1．均值与方差
理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单 离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． 2．正态分布
利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的 意义． 知识点一 均值
1．一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
2．若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 3．(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p. (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np.
易误提醒 理解均值E(X)易失误，均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态．
[自测练习]
1．已知X的分布列为
X P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( ) 7
A. 3C．－1
111
解析：E(X)＝－＋＝－，
263
27
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
33答案：A
B．4 D．1 －1 1 20 1 31 1 6知识点二 方差
1．设离散型随机变量X的分布列为：
X P 则(xi－E(X))2
x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn n
描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝∑ (xi－i＝1
E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根DX为随机变量X的标准差．
2．D(aX＋b)＝a2D(X)．
3．若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． 4．若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
易误提醒 (1)D(ξ)表示随机变量ξ对E(ξ)的平均偏离程度．D(ξ)越大，表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散．反之D(ξ)越小，ξ的取值越集中在E(ξ)附近．统计中常用标准差Dξ 来描述ξ的分散程度．
(2)D(ξ)与E(ξ)一样也是一个实数，由ξ的分布列唯一确定．
(3)D(ξ)的单位与随机变量ξ的单位不同，而E(ξ)、Dξ 与ξ的单位相同． (4)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．
[自测练习]
1
2．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，则D(3ξ＋5)＝( )
3A．6 C．3
B．9 D．4
12
解析：由E(ξ)＝(1＋2＋3)＝2，得D(ξ)＝，
33D(3ξ＋5)＝32×D(ξ)＝6. 答案：A
3．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________.
11393，，∴D(X)＝3××＝. 解析：∵X～B444169
答案： 16
知识点三 正态分布 1．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． 1
(3)曲线在x＝μ处达到峰值.
σ2π(4)曲线与x轴之间的面积为1.
(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
2．正态分布的三个常用数据 (1)P(μ－σ [自测练习] 4．若随机变量ξ～N(2,1)，且P(ξ>3)＝0.158 7，则P(ξ>1)＝________. 解析：由ξ～N(2,1)，得μ＝2，因为P(ξ>3)＝0.158 7，所以P(ξ<1)＝0.158 7，所以P(ξ>1)＝1－0.158 7＝0.841 3. 答案：0.841 3 考点一 离散型随机变量的均值| (2015·高考安徽卷)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其 区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)． [解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A， 1 A132A3 P(A)＝2＝. A510 (2)X的可能取值为200,300,400. A212 P(X＝200)＝2＝， A510 112 A33＋C2C3A23 P(X＝300)＝＝， A3105 136 P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝. 101010故X的分布列为 X P 200 1 10300 3 10400 6 10136E(X)＝200×＋300×＋400×＝350. 101010 求离散型随机变量均值的步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值． (2)求X的每个值的概率． (3)写出X的分布列． (4)由均值定义求出E(X)． 1．(2016·合肥模拟)某校在全校学生中开展物理和化学实验操作大比拼活动，活动要求：参加者物理、化学实验操作都必须参加，有50名学生参加这次活动，评委老师对这50名学生实验操作进行评分，每项操作评分均按等级采用5分制(只打整数分)，评分结果统计如表： 学生数 物理得分y 化学得分x 1分 2分 3分 4分 5分 1 1 2 1 0 3 0 1 2 0 1 7 0 6 1 0 5 9 0 1 1 1 3 1 3 1分 2分 3分 4分 5分 (1)若随机抽取1名参加活动的学生，求“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”的学生被抽取的概率； (2)从这50名参赛学生中任取1名，其物理实验与化学实验得分之和为ξ，求ξ的数学 期望． 解：(1)从表中可以看出，“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”的学生有663 名，所以“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”的学生被抽取的概率为＝. 5025 (2)ξ所有可能的取值为2、3、4、5、6、7、8、9、10，则ξ的分布列为： ξ P 2 1 503 4 504 3 505 9 506 8 507 16 508 4 509 2 5010 3 5014398123311 ∴E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＋7×＋8×＋9×＋10×＝. 50505050505050505050 考点二 方差问题| 设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分， 取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分． (1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量X为取出此2球所得分数之和，求X的分布列； (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量Y为取出此球所得分数．若55 E(Y)＝，D(Y)＝，求a∶b∶c. 39 [解] (1)由题意得X＝2,3,4,5,6. 3×31故P(X＝2)＝＝， 6×2×3×21 P(X＝3)＝＝， 36×62×3×1＋2×25 P(X＝4)＝＝， 186×62×2×11 P(X＝5)＝＝， 96×61×11 P(X＝6)＝＝. 6×636所以X的分布列为 X P (2)由题意知Y的分布列为 2 1 43 1 34 5 185 1 96 1 36Y P 1 a a＋b＋c2 b a＋b＋c3 c a＋b＋ca2b3c5所以E(Y)＝＋＋＝， a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c3 5a2－52·b＋3－52·c＝5. 