2019-2020学年高中数学新教材必修一第3章：零点的存在性及其近似值的求法

及其近似值的求法

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．下列函数中，不能用二分法求零点的是( ) A．f(x)＝2x＋3 C．f(x)＝x2－2x＋1

B．f(x)＝x2＋2x－6 D．f(x)＝2x－1

C [因为f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即含有零点的区间[a，b]不满足f(a)·f(b)＜0，故选C.]

2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( ) A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点 B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值 C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点

D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解

A [使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．]

3．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一 个零点，则a的取值范围是( )

A．a＜－1 C．－1＜a＜1

B．a＞1 D．0≤a＜1

B [由题意知f(0)·f(1)＜0，即 (－1)·(2a－2)＜0，∴a＞1.]

4．函数y＝f(x)的图像在区间[1,4]上是连续不断的曲线，且 f(1)· f(4)＜0，则函数y＝ f(x)( )

1

A．在(1,4)内有且仅有一个零点 B．在(1,4)内至少有一个零点 C．在(1,4)内至多有一个零点 D．在(1,4)内不一定有零点

B [可作出y＝f(x)图像的草图(图略)，知y＝ f(x)在[1,4]内至少有一个零点．] 5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

f(1)＝－2 f(1.25)≈－0.984 f(1.5)＝0.625 f(1.375)≈－0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为( ) A．1.5 C．1.375

B．1.25 D．1.437 5

D [由参考数据知，f(1.406 25)≈－0.054，f(1.437 5)≈0.162，即f(1.406 25)·f(1.437 5)<0，且1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.43 75，故选D.]

二、填空题

6．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．

(0,0.5)，f(0.25) [∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点0＋0.5

＝f(0.25)．] x0∈(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算f2

7．用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．

0．75(答案不唯一) [因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，所以区间[0.687 5,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解．]

8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一

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点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．

4 [将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．]

三、解答题

9．判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值(精确度0.1)．

[解] f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，即f(0)·f(1)<0，

f(x)在(0,1)内有零点，又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1)．

取区间(0,1)的中点x1＝0.5，f(0.5)＝－0.75<0， ∴f(0.5)·f(1)<0，即x0∈(0.5,1)． 取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75， f(0.75)＝－0.156 25<0， ∴f(0.75)·f(1)<0.即x0∈(0.75,1)．

取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875，f(0.875)≈0.34>0. ∴f(0.75)·f(0.875)<0.即x0∈(0.75,0.875)． 取区间(0.75,0.875)的中点x4＝0.812 5， f(0.812 5)≈0.073>0.

3

∴f(0.75)·f(0.812 5)<0，

即x0∈(0.75,0.812 5)，而|0.812 5－0.75|<0.1. 所以，f(x)的零点的近似值可取为0.75.

10．甲从A地以每小时60 km的速度向B地匀速行驶，15分钟后，乙从A地出发加速向甲追去，已知乙距A地的路程s(km)与时间t(h)的关系为s＝20t2，求乙多长时间可追上甲．(精确到0.1)

[解] 设乙经过t(h)可追上甲，

1则60t＋4＝20t2，整理得4t2－12t－3＝0，

设f(t)＝4t2－12t－3，

∵f(3)＝－3＜0，f(4)＝13＞0，

∴函数f(t)＝4t2－12t－3在(3,4)上必有一零点，即方程4t2－12t－3＝0在(3,4)上必有一实数根．

设该实数根为t0，则t0∈(3,4)，用二分法可知：t0∈(3,3.5)，t0∈(3,3.25)，t0∈(3.125,3.25)，t0∈(3.187 5，3.25)，t0∈(3.218 75,3.25)，t0∈(3.218 75,3.234 375)．由于区间的两个端点值精确到0.1时都是3.2，故t0＝3.2，即乙需3.2小时可追上甲．

[等级过关练]

1．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表： x 0.2 0.6 1.0 2.0 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 … y＝2x 1.149 1.516 y＝x2 0.04 0.36 2.639 3.482 4.595 6.063 1.96 3.24 4.84 6.76 8.0 10.556 … 9.0 11.56 … 那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间内( ) A．(0.6,1.0) C．(1.8,2.2)

B．(1.4,1.8) D．(2.6,3.0)

C [设f(x)＝2x－x2，根据列表有f(0.2)>0，f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，f(1.8)>0，

4

f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．]

2．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[an，bn](n∈N)上，当|anan＋bn

－bn|＜m时，函数的零点近似值x0＝2与真实零点a的误差最大不超过( )

m

A.4 C．m

mB.2 D．2m

an＋bnan＋bnan＋bn

，因为|x0－a|＝B [假设a∈an，－a≤2－an＝22bn－anm

＜.

22

选B.]

3．如果一个正方形的体积在数值上等于V，表面积在数值上等于S，且V＝S＋1，那么这个正方体的棱长(精确度为0.01)约为________．

6．03 [设正方体的棱长为x，则V＝x3，S＝6x2，∵V＝S＋1，∴x3＝6x2＋1.设f(x)＝x3－6x2－1，应用二分法得方程的近似解为6.03.]

4.方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是________． 2 [(数形结合法)

∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的图像如图，

∴y＝|x2－2x|的图像与y＝a2＋1的图像总有2个交点．] 5．已知函数f(x)＝x3＋x. (1)试求函数y＝f(x)的零点；

(2)是否存在自然数n，使f(n)＝1 000？若存在，求出n，若不存在，请说明理由．

[解] (1)函数y＝f(x)的零点即方程x3＋x＝0的实数根，解方程得x＝0.

5

(2)计算得f(9)＝738，f(10)＝1 010，由函数f(x)＝x3＋x在区间(0，＋∞)单调递增，可知不存在自然数n，使f(n)＝1 000成立．

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