一种具有高精度的四旋翼无人机轨迹跟踪控制方法[发明专利]

(12)发明专利申请

(10)申请公布号 CN 111813140 A(43)申请公布日 2020.10.23

(21)申请号 202010763322.7(22)申请日 2020.07.31

(71)申请人 中国人民空军工程大学

地址 710051 陕西省西安市灞桥区长乐东

路甲字1号(72)发明人 王应洋　胡剑波　张鹏　郭基联　(74)专利代理机构 西安铭泽知识产权代理事务

所(普通合伙) 61223

代理人 耿路(51)Int.Cl.

G05D 1/08(2006.01)G05D 1/10(2006.01)

权利要求书4页 说明书11页 附图11页

(54)发明名称

一种具有高精度的四旋翼无人机轨迹跟踪控制方法(57)摘要

本发明公开了一种具有高精度的四旋翼无人机轨迹跟踪控制方法，包括：将位置参考指令信号、速度参考指令信号、无人机位置和速度输入到平动子系统控制律中，计算得虚拟控制律；将虚拟控制率做坐标变换，得到旋翼产生的合升力、无人机的欧拉角参考指令信号；将欧拉角参考指令信号、无人机的欧拉角输入欧拉角控制律，计算无人机的角速度参考指令信号；将角速度参考指令信号、无人机的角速度输入角速率控制律，计算旋翼作用在无人机的转矩；将合升力

进行无人机轨迹跟踪控和转矩输入无人机模型，

制。本发明通过将预设性能函数纳入到控制律设计过程中，实现了高精度的轨迹跟踪控制；由于不依赖精确的模型参数和任何估计器，确保了控制的鲁棒性与实时性。

CN 111813140 ACN 111813140 A

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1.一种具有高精度的四旋翼无人机轨迹跟踪控制方法，其特征在于，包括以下步骤：将位置参考指令信号、速度参考指令信号以及无人机模型反馈的无人机位置和速度输入到平动子系统控制律中，计算得到虚拟控制律；

将所述虚拟控制率进行坐标变换，得到旋翼产生的合升力、以及无人机在地面坐标系的欧拉角参考指令信号；

将所述欧拉角参考指令信号以及所述无人机模型反馈的无人机在地面坐标系的欧拉角输入欧拉角控制律，计算得到无人机在体坐标系下的角速度参考指令信号；

将所述角速度参考指令信号以及所述无人机模型反馈的无人机在体坐标系下的角速度输入角速率控制律，计算得到旋翼作用在无人机上的转矩；

将旋翼产生的合升力以及旋翼作用在无人机上的转矩输入所述无人机模型，对无人机进行轨迹跟踪控制；

其中，所述平动子系统控制律在设计中均引入了具有小超调的性能函数，以实现高精度的轨迹跟踪控制，所述欧拉角控制律在设计中引入了特定初始值的性能函数，以确保闭环系统的稳定。

2.如权利要求1所述的一种具有高精度的四旋翼无人机轨迹跟踪控制方法，其特征在于，所述无人机模型表示为：

其中产生的合升力，

为无人机在地面坐标系下的速度向量，ξ＝[x,y,z]T和η＝[φ,θ,是由体坐标系向地面坐标系变换的旋转矩阵，e3＝[0,0,1]T为地面

ψ]T分别表示无人机在地面坐标系的空间位置和欧拉角，m为无人机的总质量，U1为所有旋翼坐标系中沿z轴方向的单位向量，g表示重力加速度，dξ＝[dx,dy,dz]T和dw＝[dp,dq,dr]T分别为有界的空间位置和角速度干扰信号，w＝[p,q,r]T为无人机在体坐标系下的角速度向量，