1－2·D(Y)＝＋3a＋b＋c3a＋b＋c3a＋b＋c9 2a－b－4c＝0，a＝3c， 化简得解得 a＋4b－11c＝0.b＝2c. 故a∶b∶c＝3∶2∶1. 利用均值、方差进行决策的两个方略 (1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，可对问题作出判断． (2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策． 2．有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行质量检验，结果如下： X甲 P X乙 P 28 0.1 28 0.13 29 0.15 29 0.17 30 0.5 30 0.4 31 0.15 31 0.17 32 0.1 32 0.13 其中X表示纤维长度(单位：mm)，根据纤维长度的均值和方差比较两种棉花的质量． 解：由题意，得E(X甲)＝28×0.1＋29×0.15＋30×0.5＋31×0.15＋32×0.1＝30， E(X乙)＝28×0.13＋29×0.17＋30×0.4＋31×0.17＋32×0.13＝30. 又D(X甲)＝(28－30)2×0.1＋(29－30)2×0.15＋(30－30)2×0.5＋(31－30)2×0.15＋(32－30)2×0.1＝1.1， D(X乙)＝(28－30)2×0.13＋(29－30)2×0.17＋(30－30)2×0.4＋(31－30)2×0.17＋(32－30)2×0.13＝1.38，所以E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲) 21．(2015·高考湖北卷)设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ2)，这两个正态分布密度曲线如图所 示．下列结论中正确的是( ) A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t) D．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t) 2 解析：由正态分布密度曲线的性质可知，X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ2)的密度曲线分别 关于直线x＝μ1，x＝μ2对称，因此结合题中所给图象可得，μ1<μ2，所以P(Y≥μ2) 所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，B错误．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t) 2．(2015·高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) (附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.) A．4.56% C．27.18% B．13.59% D．31.74% 11 解析：由已知μ＝0，σ＝3.所以P(3<ξ<6)＝[P(－6<ξ<6)－P(－3<ξ<3)]＝(95.44%－ 221 68.26%)＝×27.18%＝13.59%.故选B. 2 答案：B 正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)熟记P(μ－σ 【典例】 (12分)(2015·高考山东卷)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)． 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX. [思路点拨] (1)根据题意明确“三位递增数”的定义，从而得到个位数字是5的“三位递增数”．(2)首先根据题意确定随机变量X的所有可能取值，然后求出每个取值对应事件的概率，列出分布列，从而求得数学期望． [规范解答] (1)个位数是5的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345.(4分) (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C39＝84， 随机变量X的取值为：0，－1,1，因此 C382P(X＝0)＝3＝， C93C214 P(X＝－1)＝3＝， C9141211 P(X＝1)＝1－－＝.(8分) 14342所以X的分布列为 X P 0 2 3－1 1 141 11 4221114则EX＝0×＋(－1)×＋1×＝.(12分) 3144221[模板形成] 理解题意求相应事件的概率 ↓ 由条件写出随机变量的取值 ↓ 求出每个取值对应事件的概率 ↓ 列出分布列并求均值 ↓ 反思解题过程注意规范化 [跟踪练习] 据《中国新闻网》报道，全国很多省、市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 600人就是否应该“取消英语听力”的问题进行调查，调查统计的结果如下表： 态度 调查人群 在校学生 社会人士 应该取消 2 100人 600人 应该保留 120人 x人 无所谓 y人 z人 已知在样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05. (1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，则应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？ (2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望E(ξ)． 解：(1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05， 120＋x ∴＝0.05，解得x＝60. 3 600 ∴持“无所谓”态度的人数为3 600－2 100－120－600－60＝720. 360 ∴应在持“无所谓”态度的人中抽取720×＝72(人)． 3 600(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人， 12060 ∴在所抽取的6人中，在校学生有×6＝4(人)，社会人士有×6＝2(人)， 180180于是第一组的在校学生人数ξ的所有可能取值为1,2,3. 210 C11C2C314C24C234C2 P(ξ＝1)＝3＝，P(ξ＝2)＝3＝，P(ξ＝3)＝3＝， C65C65C65 即ξ的分布列为 ξ P 131 ∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2. 555 A组 考点能力演练 1．若离散型随机变量X的分布列为 X P 则X的数学期望E(X)＝( ) A．2 1 C. 2 1 B．2或 2D．1 0 a 21 a2 21 1 52 3 53 1 5aa2 解析：因为分布列中概率和为1，所以＋＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去) 221 或a＝1，所以E(X)＝.故选C. 2 答案：C 2．(2016·长春质量监测)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ>2)＝0.15，则P(0≤ξ≤1)＝( ) A．0.85 C．0.35 B．0.70 D．0.15 解析：P(0≤ξ≤1)＝P(1≤ξ≤2)＝0.5－P(ξ>2)＝0.35.故选C. 答案：C 3．(2016·九江一模)已知随机变量X服从正态分布N(5,4)，且P(X>k)＝P(X B．7 D．9 k－4＋k解析：∵＝5，∴k＝7，故选B. 2答案：B 4．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为( ) A．0.05 C．0.15 B．0.1 D．0.2 解析：根据正态曲线的对称性可知，ξ在(80,100)内的概率为0.4，因为ξ在(0,100)内的概率为0.5，所以ξ在(0,80)内的概率为0.1，故选B. 答案：B 5．设随机变量X～B(8，p)，且D(X)＝1.28，则概率p的值是( ) A．0.2 C．0.2或0.8 B．0.8 D．0.16 解析：由D(X)＝8p(1－p)＝1.28，∴p＝0.2或p＝0.8. 答案：C 6．一枚质地均匀的正六面体骰子，六个面上分别刻着1点到6点，一次游戏中，甲、乙二人各掷骰子一次，若甲掷得的向上的点数比乙大，则甲掷得的向上的点数的数学期望是________． 