相似与解直角三角形 答案

一、选择题：

1. D 【命题立意】本题主要考查了三角形的中线的定义、中位线的性质、相似三角形的性质等.难度中等.． 【解题思路】由题意可知，ED为ABC的中位线，则△CED∽△CAB

∴SEDC:SABC(ED21)()21:4，故选D． AB22. A【命题立意】本题考查三角函数的定义，比较容易.

BC2

【解题思路】由三角函数余弦的定义cosB= = ，又∵AB=6∴BC=4,故选A

AB33.B【命题立意】本题考查多边形的相似的性质．

【解题思路】A、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，∴∠E=∠K，故本选项错误；

B、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴BC=2HI，故本选项正确；

C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长×2，故本选项错误；

4. A【命题立意】本题考查锐角三角函数的定义，三角函数值只与角的大小有关，与角的边没有关系．

【解题思路】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．

5. B【命题立意】本题考查斜三角形中求三角函数值。

【解题思路】欲求sinA，需先寻找∠A所在的直角三角形，而图形中∠A所在的△ABC并不是直角三角形，所以需要作高．观

察格点图形发现连接CD（如下图所示），恰好可证得CD⊥AB，于是有sinA＝

25CD＝＝．

5AC10A D B C 图4

6. C【命题立意】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似．本 【解题思路】由已知得，E点的坐标就是点A坐标的

2倍．

7. D 【命题立意】本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。

【解题思路】由题意，∠A=30°，∠B=45°，则tanAB=AD+DB=

ACDCD，又CD=100，因此 ,tanBADDBCDCD1001001003100。

tanAtanBtan300tan4508. A【命题立意】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目． 【解题思路】 求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出=，把S四边形BCFE=8代入求出即可． 解：∵∴==， =， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴==， ∴9S△AEF=S△ABC， ∵S四边形BCFE=8， ∴9（S△ABC﹣8）=S△ABC， 解得：S△ABC=9． 故选A． 9. D【命题立意】本题考查相似的判定，勾股定理和相似三角形的性质．

【解题思路】设CF=x，则BF=3-x，由折叠得BF=BF=3-x,在Rt△FCB中，由由勾股定理得CF2+CB2=FB2，x2+12=(3-x)2,解得x=

44,由已知可证Rt△FCB∽Rt△BDG，AR所以S△FCB与S△BDG的面积为（33：1）2=

16.故选D 910. C【命题立意】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大. 【解题思路】由MC＝6，NC＝23，∠C＝90°得S△CMN=63，再由翻折前后△CMN≌△DMN得对应高相等；由MN∥AB

得△CMN∽△CAB且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S△CMN：S四边形MABN=1:3，故选C. 二、填空题： 11.

2【命题立意】相似三角形面积比等于相似比的平方。 5425=

【解题思路】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根.△ABC与△DEF的相似比为12.

2. 5DB或AEDC【命题立意】判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用，在选

择方法一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加.

【解题思路】从已知条件中可得出一组角对应相等，要判定两个三角形相似，可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比.

13.

103【命题立意】本题考查特殊角的三角函数值

0

【解题思路】根据60角所对的直角边是邻边的3倍得出结果。

14. 10 【命题立意】本题主要考查了三角形相似的判定和性质。利用两三角形的相似比，通过已知边长度求解某边长度，是常用的一种计算线段长度的方法。

【解题思路】∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD∴△AED∽△ABC，∴

AEDE，DE=10 ABCB15.

51【命题立意】本题主要考查了三角形相似的判定和性质。利用两三角形的相似比，通过求解一元二次方程得2BCDC，ACBC结论。

【解题思路】由已知条件，可知△BDC、△ADB是等腰三角形，且DA=DB=BC，可证△BDC∽△ABC，则有

设BC=x，则DC=1－x，因此

x1x,即x2x10，解方程得， 1xx1515151； （不合题意，舍去），即AD=,x222216. 210 【命题立意】本题主要考查了解直角三角形的应用：坡度问题．此题难度适中，注意掌握坡度的定义、数形结合思想的应用与辅助线的作法．

【解题思路】如图，过点B作BD⊥AC于D，依题意可求得AD＝60cm，BD＝54cm；由斜坡

BC的坡度i＝1：5，求得CD＝270cm，故AC＝CD－AD＝270－60＝210（cm）．

17. 3.6.【命题立意】在图形中，利用相似，得出比例式，可以求出线段的长.本题主要考查了三角形相似的判定和性质。利用两三角形的相似比，通过已知边长度求解某边长度，是常用的一种计算线段长度的方法。 【解题思路】△BCE与△CDE均为等腰三角形，且两个底角

∠DEC=∠BCE，∴△BCE∽△CDE，∴BC=CE, ∴

CDDE106=,∴DE=3.6厘米. 6DE18. 12a【命题立意】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理．

【解题思路】根据四边形ABCD是平行四边形，利用已知得出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，进而利用相似三角形的性质分别得出△CEB、△ABF的面积为4a、9a，然后推出四边形BCDF的面积为8a即可.

三、解答题：

19.解：原式=(223311)+=+=1----------------------------6分（第一步得3分） 23222

20.设a=2k,b=3k，原式=

21.

5a2b5a2b10k6k4k1(a2b)------------------------6分

(a2b)(a2b)a2b2k6k8k2解：由题意知：∠CAB=60°，△ABC是直角三角形， 在Rt△ABC中，tan60°=即=， ， -----------------------------2分 ------------------------------4分 ﹣16≈39------------------------------- 5分 ∴BC=32∴BD=32答：荷塘宽BD为39米． --------------------------- 6分 22. 解：∵在直角三角形ABC中，∴BC=

=tanα=，

--------------------------------3分

∵在直角三角形ADB中， ∴

=tan26.6°=0.50

即：BD=2AB --------------------------------5分 ∵BD﹣BC=CD=200 ∴2AB﹣AB=200

解得：AB=300米，--------------------------------7分

答：小山岗的高度为300米．--------------------------------8分 23. 解：∵AB为南北方向，

∴△AEP和△BEP分别为直角三角形， 再Rt△AEP中，

∠APE=90°-60°=30°，--------------------------------3分 AE=1 2 AP=1 2 ×100=50海里， ∴EP=100×cos30°=50 在Rt△BEP中， BE=EP=50

海里，

）海里．--------------------------------7分

）海里．--------------------------------8分

海里，--------------------------------5分

∴AB=（50+50

答：测量船从A处航行到B处的路程为（50+50

24. 解：过点C作CD⊥AB于D，--------------------------------1分 ∵BC=200m，∠CBA=30°， ∴在Rt△BCD中，CD=BC=100m，--------------------------------3分 BD=BC•cos30°=200×∵∠CAB=54°， 在Rt△ACD中，AD==100≈173（m），--------------------------------5分 ≈≈74（m），--------------------------------7分 ∴AB=AD+BD=173+74=247（m）．--------------------------------9分 答：隧道AB的长为247m．--------------------------------10分

25.（1）证明： A与C关于直线MN对称

ACMN --------------------------------1分

∠COM=90°

在矩形ABCD中，∠B=90°

∠COM=∠B----------------------------------------3分

又∠ACB=∠ACB

△COM∽△CBA --------------------------------6-分

（2）在Rt△CBA中，AB=6，BC=8

AC=10----------------------------------------- -----8分 OC=5

△COM∽△CBA----------------------------------------10分 OC=OM

BCABOM=15----------------------------------------------12分

4