抛物线的几何性质备考策略
主标题：抛物线的几何性质备考策略
副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道. 关键词：抛物线的几何性质，知识总结备考策略 难度：4 重要程度：5
内容：1．抛物线的焦半径
抛物线上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离称为焦半径．有以下结论(p>0)： (1)对于抛物线y2
＝2px，|PF|＝p2＋x0；
(2)对于抛物线y2＝－2px，|PF|＝p2－x0；
(3)对于抛物线x2＝2py，|PF|＝p2＋y0；
(4)对于抛物线x2＝－2py，|PF|＝p2－y0.
2．与焦点弦有关的常用结论 (以下图为依据)
2
(1)y2
p1y2＝－p，x1x2＝4
.
(2)|AB|＝x＝2p1＋x2＋psin2θ(θ为AB的倾斜角)．
(3)
1
1|AF|＋|BF|为定值2p. (4)以AB为直径的圆与准线相切． (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． 思维规律解题：
考点一：已知抛物线方程应用
例1．(2014·安徽高考)抛物线y＝12
4x 的准线方程是( )
A．y＝－1
B．y＝－2
1
C．x＝－1 D．x＝－2
122
解析：选A 抛物线y＝x的标准方程为x＝4y，所以其准线方程为y＝－1.
4考点二 抛物线的定义及应用
应用一：到焦点与定点距离之和最小问题
例2．已知抛物线的方程为x＝8y，F是焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．
解：∵(－2)<8×4，∴点A(－2,4)在抛物线x＝8y的内部．
2
2
2
如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ. 由抛物线的定义可知|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF|＋|PA|取得最小值，即为|AB|.
∵A(－2,4)，∴不妨设|PF|＋|PA|的值最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x＝8y，1得y0＝. 2
1故使|PF|＋|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为－2，. 2应用二：到点与准线的距离之和最小问题
例3．(2015·忻州联考)已知P为抛物线y＝4x上一个动点，Q为圆x＋(y－4)＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________．
答案：17－1
解析：由题意知，圆x＋(y－4)＝1的圆心为C(0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1,0)．根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝17－1.
答案：17－1
应用三：到定直线的距离最小问题
例4．抛物线y＝－x上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________． 4
答案： 3
解析：法一：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－
2
2
2
2
2
22
x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得
2
y＝－x，
4x＋3y＋b＝0
2
42
消去y整理得3x－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－，所以切3
42
线方程为4x＋3y－＝0，抛物线y＝－x上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是这两
3
条平行线间的距离d＝
2
8－434
5
＝. 3
法二：对y＝－x，有y′＝－2x.如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x相切的直线与抛物线的切点是T(m，－m)，则切线42
斜率k＝y′|x＝m＝－2m＝－，所以m＝，即切点33
2
2
T，－，点T到直
39
24
线4x＋3y－8＝0的距离d＝4
＝0距离的最小值是. 3
8－4－8334
＝，由图知抛物线y＝－x上的点到直线4x＋3y－8
316＋9
2
应用四：焦点弦中距离之和最小问题
例5．已知抛物线y＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
答案：2
解析：由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时，为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.
备考策略：1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
2．求抛物线方程应注意的问题
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
2
3
