第五章压轴题秒杀
很多朋友留言说想掌握秒杀的最后一层。考数学压轴题的把握。的, 不过, 来的,
压轴题,
会难倒很多很多很多人。
压轴题并不是那般神秘难解, 明白么？他很怕。那种思想,
,
相反, 出题人很怕很怕全省没多少做出在群里面我也说过, 在这里就不多啰嗦了。关于秒杀法的最难掌握的一层
,
,
便是对于高尤其是理科
各省的难度不一致
但毫无疑问,
想领悟、把握压轴题的思路全是数学压轴题, 内）。 08全国一,
给大家推荐几道题目。
,
所以不在推荐范围07全国一
07江西,
08山东,
且是理科（09的除山东的外我都没做过08全国二,
一年过去了, 很多题目都忘了, 但这几道题,
,
做过之后, 虽然一年过去了,
可脉络依然清晰。都是一些可以秒杀的典型压轴题记住,
压轴题是出题人在微笑着和你对话。
望冲击清华北大的同学细细研究。
具体的题目的“精”, 频里面讲解的很清楚。不过,
以及怎么发挥和压榨一道经典题目的最大价值, 会在以后的视
\\ 尤
我还是要说一下数列压轴题这块大家应该会什么（难度以及要求依次增高）
,
或者问老师,
这里必考。
）
1：通项公式的求法（不甚解的去看一下以前的教案其推荐我押题的第一道数列解答题。单的数列考察方式
,
2.：裂项相消（各种形式的都要会）、迭加、迭乘、错位相减求和（这几个是最基本和简
一般会在第二问考）
,
要做到每一类在脑中都至少有一道经典题想对应
3：数学归纳法、不等式缩放
基本所有题目都是这几个的组合了才行哦。
开始解答题了哦, 义在于,
先来一道最简单的。貌似北京的大多挺简单的。
,
只能说不大。意
必须必须必须谨记的四个字：分类讨论！！！！！！！
这道题意义在什么呢？对于这道题在高考中出现的可能性我不做解释
提醒大家四个字,
下面07年山东高考的这道导数题类似的题目在
, 对分类讨论的考察尤为经典, 很具参考性,
08、09、10年高考题中见了很多。
(22)(本小题满分14分)
设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0.(Ⅰ)当b> 时, （Ⅱ）求函数
判断函数f(x)在定义域上的单调性；f(x)的极值点；
n,不等式ln( )都成立. ,
最后一问..有点鸡肋了~
（Ⅲ）证明对任意的正整数这道题我觉得重点在于前两问这道题,
太明显了对吧？
1
看压轴问的形式, 想想我之前关于压轴题思路的讲解
,
很明显的令
当然这只是例子之一了
, ,
看出来么？第三问其实
就是直接利用第一问和第二问的结论这也证明了我之前对压轴题的评述吧。样的。下面,
下面,
下面,
1/n 为x 这道题就出来了。
绝大多数压轴题都是这
重点来了。
ln X<= X--1 你可以利用导数去证明这个不等式的正确性
,
太有用了。
X--1 这样简单的线性函数,
见到自然对数,
,
多么漂亮
我第一个想的就会
,
大家是否眼熟这个不等式呢？但我想说的是, 什么用？
的一个式子！可以说是这个不等式,
这个小小的不等式,
将一个对数形式的函数转化为一个
导数不等式证明中
看能否利用这个不等式将题目转化为特别容易做的一道题。
这也是一种很重要而且经典的缩放！看看有多少省用到了这个不等式的！
不信的话大家去看07--10年的全国各地高考题, ,
就是用了这个不等式！
,
而下面这道我认为导数解答题中特经典的一道的简单解法再次强调：压轴题中,
见到对数函数式的不等式证明
第一个要想的是这个不等式！
再举几个例子：1.
