山东建筑大学线性代数练习题

1. 设k为常数，A为n阶矩阵，则|kA|=（ ） (A) k|A|；

(B) |k||A|； (C) kn|A|； (D) |k|n|A| 。

x1x2a2.线性方程组x2x32a有解的充分必要条件为a= ( )

xx113(A)1； (B )11； (C)； (D)1。 333. 向量组1,2,,ss2 线性无关的充分必要条件是（ ） (A) (B) (C) (D)

1,2,,s均不为零向量；

1,2,,s中任意两个向量不成比例； 1,2,,s中任意s1个向量线性无关；

1,2,,s中任意一个向量均不能由其余的s1个向量线性表示。

4．设=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵A2(A)

1必有一个特征值等于

1； 4(B)

1； (C) 2； 2 (D) 4。

5. 设Axb是一非齐次线性方程组,1,2是其任意两个解,则下列结论错误的是 （A）12是Ax0的一个解； （B）12是Axb的一个解； （C）12是Ax0的一个解； （D）212是Axb的一个解。 二、填空题（4分×5＝20分）

１．设2,1,2,1,2,2,2,2,t线性相关，则t . TTT1212２．若向量组1,2,3与向量组l12,23,m31都线性无关。则常数l与m必满足关系式 。

３．设A1,2,3为正交阵，则21T132T3 。

４．设n元齐次线性方程组x12x2nxn0，则它的基础解系中所含向量的个数为 。

222５．已知二次型f(x1,x2,x3)(k1)x1正定，则数k的取值范围为(k1)x2(k3)x3________。

三、综合题（60分）

12D1.（10分）计算行列式：

342341341241 2310122．（10分）设A和B都是3阶方阵ABEAB，若A020，求B。

1013.（10分）设向量组

12,3,1,2T,21,1,4,0T,33,3,12,0T,45,10,1,6T；求该向量组的

秩R1,2,3,4，并求出该向量组的一个最大无关组.

1x1x2x304（15分）设线性方程组x11x2x33，问取何值时，此方程组（1）有惟一

xx1x231解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时，求其通解。 5.（15分）设实二次型fx1,x2,x32x1x22x1x32x2x3 （1）将二次型用矩阵形式表示；

（2）求正交变换xPy，化二次型fx1,x2,x3为标准形； （3）求该二次型在xx1x2x31时最小值。

222线性代数答案

一、选择题

1．C； 2.B； 3.D； 4.A； 5.A。 二、填空题 三、1.

8； 2. lm10； 3. ２； 4. n1 5. k3。 3

三、综合题

111.解 D10341214123112342341234341412123

12341130113=10131 10013131103114810408101160

44404

2.解 由ABEAB得 ABBAE AEBAEAE

22113201AE01010 AE可逆。 BAE030

102100

00141211351213531310r23.解123431310 141212006062010r0041211131r0131001314121131R12342 0000001，2(或1,3，或1,4……)即为该向量组的一个最大无关组

（注：向量组的最大无关组答案不惟一）

111114.解A,b111111r0011r00010111r31111113 13 133 0213（1）当0且3时，RARA,b3，方程组有惟一解

（2）当0时，RA1RA,b2，方程组无解； （3）当3时，RARA,b2，方程组有无穷多解 .

11231011rr60330112 这时，A,b00000000x111x1x31,则 ，令x3c，得方程的通解为 即x2c12，（cR）

x2x32,x103

011x15.解（1）fx1,x2,x3x1x2x3101x2；

110x3011（2） 二次型矩阵A101，

110AE11111101101 11＝11101(1)11111121＝1211＝1＝112

2102

A的特征值为：121； 32

当 121时 解方程 AEx0

111111rAE111000 。

111000121111得基础解系：11,20。 将1,2正交化得 11;2；

20011 将1,2单位化得

p1116211，p2 26026当 32时，解方程A2Ex0

211112112101rrrA2E＝1211011011 121122110000001311得基础解系：31； 单位化得 p3；

3113得到正交矩阵P1212016162613x1y11xxP， 所求正交变换为：2y2y 3xy3313222得二次型标准型fx1x2x3y1 y22y3 （3）由于正交变换不改变向量的长度，故当x1时，y1，

222而y1只有当y1y20,y31时，才能取得最小值。 y22y3故当x1时，二次型的最小值为—2

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其代码写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1． n阶方阵A与对角阵相似的充要条件是 ( ).

(A) A是实对称阵; (B) A有n个互异特征值; (C) A有n个线性无关的特征向量; (D) A的特征向量两两正交.

222．二次型fx12100x2x32x1x2x1x3x2x3是 ( ).

(A) 正定的; (B) 负定的; (C) 半正定的; (D) 不定的. 3．n阶方阵A满足A20，E是n阶单位阵，则 ( ).

(A) EA0，但EA0; (B) EA0，但EA0; (C) EA0，且EA0; (D) EA0，且EA0.

004．设矩阵A001000010000, 则A3的秩为( ). 10A．2; B．3; C．1; D． 4.

5．设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ） A. 12,23,31. B. 12,23,31. C. 122,223,321. D. 122,223,321.

2111006．设矩阵A121, B010, 则A与B （ ）

112000A. 合同且相似；B. 合同但不相似；C. 不合同但相似; D. 既不合同又不相似. 7．设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为（ ）

010010010011; B. 101; C. 100; D. 100. 100A. 1010010110018．设1,2,3均为3维列向量，记矩阵A(1,2,3)，

若A1，则B=（ ）. B(123,12243,13293)，A．0; B．1; C．2; D．3.

