2006年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷.理)含答案

数学（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。全卷共150分。考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条

形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量a(3,1)，b是不平行于x轴的单位向量，且ab3，则b ( B )

A．（3113133,1） （,） C．（,） D．（0,） B．

222244c,a,b成等比数列，2.若互不相等的实数a,b,c成等差数列，且a3bc10，则a ( D )

A．4 B．2 C．－2 D．－4 3.若ABC的内角A满足sin2A2，则sinAcosA ( A ) 3A.551515 B． C． D．

33334．设f(x)lg2xx2，则f()f()的定义域为 ( B ) 2x2xA．(4,0)(0,4) B．(4,1)(1,4) C．(2,1)(1,2) D．(4,2)(2,4)

5．在(x124)的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有 ( C ) 3xA．3项 B．4项 C．5项 D．6项

6．关于直线m,n与平面,，有以下四个命题： ①若m//,n//且//，则m//n； ②若m,n且，则mn； ③若m,n//且//，则mn； ④若m//,n且，则m//n；

其中真命题的序号是 ( D ) A．①② B．③④ C．①④ D．②③

7．设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP2PA且OQAB1，则点P的轨迹方程是 ( D ) 323y1(x0,y0) B．3x2y21(x0,y0) 22323222C．x3y1(x0,y0) D．x3y1(x0,y0)

22A．3x28．有限集合S中元素的个数记做card(S)，设A,B都为有限集合，给出下列命题： ①AB的充要条件是card(AB)card(A)card(B)； ②AB的充要条件是card(A)card(B)； ③AÚB的充要条件是card(A)card(B)； ④AB的充要条件是card(A)card(B)；

其中真命题的序号是 ( B ) A．③④ B．①② C．①④ D．②③

9．已知平面区域D由以A(1,3),B(5,2),C(3,1)为顶点的三角形内部＆边界组成。若在区域D上有无穷多个点(x,y)可使目标函数zx|my取得最小值，则m (C ) A．－2 B．－1 C．1 D．4

22210．关于x的方程(x1)x1k0，给出下列四个命题： ( A )

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假命题的个数是 ．

A．0 B．1 C．2 D．3

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

注意事项：

第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

11．设x,y为实数，且

xy5，则xy 4 。 1i12i13i12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为

0.94 。（精确到0．01）

13．已知直线5x12ya0与圆x22xy20相切，则a的值为 －18或8 。

14．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙

必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是

20 。（用数字作答）

1，就得到一个如右图所示的分数三角形，r(n1)Cn111，其中x rr(n1)Cn(n1)CnxnCn1r15．将杨辉三角中的每一个数Cn都换成

成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出

r＋1 。令an1111111lima，则 。 3n3n23123060nCn1(n1)Cn三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

设函数f(x)a，其中向量a(sinx,coxs，b(sinx,3cosx)，(bc)c(cosx,sinx)，xR。

（Ⅰ）、求函数f(x)的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）、将函数f(x)的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d。

点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。

解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx) ＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+2sin(2x+所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是

3). 42＝. 2（Ⅱ）由sin(2x+

3k33)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，

4284于是d＝（

k3k32，－2），d()4,k∈Z. 2828因为k为整数，要使d最小，则只有k＝1，此时d＝（―17．（本小题满分13分）

，―2）即为所求. 8'已知二次函数yf(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列{an}的

前n项和为Sn，点(n,Sn)(nN)均在函数yf(x)的图像上。

（Ⅰ）、求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）、设bnm3，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn对所有nN都

20anan1成立的最小正整数m；

点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算

技能，考查分析问题的能力和推理能力。

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.

