考研冲刺班概率论与数理统计基本题型及解法总结

基本题型及解法总结

一、基本概念总结

1、概念网络图

分布（01、二项、泊松、超几何、几何、均匀、指数、正态）数字特征（期望、方差）

随机事件P(AB)数字化二维随机变量(X,Y)F(x,y)P(Xx,Yy)两大分布（均匀、正态）数字特征（期望、方差、协方差、相关系数）随机事件P(A)数字化一维随机变量X()F(x)P(Xx)大数定律和中心极限定理 四大统计分布（正态,2,t,F）（随机变量的函数分布）数理统计参数估计假设检验2、最重要的5个概念

（1）古典概型（由比例引入概率）

例2：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？

（2）随机变量与随机事件的等价（将事件数字化）

P(Xx)P(A) P(Xx,Yy)P(AB)

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例3：已知甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：

（1）乙箱中次品件数X的数学期望。（2） 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。

例4：将一枚均匀硬币连掷三次，以X表示三次试验中出现正面的次数，Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求（X，Y）的联合分布律。

（3）分布函数（将概率与函数联系起来） F(x)P(Xx) （4）离散与连续的关系 P(Xx)f(x)dx

P(Xx,Yy)f(x,y)dxdy

例5：见“数字特征”的公式。

（5）简单随机样本（将概率和统计联系在一起）

样本是由n个同总体分布的个体组成的，相当于n个同分布的随机变量的组合（n维随机变量）。

1n例6：样本的XXi是已知的，个体（总体）的E(Xi)未知，

ni1矩估计：X，完成了一个从样本到总体的推断过程。

二、做题的19个口诀（概率16个，统计3个）

1、概率

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（1）题干中出现“如果”、“当”、“已知”的，是条件概率。 例7：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问第二次打开的概率？

例8：设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 。

（2）时间上分两个阶段的，用“全概公式”或者“贝叶斯公式”。

例9：玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：

（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；

（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。 （3）“只知次数，不知位置”是“二项分布”。

例12：某厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格产品不能出厂。现该厂新生产了n(n2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互），求

（1） 全部能出厂的概率α； （2） 恰有两台不能出厂的概率β； （3） 至少有两台不能出厂的概率θ。

（4）“先后不放回取”≡“任取”，是“超几何分布”。

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P32 例13：5个球，3红2白，先后不放回取2个，2红的概率？ 2

P5 例14：5个球，3红2白，任取2个，2红的概率？

C32 2 C5（5）“先后放回取”是“二项分布”。

例15：5个球，3红2白，先后放回取5个，2红的概率？

32C52()2()3 55（6）“直到…才”是“几何分布”。

例17：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开不扔掉，问以下事件的概率？

①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。

（7）求随机变量函数的分布密度，从分布函数的定义入手。 例18：设X的分布函数F(x)是连续函数，证明随机变量Y=F（X）在区间（0，1）上服从均匀分布。

（8）二维随机变量的概率分布从两个事件相交的本质入手。 P(AB)f(x)f(y/x)P(A)P(B/A)，f(x,y)X。

P(A)P(B)fX(x)fY(y)（9）二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定积分的上下限。

例19：设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中D{(x,y):|xy|1,|xy|1},求X的边缘密度fX(x)。 （10）求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率，由画图计算相交部分（正概率区间和所求区域的交集）的积分。

例20：设随机变量（X，Y）的分布密度为

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3x(x,y)0,0x1,0yx,

其他.试求U=X-Y的分布密度。

（11）均匀分布用“几何概型”计算。

例21：设随机变量（X，Y）的分布密度为

2(x,y)0,0x1,0yx,

其他.试求P(X+Y>1)。

（12）关于性：对于离散型随机变量，有零不；对于连续型

随机变量，密度函数可分离变量并且正概率密度区间为矩形。

0,例22：设X～e（1），Yk1,xk （k=1, 2）,求：

xk（1）(Y1,Y2)的分布；

（2）Y1与Y2边缘分布，并讨论他们的性； （3）E(Y1Y2).

例23：如图，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, fY(y)=4y-4y3，不。

Axy2,0x2,0y1例24：f(x,y)=,判断X和Y的性。

0,其他 （13）二维随机变量的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，由边缘分布来求。

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例25：设A，B为两个随机事件,且P(A)P(A|B)1, 令 211, P(B|A), 43A发生，1,1,B发生， Y X0，A不发生，0，B不发生.求

(Ⅰ) 二维随机变量(X,Y)的概率分布; (Ⅱ) X与Y的相关系数 ρXY; (Ⅲ) ZX2Y2的概率分布.

