【优化探究】2014高考数学总复习 提素能高效题组训练 3-1 文 新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：

3-1

[命题报告²教师用书独具]

考查知识点及角度 象限角及三角函数值 符号 三角函数定义 弧长、面积问题 一、选择题 1．(2013年唐山模拟)已知cos θ²tan θ <0，那么角θ是( ) A．第一或第二象限角 C．第三或第四象限角

B．第二或第三象限角 D．第一或第四象限角 题号及难度 基础 1、2 3、7 6 中档 9 4、5、11 8、10 稍难 12 sin θ

解析：因为cos θ²tan θ＝cos θ²＝sin θ<0且cos θ≠0，所以角θ是第

cos θ三或第四象限角．

答案：C

3

2．已知角θ是第二象限角，sin θ＝，那么角2θ为( )

4A．第一象限角 C．第三象限角

B．第二象限角 D．第四象限角

372

解析：因为sin θ＝且角θ为第二象限角，所以cos θ＝－1 －sinθ＝－，则

4413722

cos 2θ＝cosθ－sin θ＝－，sin 2θ＝2sin θcos θ＝－.由于角2θ的正弦值与

88余弦值均为负，故角2θ为第三象限角．

答案：C

3．(2013年洛阳模拟)已知锐角α的终边上一点P(sin 40°，1＋cos 40°)，则锐角α＝( )

A．80° C．20°

2

B．70° D．10°

2

解析：易知点P到坐标原点的距离为sin 40°＋1＋cos 40°＝2＋2cos 40°＝

- 1 -

2＋2³2cos 20°－12＝2cos 20°，由三角函数的定义可知cos α＝

sin 40°

＝

2cos 20°

2sin 20°cos 20°

＝sin 20°.∵点P在第一象限，且角α为锐角，∴α＝70°.

2cos 20°

答案：B

2π2π

4．已知角α的终边上一点的坐标为sin，cos，则角α的最小正值为( )

33A.C.5π

65π 3

B.D.2π 311π

6

2π312π

解析：∵sin，cos＝，－，

3322

13

∴角α为第四象限角，且sin α＝－，cos α＝.

2211π

∴角α的最小正值为.

6答案：D

2π

5．(2013年豫西五校联考)点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，

3则Q点的坐标为( )

31

A.－， 2231

C.－，－

22

B.－D.－





31，－ 2231， 22

2π12π3

解析：由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝，3232故选A.

答案：A 二、填空题

6．(2013年海口模拟)圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为________．

解析：设圆半径为R，则其内接正三角形的边长为3R，于是圆心角的弧度数为答案：3

7．(2013年东莞调研)已知角α的终边与单位圆的交点Px，3RR＝3.

3

则tan α＝________. ，2

- 2 -

3122

解析：由|OP|＝x＋＝1得x＝±，

423

2

∴tan α＝＝±3.

1±2答案：±3

8．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为________． 1212

解析：设扇形的半径为R，则Rα＝2，R³4＝2，

22

R2＝1，∴R＝1，

∴扇形的周长为2R＋α²R＝2＋4＝6. 答案：6

9．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则α的取值范围是________．

sin α>cos α，

解析：由已知得

tan α>0，

∴

ππ5π

＋2kπ<α<＋2kπ或π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z. 424

∵0≤α≤2π， ∴

ππ5π<α<或π<α<. 424

答案：

π，π∪π，5π

442

2

三、解答题

10．一个扇形OAB的面积是1 cm，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB. 解析：设圆的半径为r cm，弧长为l cm， 1lr＝1，

则2l＋2r＝4，

解得

r＝1，l＝2.

∴圆心角α＝＝2.

如图，过O作OH⊥AB于H.则∠AOH＝1弧度．

lr

∴AH＝1²sin 1＝sin 1(cm)，∴AB＝2sin 1(cm)．

- 3 -

11．(2013年绍兴月考)角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a>0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sin α²cos α＋sin β²cos β＋tan α²tan β的值．

解析：由题意得，点P的坐标为(a，－2a)， 点Q 的坐标为(2a，a)． 所以，sin α＝

－2aa＋－2aa＝2

1

2

＝－2，

5

2

， 5

cos α＝

a2＋－2aa－2atan α＝＝－2， sin β＝cos β＝a1

＝， 22

2a＋a5

2a2a2＋a＝225

，

a1

tan β＝＝，

2a2

故有sin α²cos α＋sin β²cos β＋tan α²tan β ＝

－21121

³＋³＋(－2)³＝－1.

25555

12．(能力提升)在直角坐标系xOy中，若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：

y＝22x(x≥0)．

π(1)求sin α＋的值；

6

(2)若点P，Q分别是角α的始边、终边上的动点，且PQ＝4，求△POQ面积最大时，点P，

Q的坐标．

解析：(1)由射线l的方程为y＝22x， 221

可得sin α＝，cos α＝，

33

π223111＋26故sinα＋＝³＋³＝. 632326(2)设P(a,0)，Q(b,22b)(a>0，b>0)． 在△POQ中，因为PQ＝(a－b)＋8b＝16， 即16＝a＋9b－2ab≥6ab－2ab＝4ab， 所以ab≤4.所以S△POQ＝2ab≤42.

2

2

2

2

2

- 4 -

23

当且仅当a＝3b，即a＝23，b＝时取等号．

3

所以△POQ面积最大时，点P，Q的坐标分别为P(23，0)，Q

[因材施教²学生备选练习]

1．在直角坐标平面内，已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，若角θ的终边过点P，则cosθ＋sin 2θ的值等于( )

1A．－

2C.7 10

1B. 27D．－

10

2

2346

，.

33

解析：因为函数y＝logax的图象恒过定点(1,0)，所以f(x)的图象恒过定点P(－1,3)，由三角函数的定义知sin θ＝310＝

310－110

，cos θ＝＝－， 101010

13101101622

则cosθ＋sin 2θ＝cosθ＋2sin θcos θ＝＋2³³－＝－＝－，10102101010故选A.

答案：A

2．(2013年绵阳模拟)记a＝sin (cos 210°)，b＝sin (sin 210°)，c＝cos (sin 210°)，

d＝cos (cos 210°)，则a，b，c，d中最大的是( )

A．a C．c

B．b D．d

1

解析：注意到210°＝180°＋30°，因此sin 210°＝－sin 30°＝－，cos 210°＝

2－cos 30°＝－

3π3π113π133

，－<－<0，－<－<0,0<<<，cos >cos >0，a＝sin －22222222222

＝－sin

311311<0，b＝sin －＝－sin <0，c＝cos －＝cos >d＝cos －＝cos 222222

3

>0，因此选C. 2

答案：C

3．(2013年长安质检)如图，已知点A(3,4)，C(2,0)，点O为坐标原点，点B在第二象限，且|OB|＝3，记∠AOC＝θ.

- 5 -

(1)求sin 2θ的值；

(2)若|AB|＝7，求∠COB的正弦值．

43

解析：(1)由条件可知|OA|＝5，根据三角函数定义可知sin θ＝，cos θ＝，

∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝24

25. (2)在△AOB中，令∠AOB＝α，

2

2

2

2

2

2

则cos α＝|OA|＋|OB|－|AB|5＋32|OA||OB|＝－72³5³3＝－1

2，

又α∈(0，π)，∴α＝2π3，sin α＝sin 2π3

3＝2，

cos α＝cos2π1

3＝－2

. ∴sin∠COB＝sin(α＋θ)＝sin αcos θ＋cos αsin θ ＝32³35＋1－2433－4

³5＝10

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