第１６卷第１期 高等数学研究 Ｖｏｌ＿１６，Ｎｏ．１ ２Ｏ１３年１月 ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｊａｎ．，２０１３ 齐次线性方程组有非零解的几何应用 潘杰，苏化明 （合肥工业大学数学学院，安徽合肥２３ｏｂｏ９） 摘 要 含有 个方程 个未知数的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式等于零．利用 这个结论可以解很多解析几何问题，这里所给实例的解法不同于有关教材或参考书． 关键词 齐次线性方程组；非零解；平面；直线 中图分类号 Ｏ１５１ 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８—１３９９（２０１２）０￣一００３４—０３ 直线 ， ３２—１一Ｙ—ｚ一１ Ｔ—Ｔ—Ｔ 在平面 丌： —Ｙ＋２ｚ一１—０ 上的投影直线ｚ。的方程． 解 设经过Ｚ且垂直于 的平面玎 的方程为 Ａｒ＋Ｂｙ＋Ｃ ＋Ｄ一０， （４） 则由点（１，０，１）∈ ｌ，及 上丌 可知 Ａ＋Ｃ＋Ｄ一０， （５） Ａ＋Ｂ—Ｃ一０， ｚ １ —１（６） ２ Ａ—Ｂ＋２Ｃ一０． １ １ Ｏ（７） Ｏ联立式（４）（５）（６）（７）组成的以Ａ、Ｂ、Ｃ和Ｄ为未知 数的方程组显然有非零解，故 ｚ １ ０ —０。 １ １ 又平面丌经过直线ＯＰ，取 为其方向向量，则有 １ —１ 展开后得 ｚ一３ｙ一２ｚ＋１—０。 此即平面丌 的方程．于是所求投影直线ｚ。的方程为 ｆ —Ｙ＋２ｚ一１—０， ． 【 一３ 一２ｚ＋１—０． 例３ 。 求证过点Ｍ０（ 。， 。，ｚ。）且平行于两 条既不重合又不平行的直线 Ｘ－ａｉ＿： 一婴（ 一１，２） ￡ ￡ ７／ 的平面方程可写成 收稿日期：２０１０—０３—１２；修改日期：２０１２－０６—２９ Ｉ ｚ—ｚ。 — 。 一 Ｉ 基金项目：高等学校大学数学教学研究与发展中心教改项目（２０１１） Ｉ １１ ｍｌ ｎ１ Ｉ一０． （８） 作者简介：潘杰（１９５５一），男，安徽宿州人，教授，从事计算数学研 ｌ Ｚ２ ｍｚ ７／２ Ｉ 究．Ｅｍａｉｌ：ｈｆｄｘｓｘ＠１６３．ｃｏｒｎ 苏化明（１９４９一），男，安徽宿州人，教授，从事计算数学研 证明 设所求平面丌的法向量为 究．Ｅｍａｉｌ：ｇｋｓｘ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａ１．ｎｅｔ．ｃｎ 一（Ａ，Ｂ，Ｃ）． 第１６卷第１期 潘杰，苏化明：齐次线性方程组有非零解的几何应用 ３５ 由于点Ｍｏ在所求平面上，故丌的方程可以写作 Ａ（ｘ—Ｘｏ）＋Ｂ（ｙ～ｙｏ）＋Ｃ（ｚ—ｇｏ）一０． （９） 又已知两直线与平面７／＂平行，所以 １’ （１Ｏ） （１１） （－ａ线ｌ与平面７ｒ不平行）的平面方程，－ｆ以表示成 ＋Ｂｍ１－－Ｃｎ１一 ０，４ ４－Ｂｍ ２－－Ｃｎ ４２—０． ２ Ｉ ｚ Ａ 由于 为非零向量，从而由式（９）（１０）（１１）组成的以 Ａ、Ｂ、Ｃ为未知数的方程组有非零解，故得式（８），此 Ｂ Ｃ Ｉ Ｉ—ｏ． （１６） 即所求平面方程． 例４Ⅲ 求过点 平行，且与直线 一 一（ｏ，０，一２）与平面 因为点（ 。， 。，ｚ。）在已知直线ｌ上，而ｌ ７ｆ ，故平 丌１： ３ｘ～２ｙ－－２ｚ一１—０ ４手 相交的直线ｌ的方程． 解 直线ｚ在过点Ｍ。且与平面丌 平行的平面 丌。上，易知丌。的方程为 ３ｘ—Ｙ－－２（ｚ＋２）一０，４ 也即 ３ｘ— －－２ｚ－４－４—０．４ （１２） 直线ｚ在由点Ｍ。与直线ｚ 所确定的平面７ｉ＂。内．设 。 的法向量 ． ’ ３一（Ａ，Ｂ，Ｃ）， 则丌。的方程为 ’ ４Ｂｙ－－－Ｃ（ｚ－４－２）一０，４ （１３） 因而Ｍ１（１，３，０）∈ Ｚ１，所以 Ｍｏ－￣，一（１，３，５）， Ｍｏ－￣７上疙． 