCD是直角三角形，

即BCD90．

23．（6分）近5年，我省家电业的发展发生了新变化．以甲、乙、丙3种家电为例，将这3种家电2016~2020年的产量（单位：万台）绘制成如图所示的折线统计图，图中只标注了甲种家电产量的数据．

观察统计图回答下列问题：

（1）这5年甲种家电产量的中位数为 935 万台；

（2）若将这5年家电产量按年份绘制成5个扇形统计图，每个统计图只反映该年这3种家电产量占比，其中有一个扇形统计图的某种家电产量占比对应的圆心角大于180，这个扇形统计图对应的年份是 年；

（3）小明认为：某种家电产量的方差越小，说明该家电发展趋势越好．你同意他的观点吗？请结合图中乙、丙两种家电产量变化情况说明理由．

【解答】解：（1）这5年甲种家电产量从小到大排列为：466，921，935，1035，1046， 这5年甲种家电产量的中位数为935万台，

故答案为：935；

（2）由折线统计图得，2020年甲、丙2种家电产量和小于乙种家电产量，

2020年的扇形统计图的乙种家电产量占比对应的圆心角大于180，

故答案为：2020； （3）不同意小明的观点，

理由：由折线统计图得，丙种家电的方差较小，但丙种家电的产量低，而且是下降趋势，乙种家电的方差较大，但乙种家电的产量高，而且是上升趋势， 不同意小明的观点．

24．（6分）如图，AD是ABDE的对角线，ADE90，延长ED至点C，使DCED，连接AC交BD于点O，连接BC． （1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）连接OE，若AD4，AB2，求OE的长．

【解答】（1）证明：四边形ABDE是平行四边形，

AB//DE，ABED， DCED，

DCAB，DC//AB，

四边形ABCD是平行四边形，

DEAD，

ADC90，

四边形ABCD是矩形；

（2）解：过O作OFCD于F，

四边形ABCD是矩形，AD4，AB2

DECDAB2，ADBC4，ACBD，AOOC，BODO， ODOC， OFCD，

11DFCFCD21，

22OF11BC42，EFDEDF213， 22OEEF2OF2322213．

25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1:y1kxb与直线y2x平行，且经过点(1,0)．

（1）求直线l1的解析式；

（2）已知直线l2:y2mx1，过点p(n,0)作x轴的垂线，与直线l1交于点M，与直线l2交于点N． 结合图象回答：

①若m1，当点M在点N的上方时，直接写出n的取值范围；

②若对任意的n2，都有点M在点N的上方，直接写出m的取值范围．

【解答】解：（1）直线l1:y1kxb与直线y2x平行，

k2，

把点(1,0)代入直线y2xb中，得到02b， 解得b2，

直线l1的解析式为y2x2；

（2）如图，

①若m1，则直线l2:y2x1， yx1x3解得，， y2x2y4由图象可知当n3时，点M在点N的上方； ②把x2代入y2x2求得y2，

把x2，y2代入ymx1得，22m1， 解得m1， 21． 2若对任意的n2，都有点M在点N的上方，m的取值范围是m

26．（7分）在正方形ABCD中，点E在射线CB上（不与点B，C重合），连接DB，DE，过点E作EFDE，并截取EFDE（点D，F在BC同侧），连接BF． （1）如图1，点E在BC边上． ①依题意补全图1；

②用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系，并证明；

（2）如图2，点E在CB边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段BD，BE，BF之间的数量关系．

【解答】解（1）①图形如图所示． ②结论：BD2BEBF．

理由：过点F作FHCB，交CB的延长线于H，

四边形ABCD是正方形，

CDAB6，C90， DEFC90，

DECFEH90，DECEDC90， FEHEDC，

在DEC和EFH中， HC90FEHEDC， EFDEDECEFH(AAS)，

ECFH，CDBCEH， BHECFH，

BD2BC2(BEEC)2BE2EC2BC2FH2BEBF．

（2）结论：2BEBFBD．

理由：过点F作FHCB，交CB于H， 四边形ABCD是正方形，

CDAB，ACB90， DEFACB90，

DECFEH90，DECEDC90， FEHEDC，

在DEC和EFH中，

FHEDCE90， FEHEDCEFDEDECEFH(AAS)，

ECFH，CDBCEH， HBECHF，

DCB和BHF都是等腰直角三角形，

BD2BC2HE，BF2BH，

BEECBC，

2BE2EC2BC， 2BE2FHBD， 2BEBFBD，

四、附加题（第27题6分，第28题7分，第29题7分，共20分）

27．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点O．按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O为其对角线交点： （1）在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；

（2）在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等； （3）在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等．

【解答】解：（1）如图1，矩形ABCD即为所求；

（2）如图2，平行四边形ABCSD即为所求； （3）如图3，正方形ABCD即为所求．

28．（7分）正方形ABCD中，点M是对角线AC的中点．

（1）如图1，点P在线段AM上（不与点A，M重合），过点P作PFCD于点F，作

PEPB且PE交CD于点E．求证：DFEF．

（2）如图2所示建立直角坐标系，点B与原点重合，点A(0,2)，点C(2,0)．若点P在线段

AC上，PEPB，且PE交直线CD于点E．求出当PCE是等腰三角形时，P点的坐标

为 (2，22)或(2,2) （直接写出答案）．

【解答】（1）证明：如图，连接PD，

四边形ABCD是正方形，点P在对角线AC上，

由正方形关于对角线AC对称可知：PBCPDC，PBPD，

PBPE，BCD90，

PBCPEC360BPEBCE180， PECPED180， PBCPED， PEDPBCPDC，

PDPE，

PFCD，

DFEF．

（2）解：①过点P作PGx轴，PHy轴，

四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

PGPH，GPH90，

又BPE90，

GPHBPE，

在BPG和EPH中， BPGEPHBPEGPH， PGPHBPGEPH(AAS)，

BGEH，

设PGa，则GCCHa，DHBGEH2a，

CEHECH22a， PCE为钝角，

PCE为等腰三角形时， PCCE，

PC2a，CE22a，

2a22a， a22， BG2，

P点坐标为(2，22)．

②当点P与点A重合时，点P的坐标为(2,2)． 故答案为(2，22)或(2,2)．

29．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点A(0,6)，点B在x轴的负半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“伴随矩形”．下图为点P，Q的“伴随矩形”的示意图．

（1）若点B(3,0)，点C的横坐标为1，则点B，C的“伴随矩形”的面积为 8 ； （2）点M，N的“伴随矩形”是正方形．

①当正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，并求出直线ON的函数解析式；

②当正方形的对角线长度为32时，原点O与所有正方形上各点所连线段的长记为m，直接写出m的取值范围．

【解答】解：（1）如图1中，

A(0,6)，B(3,0)，

直线AB的解析式为y2x6，

当x1时，y4， C(1,4)，

B，C的“伴随矩形”矩形的长为4，宽为2，面积为8．

故答案为8．

（2）①如图2中，

点M，N的“伴随矩形”是正方形， B(6,0)，

由题意M(3,3)，N(5,1)或(1,5)， 1直线ON的解析式为y5x或yx．

5

②如图3中：

正方形MENF的对角线为32，

点F的运动轨迹是直线l:yx9，点E的运动轨迹是直线l:yx3，

作OP直线l于P交直线l于Q．可得OP9232，OQ，

22当点N与B重合时，点F(6,3)，此时OF的值最大，最大值623235， 原点O与所有正方形上各点所连线段中的最大值为35，最小值为

32m35． 232， 2