一个三角形的三内角成等差数列
,
对应的三边成等比数列
,
则三内角所成等差
数列的公差等于__ 解：
这个题真算的话但考试的时候
有点难度完全可以秒杀
答案就出来了满足,
只要不违背题意
条件随你加,
随你加强
也挺麻烦
直接特殊化为等边三角形等边三角形满足题意么？所以公差为0
几秒钟一道很难的题这个题条件很强, 可是,
对一道能秒杀的题详解：
,
这就是秒杀的目的所在既有角的又有边的不仅要秒杀,
,
就说明答案唯一
那是考试现场时的秒杀。
还要真正做出来才算
假设A<=B<=C A+C=2B b平方=ac 用正弦定理得出
COS(A-C)=1
ABC。
也可用余弦定理求出
2
第六章再说秒杀和压轴题以下为视频讲解内容：
秒杀也分几类：最常用的一般是特殊性（有些人理解的特殊值的一种罢了, 那叫艺术,
还有其实技巧不在这里取得不好.......嗯！）
它的前n项和,
前2n项和,
前3n项和分别是
,
,
其实特殊值也是特殊化
,
取得好,
而在于这个特殊值你如何取
第一题：A[N]是任意等比数列, x,y,z,则下列等式恒成立的是1.X+Y=2Y 2.Y(Y-X)=Z(Z-X) 3.Y平方=XZ 4.Y(Y-X)=X(Z-X) 如何秒杀呢,
很明显,
取特殊值,
,
如何取呢？以前说过, 见到A[N]是任意
等比数列的等等或者说见到任意两字的我们令A[N]=1, 样题目变成什么了呢？我翻译一下：已知
呵呵,
往往就是我们发挥的地方。
还不止,
我们这里再令
N=1,
这
很特殊了吧,
A[N]是任意等比数列,
?
它的前1项和x, 前2项和Y, 前3
项和是z,则下列等式恒成立的是你猜,
呵呵,
这样直接可以排除A[2]=2, 4任然正确,
2,3了, 那么1, 这样符合题意吧？
4呢？
我们假设A[1]=1, 很明显1不正确,
A[3]=4,
答案是4
第二题：如图, 的两点,
若,
在中,
,
点是的中点, 则的值为
过点的直线分别交直线
．
, 于不同
向量如何秒杀呢, 是特殊化+坐标化！！呵呵, 按照题意, 以求出,
其实就只说向量, 也有两三钟秒杀的方法
,
,
, 我觉得好用的就
, ,
可
就是把三角形特殊化为等腰直角三角形
我们画出MN的直线,
若,
这意思也是任意三角形吧
根据上面的两个公式
,
大家记得吗---是直线的截距式（不记得的都面壁去吧
MN的直线方程为
MX+NY=1,
这可是基础）
,
直线
根据截距式我们得出MN过中点,
我们还有个条件没有用带入得M+N=2
,
明显BC中点为（1/2,1/2）,对吧,
,
这个是07年江西的一道高考题学还不会做, 其实秒杀呢, 子了！！还有就是三角函数也分好多种吧, 题。
,
常规方法要比这个麻烦的多而且可能大部分同
而换成秒杀的—就是最基本的加减运算啦！！每张卷子都能用到的是那种集合
,
求范围等等的题目
,
就不举例
解析几何（这个主要是取特殊位置的直线）比如,
题目让你求一个三角函数表达式的值
, ,
至于三角函数, 而且是道选择
比如哦：tanA*tanB+conA*sinB和AB无关, 们就可以随便给
那么很明显, AB值,
等等的算式吧, 就可以得出最后结果
3
然后选择项里面都是常数
结果都一样,
,
, 也就是
我
不管AB取什么, 这时候,
这样的题我见过不少！！
上面说的都是一些简单但很常用的比如函数旋转等等有一种很常用的, X平方+Y平方=1,
,
我随便出题：
, 难一点的应该算是变换
,
, 或者用到复指数等哦,
对了,
, 还
就可以利用复向量的旋转特性去解决
求X+Y的取值范围
, ,
或者消元了呗, 当然,
但我们可以用三角函数去做
,
,
X
常规的方法肯定是画图等等平方+Y平方=1, 2,
令X=COSA,Y=SINA,也就是求conA+sinA的范围,
一般题目不会这么简单,
明显是正负根比如：,
因为