T

J＝diag(Jx,Jy,Jz)为体坐标系下的惯性矩阵，ττττw＝[p,q,r]为旋翼作用在无人机上的转矩，W(η)定义为：

其中S.＝sin(·)，C.＝cos(·)，T.＝tan(·)。

3.如权利要求2所述的一种具有高精度的四旋翼无人机轨迹跟踪控制方法，其特征在于，计算得到虚拟控制律的方法为：

定义位置跟踪误差

其中ξ对求时间的一d为位置参考指令信号，

阶导数，并结合无人机模型得到以下平动子系统的误差动力学方程：

2

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其中改写为以下等效形式：

为分析姿态角跟踪误差对速度子系统控制增益的影响，采用如下代数变换：

其中为简化表述，定义：

针对平动子系统的误差动力学方程，定义虚拟控制律uξ＝[ux,uy,uz]T如下：

定义虚拟子控制律Δuξ＝uξ-m0ge3，其中m0为四旋翼无人机在实际中的大致质量，将Rz(ψ)、

和Δuξ带入无人机模型中得到：

其中：

为处理上式，定义时变误差面sξ＝[sx,sy,sz]T如下：

3

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其中cξ＝diag(cx,cy,cz)为正定对称矩阵；设计性能函数和如下：

其中ci>li≥0,定义标准化误差

Δuξ，即平动子系统控制律如下：

且

z与虚拟子控制律

其中Γξ＝diag(Γx,Γy,Γz)为正定对角阵，Υξ＝diag(Υx,Υy,Υz)，

zξ为与时变误差面sξ相关的转化误

差，

4.如权利要求3所述的一种具有高精度的四旋翼无人机轨迹跟踪控制方法，其特征在于，按照下式对所述虚拟控制率进行坐标变换：

其中，φd、θd均为欧拉角参考指令信号。

5.如权利要求2所述的一种具有高精度的四旋翼无人机轨迹跟踪控制方法，其特征在于，计算无人机在体坐标系下的角速度参考指令信号的方法为：

将无人机模型中的转动子系统表述为以下非仿射模型：

其中fk(w,τd′k)为Lipschitz连续的未知非仿射函数，k为有界的外部干扰；定义角速度跟踪误差

对求时间的一阶导数并结合上式可得：

基于反推控制技术，选择性能函数：

其中欧拉角控制律wd为：

4

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其中，pd、qd、rd为无人机在体坐标系下的角速度参考指令信号，

且Γη＝diag(Γφ,Γθ,Γψ)为正定的对角矩阵，zη为欧拉角转化误差。

6.如权利要求5所述的一种具有高精度的四旋翼无人机轨迹跟踪控制方法，其特征在于，计算旋翼作用在无人机上的转矩的方法为：

选择性能函数：

通过选择合适的参数以保证成立，角速率控制律为：

其中，τττp、q、r为旋翼作用在无人机上的转矩，diag(Γp,Γq,Γr)为正定的对角矩阵。

Γw＝

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一种具有高精度的四旋翼无人机轨迹跟踪控制方法

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技术领域

[0001]本发明涉及无人机控制技术领域，特别是涉及一种具有高精度的四旋翼无人机轨迹跟踪控制方法。

背景技术

[0002]四旋翼无人机具有重要的军用和民用价值，因而它一直是飞控领域的研究热点。近年来，四旋翼无人机被广泛地用于军事巡逻、包裹运输和航拍等方面。但四旋翼无人机是典型的多变量、非线性、欠驱动与强耦合系统，使得识别其精确的气动参数与模型参数相当困难，因此进行高精度的轨迹跟踪控制是非常有难度的。[0003]由于四旋翼无人机的欠驱动动力学特性，通常需要将其分为平动和转动两个子系统并分别设计控制律。鉴于此，通过充分考虑模型非线性与飞行状态边界，滑模控制、有限时间收敛控制和自适应控制等控制方案被应用于四旋翼飞行器轨迹跟踪控制中。然而，上述控制方案均依赖于四旋翼无人机仿射模型。事实上，由于强耦合与非线性，四旋翼无人机姿态角角速度子系统为典型的非仿射系统。近十年来，非仿射控制方法得到了大量的研究。通过假设非仿射函数连续可导并基于泰勒公式或拉格朗日中值定理可将非仿射函数伪仿射化，从而得到便于设计各种基于控制律的控制方法。然而，在实际应用中，难以保证这些控制律中非仿射函数存在且有界，导致无法达到理想的轨迹跟踪控制精度。发明内容

[0004]本发明实施例提供了一种具有高精度的四旋翼无人机轨迹跟踪控制方法，可以解决现有技术中存在的问题。

[0005]本发明提供了一种具有高精度的四旋翼无人机轨迹跟踪控制方法，包括以下步骤：

[0006]将位置参考指令信号、速度参考指令信号以及无人机模型反馈的无人机位置和速度输入到平动子系统控制律中，计算得到虚拟控制律；[0007]将所述虚拟控制率进行坐标变换，得到旋翼产生的合升力、以及无人机在地面坐标系的欧拉角参考指令信号；