9.n阶矩阵M的秩rn的充分必要条件是M中（ ）.

A. 有一个r 阶子式不等于零; B.所有的r阶子式都不等于零; C. 所有的r1阶子式都不等于零;

D. 有一个r 阶子式不等于零, 且所有r1阶子式都等于零. 10. 如果0是n阶矩阵A的特征值, 那么必有（ ）.

A. A0E0; B. A0E0; C. A0E0; D. A0E0.

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11．排列13(2n1)242n的逆序数为 . 12．1(2k,k1,0,3)与2(5,3,k,k1)正交，则k . 13．设A是n阶方阵,为实数，则行列式A .

14．设非齐次线性方程组

10021Axb的增广矩阵为01012，则

00123该方程组的通解为 .

12115．矩阵342的逆矩阵为

541210，矩阵B满足ABA*2BA*E，则12016．设矩阵A. B __________ 001100



17. 若0是3阶矩阵A=020的一个特征值，则x= .

00x

18.设

ai0,bi0,i1,2,3, 矩阵

a1b1A2a1bab31bab2a则3b22b，2aa3ba3b32a1R(A)= . 19. 四阶行列式中含有因子a11a23的项为 . 20. 向量组(A): 1,2,,r与向量组(B): 1,2,,s等价，且向量组(A)线性

无关，则r与s的大小关系是 .

三、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共计20分）

21. 已知ATT，T为的转置，T为的转置. （1）证R(A)2；（2）若,线性相关，则R(A)2 22.设向量组1,2,3,4线性无关,且

11234,21234,

31234,41234证明向量组1,2,3,4线性无关.

四、求解题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

123的特征方程有一个二重根，求的值，并讨论A是14323. 设矩阵Aa1a5否可相似对角化.24.问取何值时 非齐次线性方程组

· ······················································································································································································································································································x1x2x31x1x2x3

2xxx123 (1)有唯一解 (2)无解(3)有无穷多个解，并在无穷多个解时，求方程组的通解. 25. 设有齐次线性方程组

(1a)x1x2xn0,2x(2a)x2x0,12nnx1nx2(na)xn0,装订线(n2)

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.

一、1．C; 2．A; 3．D; 4．D; 5. A; 6．B; 7．D; 8．C． 9. D; 10.A . 二、填空题

2112n(n1)3n1． ; 2．; 3．A; 4．xc ,c为常数。23251021013115．0 ； 8. 1 ; 9. a11a23a32a44,a11a23a34a42.10. 3; 6．.； 7.

9221671rs.

21. 已知ATT，为的转置，T为的转置. （1）求证R(A)2；（2）若,线性相关，则R(A)2.

TR(A)R(TT)(1分)R(T)R(T)(1分)R()R()(1分)2(1分)

所以R(A)2。(2) 由于,线性相关，不妨设k（2分）. 于是

R(A)R(TT)R(1k2T)(1分)R(T)R()12，

即R(A)2。

22、设向量组1,2,3,4线性无关,且

11234,21234,

31234,41234证明向量组1,2,3,4线性无关. 证明：

111111111,2,3,41,2,3,41111111111111111P0,P可逆设P11111111

1,2,3,41,2,3,4P1,即1,2,3,4可由1,2,3,4线性表示,

向量组1,2,3,4与1,2,3,4等价.

12323. 设矩阵A143的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似1a5对角化.解：A的特征多项式为

1 EA23351114a12(2)1410a03

5 =(2)14a13(2)(28183a). 5（1）当2是特征方程的二重根，则有2216183a0, 解得a= -2.

123当a= -2时，A的特征值为2,2,6, 矩阵2E-A=123的秩为1，故2对123应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化.

2（2）若2不是特征方程的二重根，则8183a为完全平方，从而

18+3a=16，解得 a..

233232当a时，A的特征值为2，4，4，矩阵4E-A=103秩为2，故4对

32113应的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化. 24. .问取何值时 非齐次线性方程组

x1x2x31x1x2x3，

2xxx123 (1)有唯一解 (2)无解 (3)有无穷多个解，并在无穷多个解时，求方程组的通解.

111解：B11

112211 ~ 01 1(1)00(1)(2)(1)(1)2r(1)要使方程组有唯一解 必须R(A)3 因此当1且2时方程组有唯一解.

……2分

(2)要使方程组无解 必须R(A)R(B) 故(1)(2)0 (1)(1)0 因此2时 方程组无解

(3)要使方程组有有无穷多个解 必须R(A)R(B)3 故 (1)(2)0 (1)(1)0

因此当1时 方程组有无穷多个解.

这时原来方程组等价于x1x2x31，所以原方程通解为

2

2

x1111xc1c21200，c1,c2为常数。 x010325. 设有齐次线性方程组

(1a)x1x2xn0,2x(2a)x2x0,12nnx1nx2(na)xn0,试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.

解：对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有

(n2)

1111a1a11122aa002a22B. Annnnana00a 当a=0时， r(A)=1由此得基础解系1(1,1,0,,0), 2(1,0,1,,0),,n1(1,0,0,,1)T, 于是方程组的通解为xk11kn1n1, 其中k1,,kn1为任意常数. (2分)

当a0时，对矩阵B作初等行变换，有

TT1a111a2100 Bn001可知an(n1)22n0100.

00100n(n1)时，r(A)n1n，故方程组也有非零解，其同解方程组为 22x1x20,3xx0,13 

nx1xn0,由此得基础解系 (1,2,,n)T，

于是方程组的通解为 xk，其中k为任意常数. .