又Ｚ 的方向向量 ；１＝＝：（４，一２，１）， １上 ３， 所以 Ａ－－３Ｂ－４－２Ｃ＝０，４ ４Ａ一２Ｂ ４－Ｃ一０． （１４） （１５） 一 一 ， 例７［。 求证过直线 联立式（１３）（１４）（１５）组成的以Ａ、Ｂ、Ｃ为未知 数的齐次线性方程组有非零解，故 Ｉ Ｘ ３， ４２ －Ｉ 誊 一 ｌ—Ｙｌ 一 Ｉ Ｉ ４１ ３ ２ ｌ：０， ２ １ ｌ —展开后得 Ｘ－４－Ｙ——２ｚ——４—０． ｚＩ 例８［。 ｆｚ一口 ＋ ， 咒 ｌ 求证通过两条平行直线 此即平面丌。的方程，故所求直线ｚ的方程为 ｆ ３ｘ—Ｙ－－２ｚ－４－４—０，４ 【 ４－Ｙ一２ｚ一４—０， ｌ 一 ＋ ， 例５ Ｅ。 求证过直线 ｆｚ—ｚ０－－ｈ，４ ｚ： ＝ ０－－ｍｔ，４ 【２一ｚ０＇４－ｒａｔ， Ｉ ａ２－－ａｌ 一６１ —ｃ１ ｌ一０． 高等数学研究 ２０１３年１月 Ｐ ｌ＝：＝ ） １一 有重要意义・ 参考文献 ／ ＼∑ ／，∑ ＼ Ｅｌｉ李亿民．高等数学解析［Ｍ］．青岛：中国海洋大学出版 其中Ａ（／，●＼Ａ １ ＼／２ ．Ｚ １， ），●Ａ 表示矩阵Ａ的子矩阵，＼ 社，２００７：１１２—１１３． ．Ｚ Ａ （：＼上 ）， 表示 ［２］李承家，胡晓敏．数学分析导教导学导考［Ｍ］．西安：西 矩阵Ａ 的子矩阵．因此，待证不等式成立． 北工业大学出版社，２００３：２８０． 高等数学中许多较难问题可以通过构造辅助数 、、●／ ［３］王兵．概率统计的思想方法［Ｍ］．济南：山东教育出版 学模型实现“绝处逢生”．构造辅助数学模型对学生 ／，Ａ ●●＼ ，、， 社，２００７：１８０—１８１． ２ １ 知识和能力上的要求较高．因此，研究构造辅助数学 Ｏ Ｅ４］刘振宇．高等代数的思想与方法［Ｍ］．济南：山东大学出 模型对于培养学生创新精神和提高解决问题能力上 版社，２００９：８１． Ａｕｘｉｌｉａｒｙ Ｍｏｄｅｌｓ ａｎｄ Ｈｉｇｈｅｒ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ＳＵＮ Ｈａｉｘｉａ ， ＷＡＮＧ Ｃｈａｎｇｙｕａｎ （１．Ｇｕｓｈａｏ Ｃｅｎｔｅｒ Ｐｒｉｍａｒｙ Ｓｃｈｏｏｌ，Ｙｉｃｈｅｎｇ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎａｌ Ｂｕｒｅａｕ，Ｚａｏｚｈｕａｎｇ ２７７３１７，ＰＲＣ； ２．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｚａｏｚｈｕａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚａｏｚｈｕａｎｇ ２７７１６０，ＰＲＣ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｒｏｕｇｈ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｓ ａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｂｙ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ａｕｘｉｌｉａｒｙ ｍｏｄｅｌｓ ｆｏｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｓｅｒｉｅｓ，ｉｎｔｅｇｒａｌｓ，ｒａｎｄｏｍ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ａｎｄ ｍａｔｒｉｘｅｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ａｕｘｉｌｉａｒｙ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｓ，ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｓｅｒｉｅｓ，ｉｎｔｅｇｒａｌｓ，ｒａｎｄｏｍ ｖａｒｉａｂｌｅｓ，ｍａｔｒｉｘｅｓ ＜＞●ｏ●ｏ●ｏ●０●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●ｏ●ｏ●ｏ●＜＞●０●ｏ●＜＞●＜＞●ｏ●ｏ●＜＞●＜＞●（＞●＜＞●＜＞●（＞●ｏ●＜＞●＜＞●（＞●＜＞●＜＞●＜＞●ｏ●（＞●ｏ●＜＞●＜＞●＜＞●ｏ●＜＞●＜＞●（＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●（＞●（ ●＜＞● （上接第３５页） 例９ 证明通过点（ｚ。，Ｙ。， 。）且与两平面 参考文献 Ａ１ｚ＋Ｂ１Ｙ＋Ｃ１ ＋Ｄ１＝＝＝０， Ｅｌｉ杨桂元．用行列式求通过定点的曲线与曲面方程Ｉ－Ｊ］．高 Ａ２３２＋Ｂ２Ｙ＋Ｃ２ ＋Ｄ２—０， ．等数学研究，２００３，６（３）：４２—４３． 都垂直的平面方程为 Ｅ２］《大学数学》编辑部．硕士研究生人学考试数学试题精解 ｚ一．３２ｏ Ａ１ Ａ２ ＥＭ］．合肥：合肥工业大学出版社，２００９：１３７—１３８． ［３］龚冬保，武忠祥，毛怀遂，等．高等数学典型题［Ｍ］．西 ｙ—ｙｏ Ｂ１ Ｂ２ 一０． 安：西安交通大学出版社，１９９６：２２９—２３３． ｚ— ｏ Ｃ１ Ｃｚ Ｅ４］邱维声．解析几何［Ｍ］．北京：北京大学出版社，１９９６：５４—６４． Ｎｏｎ－—ｚｅｒｏ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ Ｌｉｎｅａｒ Ｅｑ ｕａｔｉｏｎ ＳｙｓｔｅｍｓＳｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ＰＡＮ Ｊｉｅ， ＳＵ Ｈｕａｍｉｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ。Ｈｅｆｅｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈｅｆｅｉ ２３０００９，ＰＲＣ） Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ａ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ａｎｄ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｆｏｒ ａｎ ｎ ｘ ｎ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｈａｖｉｎｇ ｎｏｎ—ｚｅｒｏ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｅｑｕａｌｓ ｔｏ ｚｅｒｏ．Ｔｈｉｓ ｒｅｓｕｌｔ ｃａｎ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｍａｎｙ ａｎａｌｙｔｉｃ ｇｅｏｍｅｔｒｙ ｐｒｏｂｌｅｍｓ，ａｎｄ ｗｅ ｉｌｌｕｓｔｒａ＇ｔ￣ｅ ｔｈｉｓ ｗｉｔｈ ｓｏｍｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｏｕｒ ａｐｐｒｏａｃｈ ａｒｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｒｏｍ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｔｅｘｔｂｏｏｋｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ，ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ｓｏｌｕｔｉｏｎ，ｐｌａｎｅ，ｌｉｎｅ