[0008]将所述欧拉角参考指令信号以及所述无人机模型反馈的无人机在地面坐标系的欧拉角输入欧拉角控制律，计算得到无人机在体坐标系下的角速度参考指令信号；

[0009]将所述角速度参考指令信号以及所述无人机模型反馈的无人机在体坐标系下的角速度输入角速率控制律，计算得到旋翼作用在无人机上的转矩；

[0010]将旋翼产生的合升力以及旋翼作用在无人机上的转矩输入所述无人机模型，对无人机进行轨迹跟踪控制；[0011]其中，所述平动子系统控制律在设计中均引入了具有小超调的性能函数，以实现高精度的轨迹跟踪控制，所述欧拉角控制律在设计中引入了特定初始值的性能函数，以确保闭环系统的稳定。

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本发明中的一种具有高精度的四旋翼无人机轨迹跟踪控制方法，与现有的研究结

果相比，本发明提出的控制方法不依赖精确的模型参数。为了增强控制律的适用性，针对角速度子系统建立了非仿射模型，并采用了相应的可控性假设。此外，采用非对称性能函数，实现了小超调的跟踪控制。本发明所采用的控制方法无需任何估计器，大大简化了控制律结构，降低了计算复杂度。附图说明

[0013]为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

[0014]图1为四旋翼无人机的模型示意图；[0015]图2为小超调预设性能示意图；

[0016]图3为本发明提出的无人机轨迹跟踪控制方法流程图；

[0017]图4为存在轨迹突变时本发明的方法和现有方法的轨迹跟踪控制性能对比示意图；

[0018]图5为存在轨迹突变时本发明的方法和现有方法的平动子系统误差面与位置跟踪误差对比示意图；

[0019]图6为存在轨迹突变时本发明的方法和现有方法的姿态角及跟踪误差对比示意图；

[0020]图7为存在轨迹突变时本发明的方法和现有方法的控制输入对比示意图；[0021]图8为存在轨迹突变时本发明方法的姿态角角速度及其跟踪误差示意图；

[0022]图9为存在质量突变时本发明的方法和现有方法的轨迹跟踪控制性能对比示意图；

[0023]图10为存在质量突变时本发明的方法和现有方法的平动子系统误差面与位置跟踪误差对比示意图；

[0024]图11为存在质量突变时本发明的方法和现有方法的姿态角及跟踪误差对比示意图；

[0025]图12为存在质量突变时本发明的方法和现有方法的控制输入对比示意图；[0026]图13为存在质量突变时本发明方法的姿态角角速度及其跟踪误差示意图。具体实施方式

[0027]下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。[0028]在介绍本发明的方法前，先对无人机相关的技术进行说明。

[0029]

图1为四旋翼无人机结构示意图。为地面坐标系，符合右手准则，且z

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轴垂直向上。

为无人机体坐标系，坐标原点设置在无人机质心。ξ＝[x,y,z]T

的空间位置和欧拉角。

和η＝[φ,θ,ψ]T分别表示四旋翼无人机在地面坐标系

[0030]

四旋翼无人机一共包含四个发动机，其中1号和3号旋翼逆时针旋转，2号和4旋翼

顺时针旋转。各旋翼所产生的力可表述为fτ＝[f1,f2,f3,f4]T，作用在无人机上的转矩为τw

T

＝[τττ所有旋翼产生的合升力为U1，根据上述定义有以下等式成立：p,q,r]，

[0031]

其中：ωi为第i个发动机的转速；L为臂长；a和b为气动参数。等式(1)表明若已知fi值，即可求得ωi,i＝1,2,3,4的值，而fi的值可以通过τττp,q,r和U1的值求得。[0033]四旋翼无人机的数学模型可以分为平动和转动两部分，其中平动方程基于地面坐标系建立，转动方程基于体坐标系建立。具体的数学模型如下所示：

[0032]

[0034]