又因为点(n,Sn)(nN)均在函数yf(x)的图像上，所以Sn＝3n2－2n.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－（3n1)22(n1)＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （nN）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn11133)， ＝＝(anan1(6n5)6(n1)526n56n1故Tn＝

bi＝

i1n121111111＝（1－）. (1)()...()26n177136n56n1因此，要使

11m1m（1－）<（nN）成立的m,必须且仅须满足≤，即26n120220m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

18．（本小题满分12分）

P如图，在棱长为1的正方体ABCDA1BC11D1中，是

侧棱CC1上的一点，CPm。

（Ⅰ）、试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32；

（Ⅱ）、在线段AC11上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论。

点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成

的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。

解法1：（Ⅰ）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面BDD1B1相交于点，,连结OG，因为

PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC＝OG,

AD1

C1

B1 A1 D C

B

A

D1C1O1A1B1PDGCOB

故OG∥PC，所以，OG＝

1mPC＝. 22又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1， 故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角.

21OA在Rt△AOG中，tanAGO＝232，即m＝.

m3GO2所以，当m＝

1时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为32. 3（Ⅱ）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为

D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面ACC1A1， 又AP平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP.

那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。 19．（本小题满分10分）

在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100)。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。

（Ⅰ）、试问此次参赛学生总数约为多少人？

（Ⅱ）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？ 可共查阅的（部分）标准正态分布表(x0)P(xx0)

x0 1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 0 0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821 1 0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826 2 0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830 3 0.07 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834 4 0.25 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838 5 0.44 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842 6 0.62 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846 7 0.80 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850 8 0.97 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854 9 0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857 点评：本小题主要考查正态分布，对事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。

解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为，因为～N(70，100)，由条件知，

P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－(9070)＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228. 10这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此， 参赛总人数约为

12≈526（人）。

0.0228（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则 P(≥x)＝1－P（1010故设奖得分数线约为83.1分。

20．（本小题满分14分）

x2y2设A,B分别为椭圆221(a,b0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且

abx4为它的右准线。

（Ⅰ）、求椭圆的方程；

（Ⅱ）、设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内。 （此题不要求在答题卡上画图）

点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学

知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

a2解：（Ⅰ）依题意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝3.

cx2y21. 故椭圆的方程为 43（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）. ∵M点在椭圆上，∴y0＝3（4－x02）. ○1 4

又点M异于顶点A、B，∴－22M1P（4，

6y0）. x02-4A-22B4-1N从而BM＝（x0－2，y0），

-2-3BP＝（2，

6y0

）. x02

26y02∴BM·BP＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）. ○2

x2x020将○1代入○2，化简得BM·BP＝

5（2－x0）. 2∵2－x0>0，∴BM·BP>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角， 故点B在以MN为直径的圆内。

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），

则－2x1x2yy2，1），

22依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差

2BQ－

xx2yy22112MN＝(1－2）2＋（1）－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2] 4422 ＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1 ○3

又直线AP的方程为y＝

y1y(x2)，直线BP的方程为y＝2(x2)， x12x22而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，

∴

6y16y2（3x22)y1，即y2＝ ○4 x12x22x12

xy322又点M在椭圆上，则111，即y1(4x1) ○5

443于是将○4、○5代入○3，化简后可得BQ－从而，点B在以MN为直径的圆内。

21．（本小题满分14分）

设x3是函数f(x)(x2axb)e3x(xR)的一个极值点。 （Ⅰ）、求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间；

2（Ⅱ）、设a0，g(x)(a222152MN＝（2－x1)(x22)0. 4425x)e。若存在1,2[0,4]使得f(1)g(2)1成4立，求a的取值范围。

点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。

解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3x,

－由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e33＝0，即得b＝－3－2a，

－则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3

－x

＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3x＝－(x－3)(x＋a+1)e3x.

－－令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a≠－4. 当a<－4时，x2>3＝x1，则

在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。 当a>－4时，x2<3＝x1，则

在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e1>0，f (3)＝a＋6，

－那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6]. 又g(x)(a225x)e在区间[0，4]上是增函数， 4且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋

2525，（a2＋）e4]， 44由于（a2＋

1251）－（a＋6）＝a2－a＋＝（a）2≥0，所以只须仅须

244（a2＋

325）－（a＋6）<1且a>0，解得0243）。 2故a的取值范围是（0，