2002年考研数学1真题 一、填空题
（1） e
+∞dx
xln2x
=（1）。
（2） 已知ey+6xy+x2−1=0，则y′′ 0 =（2）。
（3） yy′′+y′2=0满足初始条件y 0 =1,y′ 0 =2的特解是（3）。
222 （4） 已知实二次型f x1,x2,x3 =a x1+x2+x3+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变
2
换可化为标准型f=6y1，则a=（4）。
（5） 设随机变量X~N μ,σ2 ，且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为0.5，则μ=
（5）。
二、选择题
（1） 考虑二元函数f(x,y)的四条性质：
1） f(x,y)在点 x0,y0 处连续
2） f(x,y)在点 x0,y0 处的一阶偏导数连续 3） f(x,y)在点 x0,y0 处可微
4） f(x,y)在点 x0,y0 处的一阶偏层数存在 则有：（1）
A. 2）3）1） B. 3）2）1） C. 3）4）1） D. 3）1）4）
1
（2） 设un≠0，且limn→∞u=1，则级数 −1 n+1 u+u
n
n
n11
n+1
。 （2）
A. 发散
B. 绝对收敛 C. 条件收敛
D. 收敛性不能判定
（3） 设函数f(x)在R+上有界且可导，则（3）。
A. 当limx→+∞f x =0时，必有limx→+∞f′ x =0
B. 当limx→+∞f′ x =0存在时，必有limx→+∞f′ x =0 C. 当limx→0+f x =0时，必有limx→0+f′ x =0
D. 当limx→0+f‘ x =0存在时，必有limx→0+f′ x =0
（4） 设有三张不同平面，其方程为aix+biy+ciz=di(i=1,2,3)它们所组成的线性
方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为（4）。
（5） 设X1和X2是任意两个相互的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则（5）。
A. f1 x +f2(x)必为某一随机变量的概率密度 B. f1 x f2(x)必为某一随机变量的概率密度 C. F1 x +F2(x)必为某一随机变量的分布密度 D. F1 x F2(x)必为某一随机变量的分布密度
三、设函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f 0 ≠0,f′(0)≠0，若
af h +bf 2h −f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值。 四、已知两曲线y=f(x)与y= 0
限limn→∞nf 。
n五、计算二重积分 emax x
D
2,y2
artanx
e−t在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极
2
2
dxdy，其中D= x,y |0≤x≤1,0≤y≤1 。
六、设函数f(x)在 −∞,+∞ 内具有一阶连续导数，L是上半平面 y>0 内的有向分段光滑
曲线，其起点为 a,b ，终点为 c,d 。记I= L（1） 证明曲线积分I与路径L无关； （2） 当ab=cd时，求I的值。 七、
（1） 验证函数y x =1+3!+6!+9!+⋯+
y′′+y′+y=ex；
（2） 利用（1）的结果求幂级数 ∞n=0
x3n
的和函数。 3n !
x3
x6
x9
x3n3n1y
1+y2f(xy) dx+
xy2 y2f xy −1 dy。
+⋯(−∞<𝑥<+∞)满足微分方程
八、设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所点的区域为D=
x,y |x2+y2−xy≤75 ，小山的高度函数为h x,y =75−x2−y2+xy。
（1） 设M x0,y0 为区域D上一点，问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向层数最
大？若记此方向层数的最大值为g x0,y0 ，试写出g x0,y0 的表达式。
（2） 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上面坡度最大的点作为
攀登的起点，也就是说，要在D的边界线x2+y2−xy=75上找出使（1）中的g(x,y)达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。
九、已知4阶方阵A= α1,α2,α3,α4 ,α1,α2,α3,α4均为4维列向量，其中α2,α3,α4线性无关，
α1=2α2−α3。如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解。 十、设A，B为同阶方阵，
（1） 如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等。 （2） 举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立； （3） 当A，B均为实对称矩阵时，试证（1）逆命题成立。 十一、 设随机变量X的概率密度为
1x
cos,0≤x≤π2f x = 2 0,其他
对X地重复观察4次，用Y表示观察值大于3的次数，求Y2的数学期望。 十二、 设总体X的概率分布为
X 0 1 2 3 π
P 1
θ2 2θ(1−θ) θ2 1−2θ 其中θ(0<𝜃<2)是未知参数，利用总体X的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3；
求θ的矩估计值最大似然估计值。 十三、 解答题