[0035]其中：为四旋翼无人机在地面坐标系下的速度向量；w＝[p,q,

r]T为四旋翼无人机在体坐标系

下的角速度向量；m为四旋翼无人机的总质量；g表示重

中沿z轴方向的单位向量；dξ＝[dx,dy,dz]T和dw＝

力加速度；e3＝[0,0,1]T为地面坐标系

[dp,dq,dr]T分别为有界的空间位置和角速度干扰信号。J＝diag(Jx,Jy,Jz)为机体坐标系

下的惯性矩阵；体形式如下：

[0036]

是由机体坐标系向地面坐标系变换的旋转矩阵，其具

[0037]

其中S.＝sin(·)，C.＝cos(·)。W(η)定义为：

[0038]

[0039]

其中T.＝tan(·)。

[0040]公式(2)代表的无人机模型具有欠驱动特性，很难通过设计控制律地控制所有状态。因此，本发明的控制目标为：通过合适的控制律计算得到U1和τξ和ψ能稳定地w使得跟踪各自的参考指令信号ξψ且跟踪误差满足预设性能。为了实现上述目标，本发明针d和d，

对公式(2)代表的无人机模型采用以下合理的假设。[0041]假设1：参考指令信号ξψ公式(2)的状d,d及其一阶和二阶时间的导数连续且有界；

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态ξ,v,η和w均可测。[0042]假设2：di(t)对于时间t而言为有界的Lipschitz连续函数；存在未知正数m,和使得

[0043]

和(i＝x,y,z,p,q,r)成立。

具有小超调的预设性能

[0044]预设性能是指通过合适的控制律，使得跟踪误差e(t)以预设的收敛速率和超调量收敛至一个可调的残差集合中。本发明将针对二阶系统设计一种能实现小超调的预设性能方法。首先定义如下误差面：

[0045]

其中c>0为待设计参数。为了实现具有小超调的预设性能控制，假设s(t)时刻满足以下不等式约束：

[0047][0048][0049][0050]

[0046]

和为非对称性能函数，具体形式为：

其中c>l≥0,δ>0和

为待设计参数，exp(·)表示指数函数。上述预设性能可

通过图2进行阐释。

[0051]

等式(7)表明和均有界。(s(0)+δ,s(0)-δ)了误差面s(t)在

瞬态时的超调量。区间

[0052]

表示误差面s(t)在稳态时允许的变化范围。

e(t)满足指数收敛

定理1：若条件(6)满足，则跟踪误差e(t)有界，且对于为实现预设性能(6)，可定义转化误差z(t)为：

约束。

[0053][0054][0055]

其中标准化误差为了简化表述，将转化

2

函数Tr(ζ(t))＝ζ(t)/(1-ζ(t))定义为Tr(·):(-1,1)→R。对z(t)求时间的一阶导数可得：

[0056][0057][0058][0059][0060][0061]

其中：

且：

定理2：对于若存在未知正数zM使得|z(t)|≤zM成立，则对于

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均有|ζ

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(t)|<1成立。

[0062]

结合定理1和定理2，若能通过设计控制律确保对于均有|z(t)|≤zM成立，

则跟踪误差e(t)有界且满足指数收敛约束(9)和(10)。

[0063]非对称性能函数(7)包含了系统初始误差。此举不仅避免了潜在的奇异问题，也实现了具有小超调的预设性能。

[00]图3为本发明中具有高精度的四旋翼无人机轨迹跟踪控制方法的流程图。由图可知方法中使用的控制律不依赖于精确的模型参数。此外，与现有技术中针对四旋翼无人机所采用的自适应控制律相比，本发明所采用控制律无需任何估计器，因此具有更低的计算复杂度。

[0065]本发明的方法包括以下步骤：[0066]将位置参考指令信号、速度参考指令信号以及四旋翼无人机模型反馈的无人机实际位置和速度输入到平动子系统控制律中，计算得到虚拟控制律；[0067]将虚拟控制率进行坐标变换，得到旋翼产生的合升力、以及无人机在地面坐标系的欧拉角参考指令信号；

[0068]将无人机在地面坐标系的欧拉角参考指令信号以及四旋翼无人机模型反馈的无人机在地面坐标系的欧拉角输入欧拉角控制律，计算得到四旋翼无人机在体坐标系下的角速度参考指令信号；