是吧？一眼就看出来了
3X平方+4Y平方=1, 不是园, 方,
求X,Y取值范围,
,
这时候画图就不好使了哦
但三角函数依然可以我们令3X平方=conA平方, 4Y平方=sinA平
然后是不是和上面一样了呢！！
好了秒杀就这样吧！
压轴题
下面这道是我高考的压轴题大家应该知道, 的也想整一道例题
,
,
是道椭圆的题,
,
不算难。
解析几何两者之间选一道
,
数列
压轴题一般会在数列不等式
可时间有限,
就算了。
下面是09年的山东理科数学压轴题：
第一问：送分第二问：,
呵呵,
我还记得在考场上
,
我看到时就笑了,
高考题考来考去
也就是这些基本的不变的东西。这个代表什么呢？这个是题眼OA*OB=0（向量点乘）, 我大概说下：
,
其实我们都很清楚。
后面的不用想也能再脑中出来一推东西
,
其实看到这里,
首先OA*OB=0, 明显韦达定理要用了
所以X1X2+Y1Y2=0 ,
然后要连立直线了
,
,
比如设直线AB为：
“分类”,
就
Y=KX+M （设出来这个直线的时候是K不存在的情况, 因为每一个分类就有一定的分然后可以得出
,
脑子里面应该本能的想到一个词给大家说,
只要能分类的,
一定要分类, 一定要分类,
我们的目的就是拿分！！）
（有一个式子,
那肯定能根据题目其它的一个
K和M的一个等式,
,
条件得出另外一个式子哦, 继续看, 个等式, 上面这些,
这个说明下,
这两个式子联立, 一般就可以做出来了）
,
后面的还没看呢,
肯定能得出一
这是看到OA*OB=0后出来的一推东西
切线,
我们都知道,
呵呵出来了, 根据切线,
这样题目思路就清晰了！
大家是不是都能熟练的背下来呢
,
其实这道题难得不是这些
,
难在
你是不是明白题意。还有对圆锥曲线问题
,
大家心里一定一定要坚定一个信念
----那就是直线和曲线联立！！
4
这句话很重要, 理,
只有你能找到直线和曲线联立（一定要找对哦
AB去联立, ,
8分了。大家可能会想
, 比如说这道题,
可是到了高
,
你总不能OA和椭圆联立吧？！只有你能想到用
一般就可以得
考那样的氛围, 你真不一定找到）
那么后面的一直到韦达定
谁都知道用AB联立,
你还能像平时一样大脑清醒吗？而且万一不是一条直线呢等等的情况
题目还要：并求|AB |的取值范围, 玄长公式,
对吧,
若不存在说明理由
所以玄长公式里面只有一个可以求出范围,
K ,
因为知道了K和M 的关系, 所以再结合不等式的知识不然又要扣分！
,
而K又有一定的范围, 考虑K不存在的情况,
当然还要
啰嗦了这么多, 框架,
想告诉大家的：其实就是一定要有思路。思路哪里来的？是不是从
, ,
思路就是一个题眼问题在于,
,
得出一个总体
你如何知道哪里是题
OA*OB=0这里展开一系列的想法呢？可以说
然后在实际做题中把各个细节填满
你如何正确处理？
眼？就是知道,
嗯, 问到点子上了, 我记得我高二高三的时候,
然后,
, 每做一道很典型的题,
我都会把这道题想的很透很透和新学得知识, 方法。
闲暇时, 脑子里想的就是最近做过的就能本能的搜索到相应的应对
时间上了, 基本上见些东西,
大家可能会问, 变化,
高考题是会变的, 而且数学又是一门很灵活的东西
, , , ,
, 随便一点
都可以出来很多很多的题目。其实高考是在变
,
所谓不变就是知识点不变
而且变的很灵活。考点不变（相对来说吧）最多就是变个说法！！
角分线等等,
,
但是高考中更多的是不变
以及更重要的是难题的入手点不变！！或者就是说题眼不变就拿OA*OB=0来说, 还有比如向量
可以衍生出很多不同的说法
比如中点,
AF=3FB向量,
,
这个也是大题中常见的。
会得到两个式子, Y 的,
如何用,
这两个式子中的一个比较任何时候,
都只用其中
这样的如何出处理？简单比如：X2=3X1, 一个,
带入坐标, 还有一个关于
那你就...
