浙江省高中学业水平考试数学试题

数学试题

一、 选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目

要求的，不选，多选，错选均不给分.） 1. 已知集合Px0x1，Qx2x3.记MPQ，则

A.0,1,2M B.0,1,3M

1,2,3M C.0,2,3M D.2. 函数 A.

1f(x)x的定义域是

xxx0 B.xx0 C.xx0 D.R

xy10,表示的平面区域记为，则属于的点是

xy103. 将不等式组 A.(3,1) B.(1,3) C.(1,3) D.(3,1) 4. 已知函数f(x)log2(3x)log2(3x)，则

f(1)

A.1 B.log26 C.3 D.log29

y21的渐近线方程为 5. 双曲线x3231x C.y3x D.y3x x B.y336. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是

A.y3612 B. C. D.

3333π37. 若锐角满足sin()，则sin

25 A. A.

2334 B. C. D. 5545（第6题图）

8．在三棱锥OABC中，若D为BC的中点，则AD A.

1111OAOCOB B. OAOBOC 22221111 C.OBOCOA D. OBOCOA

22229. 设an，bn(nN)是公差均不为零的等差数列.下列数列中，不构成等差数列的是 A.anbn B.anbn C.anbn1 D.anbn1 10.不等式

2x1x11的解集是

A. x311x B. xx3

3311 D. xx,或x3 3311．用列表法将函数f(x)表示为 ，则

C. xx3,或x A.f(x2)为奇函数 B. f(x2)为偶函数 C.f(x2)为奇函数 D. f(x2)为偶函数

12．如图，在直角坐标系xOy中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD分

割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分 别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是 A.xyx2y10 B.xy2x2y10 C.xy2xy10 D.xy2x2y10 13. 设a为实数，则“a22222222112”是“”的 aaa2(第12题图)

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

14. 在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)，B(2,0)，过A的直线交x轴于点C(a,0)，若直线AC的倾斜角是直线AB倾斜角的2倍，则a A.

134 B. C.1 D. 44315. 甲、乙两个几何体的三视图分别如图①、图②所示，分别记它们的表面积为S甲，S乙，体积为

V甲，V乙，则

正视图 侧视图 正视图 侧视图

俯视图 （第15题图①）

俯视图 （第15题图②）

A.S甲S乙，V甲V乙 B. S甲S乙，V甲V乙 C.S甲S乙，V甲V乙 D. S甲S乙，V甲V乙

x2y216．如图，F为椭圆221(ab0)的右焦点，过F作x轴

ab的垂线交椭圆于点P，点A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点，O（第16题图）

为坐标原点.若△OAB的面积是△OPF面积的 A.

5倍，则该椭圆的离心率是 22314或 B.或 55551052515或 D.或 55552 C.

17．设a为实数，若函数f(x)2xxa有零点，

则函数

yf[f(x)]零点的个数是

或3 B. 2或3 C. 2或4 或4 18．如图，设矩形ABCD所在平面与梯形ACEF所在平面相交于AC.

若AB1,BC3，AFFEEC1，则下列二面角的

平面角的大小为定值的是 A. FABC B. BEFD

C. ABFC D. BAFD

二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.） 19. 已知函数

πf(x)2sin(2x)1，则f(x)的最小正周期是

3（第18题图）

▲ ，f(x)的最大值是 ▲ .

20. 若平面向量a,b满足2ab(1,6)，a2b(4,9)，则ab ▲ . 21. 在△ABC中，已知AB2，AC3，则cosC的取值范围是 ▲ . 22．若不等式2x ▲ .

三、解答题（本大题共3小题，共31分.）

23. (本题满分10分)在等差数列an(nN)中，已知a12，a56.

2(xa)xa20对于任意xR恒成立，则实数a的最小值是

(Ⅰ)求an的公差d及通项an；

（Ⅱ）记bn2n(nN)，求数列bn的前n项和.

a24. (本题满分10分) 如图，已知抛物线yx1与x轴相交于点A，B两点，P是该抛物线上位

于第一象限内的点.

(Ⅰ) 记直线PA，PB的斜率分别为k1,k2，求证k2k1为定值；

（Ⅱ）过点

2A作ADPB，垂足为D.若D关于x轴的

对称点恰好在直线PA上，求△PAD的面积.

（第24题图）

25. (本题满分11分) 如图，在直角坐标系xOy中，已知点A(2,0)，B(1,3)，直线xt

记左侧部分的多边形为.设各边长的平方和为f(t)，(0t2)将△OAB分成两部分，各边长的倒数和为g(t).

(Ⅰ) 分别求函数f(t)和g(t)的解析式；

（Ⅱ）是否存在区间(a,b)，使得函数f(t)和g(t)在该区间上均单调递减？若存在，求ba 的

最大值；若不存在，说明理由.

(第25题图)

2018年4月浙江省学业水平考试

数学试题答案

一、 选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.） 二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）

题号 答案 20. 2 题号 答案 22. 3

三、解答题（本大题共3小题，共31分.）

23．解：（Ⅰ）因为a5a14d，将a12，a56代入，解得数列an的公差d 通项ana1(n1)dn1. （Ⅱ）将（Ⅰ）中的通项an代入 bn2an1 C 10 B 2 A 11 A 3 D 12 B 4 C 13 A 5 C 14 B 6 D 15 B 7 D 16 D 8 C 17 C 9 A 18 B 19． ，3 21.[5,1) 31；

2n1.

由此可知bn是等比数列，其中首项b14，公比q2.

b1(1qn)2n24 所以数列bn的前n项和Sn1q24. 解：（Ⅰ）由题意得点A,B的坐标分别为A(1,0)，B(1,0).

设点P的坐标为P(t,t1)，且t21，则

t21t21t1，k2t1， k1t1t1 所以k2k12为定值.

（Ⅱ）由直线PA,AD的位置关系知 kADk11t.

因为ADPB，所以 kADk2(1t)(t1)1， 解得 t2.因为P是第一象限内的点，所以t2.

得点P的坐标为P(2,1). 联立直线PB与AD的方程

y(12)(x1),22,).  解得点D的坐标为D(22y(12)(x1), 所以△PAD的面积S12AByPyD1. 2225.解：（Ⅰ）当0t1时，多边形是三角形（如图①），边长依次为 t,3t,2t；

当1t2时，多边形是四边形（如图②），边长依次为

t,3(2t),2(t1),2. 所

以，

(第25题图①) (第25题图②)

8t2,0t1, f(t)28t20t20,1t2, （Ⅱ）由（Ⅰ）中f(t)的解析式可知，函数f(t)的单调递减区间是(1, (a,b)5)，所以 45(1,). 45 另一方面，任取t1,t2(1,)，且t1t2，则

4111]. g(t1)g(t2)(t2t1)[t1t22(t11)(t21)3(2t1)(2t2)5251 由 1t1t2 知，1t1t2, 02(t11)(t21),

4163 3(2t1)(2t2).从而02(t11)(t21)3(2t1)(2t2),

16110 即

2(t11)(t21)3(2t1)(2t2)5 所以 g(t1)g(t2)0，得g(t)在区间(1,)上也单调递减.证得

45 (a,b)(1,).

45 所以，存在区间(1,)，使得函数f(t)和g(t)在该区间上均单调递减，且ba的最

41大值为.

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