[0069]将无人机在体坐标系下的角速度参考指令信号以及四旋翼无人机模型反馈的四旋翼无人机在体坐标系下的角速度向量输入角速率控制律，计算得到旋翼作用在无人机上的转矩；

[0070]将旋翼产生的合升力以及旋翼作用在无人机上的转矩输入四旋翼无人机模型，对四旋翼无人机进行轨迹跟踪控制。[0071]上述方法中，所述平动子系统控制律如公式(25)所示，坐标变换计算时依据公式(26)进行，所述欧拉角控制律如公式(31)所示，所述角速率控制律如公式(33)所示，所述四旋翼无人机模型如公式(2)所示。

[0072]下面对每个控制律的具体设计过程进行详细说明。[0073]平动子系统控制律设计

[0074]

定义位置跟踪误差对求时间的一阶导数并结合模型(2)可

得以下平动子系统的误差动力学方程：

[0075]

[0076]其中可改写为以下等效形式：

[0077]

[0078]为了分析姿态角跟踪误差

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对速度子系统控制增益的影响，采

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用如下代数变换：

[0079]

[0080]其中为了简化表述，定义：

[0081]

[0082]

[0083]通过分析矩阵的各阶顺序主子式D1，D2

和D3可得：

[0084]

11

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[0085]

[0086][0087]

因此在集合

确保

范围内，

的正定性。

为正定的对称矩

阵。在本发明中，具体选择以下紧集

[0088][00]

假设3：四旋翼无人机的姿态角初始条件满足|φ(0)|＝φ0<π/2，|θ(0)|＝θπ/2，0<

且

其中

θd和φd由平动子系统控制律产生。

[0090]

假设3保证了在控制初始阶段的正定性。在实际应用中，可通过将四旋

翼无人机放置于大致指向跟踪轨迹的方向，以满足假设3的要求；在转动子系统控制律设计上述设置可使过程中，将通过设计性能函数使姿态角跟踪误差和时刻处于集合Ωs中。得

[0091]

时刻正定，于是平动子系统(12)的可控性得到了保证。针对平动子系统(12)，定义虚拟控制律uξ＝[ux,uy,uz]T如下：

[0092]

[0093]

定义虚拟控制律Δuξ＝uξ-m0ge3，其中m0为四旋翼无人机在实际中的大致质量。将(15)，(16)和Δuξ带入(2)中得到：

[0094]

[0095]

其中：

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[0096]

[0097][0098][0099]

为了处理二阶动态系统(21)，定义时变误差面sξ＝[sx,sy,sz]T如下：

其中cξ＝diag(cx,cy,cz)为正定对称矩阵且ci>li,i＝x,y,z。设计性能函数和

如下：

[0100][0101][0102]

其中ci>li≥0,δi>0,定义标准化误差

且i＝x,y,z。i＝x,y,z与虚拟子

控制律Δuξ，即平动子系统控制律如下：

[0103]

[0104]

其中Γξ＝diag(Γx,Γy,Γz)为正定对角阵，rξ＝diag(rx,Υy,Υz)，

i＝x,y,z，zξ为与时变误差面sξ相关的转化误

差。根据等式(20)可求得理想的欧拉角指令，即坐标变换公式为：

[0105]

与待设计的参考指令ψθd一起，d和φd将作为转动子系统的指令信号。

[0107]在本发明中并未直接设计虚拟控制律uξ，而是先通过设计虚拟控制律Δuξ，再通过变换得到uξ。否则，当ζζζ||uξ||＝0会导致等式(26)出现奇异问题。x(t)＝y(t)＝z(t)＝0时，[0108]转动子系统控制律设计

[0109]为了使控制律具有更好的适用性，将系统(2)中的转动子系统表述为以下非仿射模型：

[0110][0111][0112][0113]

[0106]

其中fk(w,τd′k)为Lipschitz连续的未知非仿射函数，k为有界的外部干扰。假设4：存在连续函数gk(w,τk)，

hk(w)和

满足：

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k＝p,q,r为未知常数。对于

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其中εk和存在未知正数gk,m

满足

[0115]

由于四旋翼无人机惯性矩阵J为未知正定矩阵。结合微分方程

上，的下界均

的形式，易知假设4合理。同时，假设4保证了角速度子系统的可控性。在区间fk(w,ττ非仿射函数在区间τεk)随k的变化规律保持未知。k≥k的上界和区间

[0116][0117][0118]