你如果两个都用,
,
用哪个呢？很显然啊用X2=3X1, 这个对吧,
,
因为这个简单。
只要对这个式子做几次变化
,
然后再如何做呢？这个可以用韦达定理了吗？其实可以就可以用韦达定理了或者你可以联立后等式。
, ,
从而又要联立直线。解除X1,
X2,
然后带入X2=3X1, 一样可以得到一个
5
我上面说的这些, 我之前说过,
都是需要你平时不断的积累！重复的做试卷----,
要做的是什么？是像圆锥曲线
,
数列不等式,
立体几何等等的很复杂的解答题。。。。
我高三的时候, 一张卷子看过去, 基本上所有题的思路都立马出来了
,
速度和正确率。
,
, 那时候
我在干嘛？我就做圆锥计算不知道大家有什么收获都是有着明显的切入点的定。
, ,
....就是为了训练自己的卷面
其实每一个题目（就算是最难的数列所谓切入点,
圆锥曲线等）,
我觉得就是命题人和考生之间的一种约
一定要把这个切入点（暗示）抓出来！！如何一眼就看出来呢？这要靠平时积累比如B+C=6,
或者B+C=BC 等等,
,
很累,
但收获很大.....
一看就是余弦定理
还有很多很多.....做题积累吧！！
6
“秒杀”高考综合题系列之(一)——
点差法在解析几何综合题中的应用优能中学
从强
, , ,
浙江省高考在解析几何章节的考查内容肯定包含一道综合题按照命题的规律和趋势
,
文科数学一般考察抛物线；（
,
到高三的同学都知道一般多是椭圆和抛物线
我们发现以下两点：（1）理科数2）考察的题型一般是直线与
学在此章节一般考察椭圆
解析几何的位置关系。诸位可以翻看一下浙江过往几年的考试试卷看看。上过从老师高考班的同学应该记得题型的时候,
“抄一个,
,
在解决解析几何图形与直线相切
, 时,
这个位置关系的
5~10分钟一旦看到
代一个”这六个字可以帮助大家快速提升做题速度。如果大
耗费5~10分钟不说, “抄一个,
代一个”,
家要用判别式、位置关系等通法解决此类问题时的计算量还不一定能保证结果正确。但诸位如果知道直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等相切问题切线的方程。当然,
直线与上面图形的位置关系除了相切以外
应做到能在10秒钟以内准确地写出
, 另外一种更常考的位置是相交。
应立即想到“设直线、代
在相交的题型中, 一旦看到“弦长”或者“面积”等关键词时,
曲线、根与系数搞定一切”（弦长公式）。相信大家对这种题型应该有较深的体会了。
“直线与椭圆交于两点
A、B”（即AB是椭圆
通
今天我在这里要跟大家探讨的是：题目中出现过点差法有个重要的结论要求大家记住。
内的一条弦）、“AB中点M”等关键词时的解题方法。“点差法”精髓在于“设而不求”,
设椭圆方程为, 任意一条直
线交椭圆于, 两点, 则
两式相减得到, 移向整理后得到：
即：（M为AB中点）
7
同样的道理, 对于长轴在y轴上的椭圆, 结论为
.
