⼭东建筑⼤学线性代数试题
2011 ⾄ 2012 学年第 ⼀ 学期 考试时间： 120 分钟 课程名称： 线 性 代 数 （A ）卷 考试形式：（闭卷 ） 年级： 2010级 专业： ；层次：（本 ）
1．设⾏列式D =333231232221131211
a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113
121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） (A) -15； (B) –6； (C) 6； (D) 15。 2．设矩阵=100021012A ，矩阵
B 满⾜E BA ABA +=*2*，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则=B （ ） （A ）9
1； （B ）91-； （C ）3
1； （D ）31-3. 设B A ,是n (2)n ≥阶⽅阵，则必有 ( ). （A ）B A B A +=+； （B ）BA AB =； （C ）A B B A =； （D ）A B B A -=-。4．已知A 是4阶矩阵,*A 是A 的伴随矩阵,若*A 的特征值是4211,,,-,则不可逆的矩阵是: ( )
(A)E A -； (B)E A -2； (C)E A 2+； (D)E A 4-。 5. 设n m <，矩阵n m A ?⾏向量组线性⽆关，b 为⾮零向量，则（ ）（A ）b Ax =有唯⼀解； （B ）b Ax =⽆解； （C ）0=Ax 仅有零解； （D ）0=Ax 有⽆穷多解。
⼆．填空题(每题3分,共15分)1. 设矩阵1234A ??=， =1011P ，则TAP 。2. 已知=500040
003A ，则=-1A 。 3. 已知向量组????? ??-=2111α,????? ??-=1212α, =113t α的秩为2，则t =_____。4.设矩阵--=181213
21841812132b a A 为正交矩阵，则=a ，=b 。 5．若实⼆次型()212322
2132124x tx x x x x x x f +++=,,正定，则t 的取值范围是_________________。三．综合题（70分）
1.（10分） 计算n 阶⾏列式1212123 3 3n n n x x x x x x x x x +++2.(15分)设()()()()TTTT
b a ,0,1,10,2,,5,1,2,4,1,1321==-=-=βααα，试问：当b a ,满
⾜什么条件时，
（1）β可由321,,ααα线性表⽰，且表⽰惟⼀； （2）β不能由321,,ααα线性表⽰；
（3）β可由321,,ααα线性表⽰，但表⽰不惟⼀，写出β可由321,,ααα线性表⽰的⼀般表达式。3.（14）设()()()()TTTT
k 3,1,1,1,1,,1,1,1,1,3,1,1,1,1,14321=-=-=-=αααα，对参数k 取
不同值时，求出向量组的秩，并求出⼀个相应的最⼤⽆关组,并把不属于最⼤⽆关组的向量，⽤最⼤⽆关组表⽰。
4．（10分）已知三维向量空间3R 的两个基为
??-= ??--= ??=011,211,001321ξξξ及 = = =013,212,011321ηηη
求由基321,,ξξξ到基321,,ηηη过渡矩阵P 。 5.（15分）设有⼆次型()3231212
32221321662355,,x x x x x x x x x x x x f -+-++=（1）写出⼆次型的矩阵；
（2）求⼀正交变换，将此⼆次型化为标准型。 6.(6分)设A , B 均为n 阶⽅阵,满⾜1ABA B -=,证明:()+()R E AB R E AB n +-=。
2011 ⾄ 2012 学年第 ⼀ 学期 考试时间： 120 分钟 课程名称： 线 性 代 数 （B ）卷 考试形式：（闭卷 ） 年级： 2010级 专业： ；层次：（本 ）
⼀、选择题（每⼩题3分，共15分）1.若1333231232221131211
==a a a a a a a a a D ，333231312322212113
1211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---=，则=1D （ ） （A ）8； （B ）12-； （C ）24； （D ）24-。 2.已知
-=174532321
A ，则矩阵A 的秩()A R 为（ ） （A ）1； （B ）2； （C ）3； （
D ）4. 3.设n 阶⽅阵A 满⾜02=A ，则必有（ ） （A ）E A +不可逆； （B ）E A -可逆； （C ）A 可逆；（D ）O A =。
4. 设A ，B 是同阶正交矩阵，则下列命题错误．．的是（ ） （A ）1-A 也是正交矩阵； （B ）*A 也是正交矩阵； （C ）AB也是正交矩阵；
（D ）B A +也是正交矩阵。
5. 设21ββ,是⾮齐次线性⽅程组b Ax =的两个解，则下列向量中仍为⽅程组解的是（ ） （A ）21+ββ； （B ）21ββ-；（C ）222
1ββ+； （D ）52321ββ+。
⼆、填空题（每⼩题3分, 共15分）
1. 若21αα,线性⽆关，⽽321ααα,,线性相关，则向量组32132ααα,,的⼀个最⼤线性⽆关组为________________.2. 设齐次线性⽅程组a a a 111111 321x x x ＝?
000的解空间的维数是2，则a ＝______________。3.设()321,,ααα=A 为正交阵，则=-321132ααααT
T .
4．设向量()T1211,,=α和()T
2112,,=α都是⽅阵A 的属于特征值2=λ的特征向量，⼜向量21ααβ2+=，求=β2A . 5．若⽅阵A 与对⾓矩阵
--=111D 相似，则6A = 。 三．综合题（70分）1. (10分)计算⾏列式：=D 3214
214314324321
2.（10分 ）设A 和B 都是3阶⽅阵B A E AB +=+2，若 =101020101A ，求
B . 3. （10分）设向量组：()()()()TTTT
6,1,10,5;0,12,3,3;0,4,1,1;2,1,3,24321--=-=-=-=αααα，求该向量组的
秩()4321,,,ααααR ，并求出该向量组的⼀个最⼤⽆关组，并把不属于最⼤⽆关组的向量⽤该最⼤⽆关组来线性表⽰。4.（15分）b a ,取何值时，线性⽅程组=++=++=++bx ax x x x x x x x 321321321322341
23，（1）有惟⼀解；（2）⽆解；
（3）有⽆穷多个解？并在有⽆穷多个解时求其通解.5.（10分）在3维线性空间3R 中给出两组基()()()TTT
1,0,1;0,1,0;0,0,1321===ξξξ及()()()TTT
1,1,2;2,2,1;1,0,2321=-=-=ηηη
（1）求由基321,,ξξξ到基321,,ηηη过渡矩阵P（2）若向量α在基3,2,1ηηη下坐标为()T2,2,2-，求α在基321,,ξξξ下的坐标.6.(15分)设实⼆次型=011101110
A （1）求正交矩阵P 使Λ=-AP P1
为对⾓矩阵；
（2）求矩阵()E A A A f 3223++=的特征值。
2011 ⾄ 2012 学年第 ⼆ 学期 考试时间： 120 分钟 课程名称： 线性代数 （ A ）卷 考试形式：（；层次：（本 ）
⼀、选择题（每⼩题4分，共20分）1．设111213212223313233=a a aD a a a a a a
闭卷 ） 年级： 2010 专业：， 3132331213122322333111213
232323=---a a a D a a a a a a a a a ，则1=D （ ）
(A)D ； (B)2D ； (C)2-D ； (D)3-D 。2．设A ，B 都是n 阶⽅阵，且满⾜关系式()()22
A B A B A B +-=-，则（ ）
（A ）A B O =； （B ）B A O =；（C ）A B B A =； （D ）A B B A =-3. 设A 是n (3)≥n 阶⽅阵，且()2A =-R n ，*A 是A 的伴随矩阵,则必有 ( ). （A ）*A O ≠； （B ）()*0A =R ； （C ）1*A A
-=n ； （D ）()*2A ≤R 。
4．已知A 是4阶⽅阵, A 的⾏列式0A =，那么A 中 ( ) （A ）必有⼀列元素全为零； （B ）必有两列元素对应成⽐例； （C ）必有⼀个列向量是其余3个列向量的线性组合； （D ）任意⼀个列向量都是其余的列向量的线性组合。
5. 设12,λλ是n 阶⽅阵A 的两个特征值，且12≠λλ，12,p p 分别是⽅阵A 对应于12,λλ的特征向量，要使1122p p +k k 是A 的特征向量，则（ ） （A ）120==k k ； （B ）120,0≠≠k k ； （C ）120?=k k ； （D ）120,0≠=k k 。⼆．填空题(每题4分,共20分)6. 如果30 4050++=??+=??--=?
x ky z y z kx y z 有⾮零解，则=k 。
7. 设A 为3阶⽅阵，*A 是A 的伴随矩阵,且0A =≠a ，则1*3A = 。8. 设111213212223313233A ??
= a a a a a a a a a ， 1010100001P ?? ?= ? ??，21
00010101P ??=
则12P P A =__ _ __。
9.已知向量组123,,ααα线性⽆关，向量组112,βαα=-a ，223,βαα=2-b 3313βαα=-也线性⽆关，则,a b 满⾜关系 。10．⽅阵A 可逆，λ是A 的⼀个特征值，则可以求得12A A -+的⼀个特征值为_________________。三．综合题（60分）11.（8分） 计算⾏列式41241202105200117
12.(10分)设A AB xx -=-T ,其中11111,1111111x B -
=-=-- ? ? ? ?-???
，求A 。 13.（12分）设有线性⽅程组()()()1231231232 2 2125 422 451-+-=??+--=??
--+-=--?x x x x x x x x x λλλλ 问λ取何值时，线性⽅程组有惟⼀解？⽆解？⽆穷多个解？当有⽆穷解时，求出⽅程组的通解。14．（10分）已知向量组
123423822,12,2,121314αααα- ===-=
（1）讨论该向量组的线性相关性，并求向量组的秩；
（2）求出向量组的⼀个最⼤⽆关组，并⽤最⼤⽆关组表⽰其它向量。 15.（15分）设⽅阵21102141
3A -?? ?= ? ?-?
（1）⽅阵A 是否可以对⾓化？
（2）如果A 可以对⾓化，求可逆矩阵P ，将A 化为对⾓矩阵Λ。 （3）求10A .16.(5分)判断⼆次型()222
123123121323,,255448=+++--f x x x x x x x x x x x x的正定性。