被取消。和现有技术所采用的假设“非仿射函数必须可偏导”相比，假设4的条件更宽松。

定义角速度跟踪误差

对求时间的一阶导数并结合等式(27)可得：

下文将基于反推控制技术，针对转动子系统设计一种能实现小超调的预设性能控

制律。设计过程分为以下两个步骤。[0119]第1步：根据假设3，选择性能函数：

[0120]

[0121]其中设计如下欧拉角控制律wd：

[0122]

[0123]其中且Γη＝diag(Γφ,Γθ,Γψ)为正定的对角矩

阵，zη为欧拉角转化误差。[0124]第2步：与上述步骤类似，选择性能函数：

[0125][0126]

其中通过选择合适的参数可以保证成立。设计如下角速率控制律：

[0127]

[0128]其中Γw＝diag(Γp,Γq,Γr)为正定的对角矩

阵。

[0129]

本发明采用了两组仿真研究以验证上述控制方法的有效性。四旋翼无人机的模型参数为：L＝0.5m，m0＝2kg，g＝9.81m/s2，Jx＝Jy＝0.004kgm2，Jz＝0.0084kgm2。为验证控制律的鲁棒性，定义C＝C0[1+0.3sin(0.1t)]，其中C和C0分别表示转动惯量的实际值和理想值。外部干扰信号取为：

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[0130][0131]

预设性能控制律的控制参数选为：cξ＝diag(3,3,3)，Γξ＝diag(0.2,0.2,0.2)，

Γη＝diag(2,2,2)和Γw＝diag(4,4,4)。所有预设性能控制律均采用相同的误差转化模式

2

Tr(ζ(t))＝ζ(t)/(1-ζ(t))与不同的性能函数边界：

[0132]

[0133]

在下文的两组仿真中，都将以文献JabbariAsl H,Yoon J.Robust image-based control of the quadrotor unmanned aerial vehicle[J].Nonlinear Dyn.2016,85(3):2035-2048中所提出的滑模控制律SMC作为对照算例。[0134]存在轨迹突变的四旋翼无人机跟踪控制

[0135]

假设四旋翼无人机从初始状态点ξ(0)＝[2,4,0]T,

以||v||＝

0.55m/s的速度沿轨迹ξ如图4(a)所示，为了确保目标轨迹光滑，矩形转角均用半径d飞行。为0.5m的四分之一圆弧替代。[0136]图4-8为仿真结果。从图4和图5可以看出，与SMC相比，本发明提出的预设性能控制律(PPC)的位置跟踪具有更小的超调量与更短的响应时间。图6和图7显示PPC和SMC的姿态角和控制输入均有界，且PPC的姿态角跟踪误差

满足预设性能，因此

将时刻保

持正定，即速度子系统的可控性可得到保证。图8显示，PPC的角速度跟踪误差满足预设性包络。综上所述，和SMC相比，本发明所提出的PPC无需精确的模型参数且可以实现更高的控制精度。

[0137]存在质量突变的四旋翼无人机跟踪控制

[0138]为了验证控制律处理带模型不确定性的四旋翼无人机轨迹跟踪问题的能力，假设

T四旋翼无人机以初始状态ξd(0)＝[0,0,0],

T

沿参考轨迹ξd＝[xd,yd,zd]飞

行，其中：

[0139]

四旋翼无人机在执行包裹运输任务时，可能存在包裹释放或抓取过程。因此，假设

设无人机飞行过程中存在以下质量突变：

[0141]

[0140]

[0142]

图9-13为仿真结果。由图9和10可知，与SMC相比，PPC能实现更好的瞬态与稳态性

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能，且平动子系统的误差面满足预设性能包络。虽然四旋翼无人机出现了质量突变，但PPC依然能实现高精度的跟踪控制。图11和图13显示：在PPC算例中，误差和均满足预设性能。此外，图12显示，在SMC与PPC算例中，控制输入曲线均不存在高频抖振。[0143]尽管已描述了本发明的优选实施例，但本领域内的技术人员一旦得知了基本创造性概念，则可对这些实施例作出另外的变更和修改。所以，所附权利要求意欲解释为包括优选实施例以及落入本发明范围的所有变更和修改。[0144]显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

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图1

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