也就是说：椭圆内任意弦
AB所在直线的斜率与过该弦中点并且经过原点的直线的斜率乘积
为一个常数。
,
可以将这个结论看做：过椭圆上某点
P有一条
【再拓展】当A、B两点离的非常近时
切线, 则
21题
请看2009年浙江高考第
已知椭圆弦长为
．
：的右顶点为, 过的焦点且垂直长轴的
（I）求椭圆处的切线与最小值．
的方程；（II）设点交于点
．当线段
在抛物线的中点与
：上,
的中点的横坐标相等时
,
在点求
的
也许很多同学都看过所谓
出直线方程后代入钟。
,
经过两次判别式来确定
,
“标准答案”给我们的解题过程, 设
h的取值范围。这也是很多参考书上给出的计算量和整理的工作至少需要
7~10多分
参考解题思路。不过按照此种通法解题思路
第一问很简单, 结果为：
8
按照我们上面讲到的“点差法”, 在第二问中一旦看到“弦”、“中点”等关键词, 就应
立即想到：
首先想到MN的斜率即是点
（T为MN中点）P处的切线斜率,
设点P横坐标为
,
则点P纵坐标为
根据导函数可得：
MN中点T的横坐标即PA中点横坐标, 根据“抄一个,
代一个”的技巧,
很容易直接就得到过点
P切线直线方程
, 将的值代入直线方程, 得：所以
于是
一个基本不等式,
,
非常容易就得到
整理,
或者
得：, 显然这是
很显然, 排除掉；所以
。
对于, 此时的抛物线内部包含了椭圆, 切线与椭圆没有交点,
的最小值为1。
“弦”、“中点”等关键词,
,
提高速度和正确率。
,
由于篇幅关系,
不再赘述。
比较一下
利用点差法推导出来的这个结
”数学解题,
【总结一下】注意题目中出现的论,
而且可以大大减少运算量对于抛物线,
,
不仅可以提供解决题目的思路很顺畅地进行“需要什么就写什么
利用点差法也可以有类似的结论
,
【课外练习】利用常规方法解决下面问题两种方法所需的时间。
再用上面的小结论分析解决一次。
9
【练习I】如图, 椭圆＝1（a＞b＞0）与过点
的直线有且只有一个公共点
程；（II）设F、F分别为椭圆的左、右焦点ATM=∠AFT。
【解答提示】如果利用常规解法
,
T, ,
且椭圆的离心率e=。（I）求椭圆方
求证：∠
M为线段AF的中点,
第一问需要5-10的时间, 我们可以将这个结论
扩充到直线与椭圆相切的模型
进而得到点T的坐标, 得证第二小问。
, 利用该结论很快得到
,
OT直线的斜率,
问题得解。在第一小问解决后根据相似或者余弦定理都可
【练习II】已知分别为椭圆
, 直线, 椭圆,
的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线过右焦点时, 求直线的方程；
（Ⅱ）设直线若原点
与椭圆交于两点,
求实数
,
的取值范围。
同时,
的重心分别为.
在以线段为直径的圆内,
,
【解答提示】重心是三角形中线的交点词,
我会跟同学强调,
,
心到该点的距离小于半径琐；第二, 点积小于0即可。
出现“中点”, 注意在“圆内”这个
圆向量
这个方法比较繁
看到“圆内”这个词, 这个思路最直观,
有两个角度可以考虑：第一, 但在此题中, 90°,
可考虑使用向量,
说明该点和直径两端点所成的夹角大于
【练习V】（2019）嘉兴市高三教学测试
10
【练习VI】（2019金华十校）
已知抛物线
（1）设
是C1的任意两条互相垂直的切线
, 并设, 证明：点M的纵
坐标为定值；
（2）在C1上是否存在点的中垂线恰为
P,
使得C1在点P处切线与C2相交于两点A、B,
求出点P的坐标；若不存在
,
说明理由。
且AB
C1的切线？若存在,
【练习III】（湖北省八校高2008第二次联考）已知A,B是抛物线（P>0）
上的两个动点, （Ⅰ）求证：直线
为坐标原点, 经过一定点；
非零向量,满足。
（Ⅱ）当的中点到直线的距离的最小值为时, 求的值。
【解答提示】从老师强调, 看到
——直线AB通过一个定点
, 立即想到,
则立即想到老师讲的一个结论第二问出现“中点”,
；第一问的证明即证出。
即可考虑点差法。
【练习IV】（温州市2019届高三第一次适用性测试）短轴的两个端点,
为椭圆的一个焦点
,
已知为椭圆为正三角形,
:
11
（I）求椭圆与椭圆
的方程；（II）设点P在抛物线:上, 在点P处的切线
交于A、C两点, 若点P是线段AC的中点,
,
求AC的直线方程。
【解答提示】第一问对一般学生来说现“弦”（其实就是线段
不是问题；可求出椭圆的方程。在第二问中又出想想老师讲的结论。
AC）、“中点”,
12