解析：共有36种可能，其中，甲、乙掷得的向上的点数相等的有6种，甲掷得的向上的点数比乙大的有15种，所以所求期望为 6×5＋5×4＋4×3＋3×2＋214 ＝. 15314 答案： 3 7．(2016·贵州七校联考)在我校2015届高三11月月考中理科数学成绩ξ～N(90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P(60≤ξ≤120)＝0.8，假设我校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有________人． 解析：因为成绩ξ～N(90，σ2)，所以其正态曲线关于直线x＝90对称．又P(60≤ξ≤120)1 ＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的(1－0.8)＝0.1，所以估计成绩高 2于120分的有0.1×780＝78(人)． 答案：78 8．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a的值为________． 解析：因为随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，所以2a－3＋a7＋2＝6，解得a＝. 3 7答案： 3 9.市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]． (1)求直方图中x的值； (2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1 200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； (3)从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率) 解：(1)由直方图可得 20x＋0.025×20＋0.006 5×20＋0.003×2×20＝1，所以x＝0.012 5. (2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为0.003×2×20＝0.12，因为1 200×0.12＝144， 所以估计1 200名新生中有144名学生可以申请住宿． (3)X的可能取值为0,1,2,3,4. 34811 由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为，P(X＝0)＝4＝256，41311332727332×2×2＝3×3×＝P(X＝1)＝C1＝，P(X＝2)＝C，P(X＝3)＝C4××44 4412844，44141 P(X＝4)＝4＝256. 所以X的分布列为 X P 0 81 2561 27 2 27 1283 3 4 1 256812727311E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1(或E(X)＝4×＝1)． 25612825所以X的数学期望为1. 10．(2016·郑州模拟)某商场每天(开始营业时)以每件150元的价格购入A商品若干件(A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时)，并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商场对没卖出的A商品将以每件100元的价格低价处理完毕(根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A商品)．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格(注：视频率为概率)．(其中x＋y＝70) 前6小时内的销售量t(单位：件) 频数 4 30 5 x 6 y (1)若某天该商场共购入6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些商品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客的概率是多少？ (2)若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围． 解：(1)设“恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客” 1 C184C2 为事件A，则P(A)＝2＝. C615 (2)设销售A商品获得的利润为ξ(单位：元)，依题意，视频率为概率，为追求更多的利润， 则商场每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件． 当购进A商品4件时，E(ξ)＝150×4＝600， 当购进A商品5件时，E(ξ)＝(150×4－50)×0.3＋150×5×0.7＝690， 当购进A商品6件时，E(ξ)＝(150×4－2×50)×0.3＋(150×5－50)×70－x 150×6×＝780－2x， 100 由题意780－2x≤690，解得x≥45，又知x≤100－30＝70，所以x的取值范围为[45,70]，x∈N*. B组 高考题型专练 1．(2015·高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点， x ＋100 则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) A．2 386 B．2 718 C．3 413 D．4 772 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ 为n，则P＝＝＝，则n＝3 413，选C. 110 000S正方形 答案：C 2．(2015·高考福建卷)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定． (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望． 解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A， 5431 则P(A)＝××＝. 6542 (2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3. 1511542 又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝. 6656653所以X的分布列为 X P 1125所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 6632 3．(2015·高考陕西卷)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下： T(分钟) 频数(次) (1)求T的分布列与数学期望ET； (2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 解：(1)由统计结果可得T的频率分布为 T(分钟) 25 30 35 40 25 20 30 30 35 40 40 10 1 1 62 1 63 2 3频率 以频率估计概率得T的分布列为 T P 25 0.2 0.2 0.3 0.4 0.1 30 0.3 35 0.4 40 0.1 从而ET＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)． (2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互．且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”． 法一：P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30) ＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91. 法二：P(A)＝P(T1＋T2>70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2 ＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.故P(A)＝1－P(A)＝0.91.
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