（14）相关系数中的E(XY)，对于离散型随机变量，根据XY的一维

分布来求；对于连续型随机变量，按照函数的期望来求。

例26： 连续型随机变量：E(XY)＝xyf(x,y)dxdy

（15）应用题：设Y为题干中要求期望的随机变量，a为最后题目所

求，然后找Y与X的函数关系，再求E(Y)。

例27：设某种商品每周的需求量X服从区间[10，30]上的均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10，30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。

（16）切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。X 2、统计

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（1）似然函数是联合密度或者联合分布律。

连续型：L(1,,,m)f(xi;1,,,m)

22ni1离散型：L(1,,,m)p(xi;1,,,m)

22ni1例28：设总体X的概率分别为

X0p2123 2(1)212

其 中θ（0<θ<）是未知参数，利用总体X的如下样本值

3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3

求θ的矩估计值和最大似然估计值。

（2）“无偏”求期望，“有效”求方差，“一致”不管它。 例29：设x1,x2,,xn是总体的一个样本，试证

131x2x3;

5102115（2）2x1x2x3;

3412131（3）3x1x2x3.

341212（1）1x1都是总体均值u的无偏估计，并比较有效性。

t分布区间估计和假设检验取关于y轴对称的分位数，（3）标准正态、

2、F分布取面积对称的分位数。

三、选择题常考的5个混淆概念

1、乘法公式和条件概率

例30：100个学生，60个男生，40个女生，棕色头发30个，棕

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色头发的男生10个，任取一个学生，是棕色头发的男生的概率？已知取了一个男生，是棕色头发的概率？

P(AB)P(A)P(B/A)

2、和互斥

设A≠ø, B≠ø，则A和B相互与A和B互斥矛盾。 例31：对于任意二事件A和B， （A） 若AB=Φ，则A，B一定不。 （B） 若AB=Φ，则A，B一定。 （C） 若AB≠Φ，则A，B一定。 （D） 若AB≠Φ，则A，B有可能。 3、和不相关

是不相关的充分条件。

(X,Y)为二维正态分布时，和不相关互为充分必要条件。

4、X，Y分别为正态分布，不能推出（X，Y）为二维正态分布； 也不能推出 X+Y 为一维正态分布。 例32：已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数XY，设Z12XY. 32（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）； （2）求X与Z的相关系数XZ； （3）问X与Z是否相互？为什么？ 5、几个大数定律的区别

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切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。 例34：设{X1,X2,„„Xn，„„}是相互的随机变量序列，Xn

服从参数为n的指数分布（n=1,2, „„），则随机变量序列{ X1,22X2,„„n2Xn，„„}： (A) 服从切比雪夫大数定律。 (B) 服从辛钦大数定律。

(C) 同时服从切比雪夫大数定律和辛钦大数定律。 (D) 既不服从切比雪夫大数定律，也不服从辛钦大数定律。

四、解答题常考的6个题型

1、全概和贝叶斯公式

例35：在电源电压不超过200V、在200～240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，设电源电压X～N（220，252），试求 （1） 该电子元件损坏的概率α；

（2） 该电子元件损坏时，电源电压在200～240V的概率β。

x0.100.200.400.600.801.001.201.40 (x)0.5300.5790.6550.7260.7880.8410.8850.919表中Φ（x）是标准正态分布函数。 2、二项分布

例36：设测量误差X~N（0，102）。试求在100次重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并用泊松分布求出α的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。

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[附表]：

e10.36820.13530.05040.01850.00760.00270.001

3、二维随机变量

例37：设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

Y X 0 1

0 0.4 a 1 b 0.1

若随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相，则

A、a=0.2, b=0.3 B、a=0.1, b=0.4

C、a=0.3, b=0.2 D、a=0.4, b=0.1 例38：设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，在Xx(0x1)的条件下，随机变量Y在区间(0,x)上服从均匀分布，求

(Ⅰ) 随机变量X和Y的联合概率密度； (Ⅱ) Y的概率密度； (Ⅲ) 概率P{XY1}． 4、数字特征

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例39：一辆送客汽车，载有m位乘客从起点站开出，沿途有n个车站可以下车，若到达一个车站，没有乘客下车就不停车。设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数。

例40：今有两封信欲投入编号为I、II、III的3个邮筒，设X，Y分别表示投入第I号和第II号邮箱的信的数目，试求（1）（X，Y）的联合分布；（2）X与Y是否；（3）令U=max (X,Y), V=min(X,Y)，求E（U）和E（V）。

例41：设X1,X2,,Xn(n2)为同分布的随机变量，且均服从N（0，

1n1）。记XXi,YiXiX,i1,2,,n.

ni1

求： （I）Yi的方差DYi,i1,2,,n; （II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).

(III) PY1Yn0.

12,1x01例42：设随机变量X的概率密度为fxx,0x2,令YX2,FX,Y40,其它为二维随机变量X,Y的分布函数,求:

(Ⅰ) Y的概率密度fYy (Ⅱ) covX,Y

(Ⅲ)F,4 215、应用题

例43：市场上对商品需求量为X～U（2000，4000），每售出1吨

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可得3万元，若售不出而囤积在仓库中则每吨需保养费1万元，问需要组织多少货源，才能使收益最大？

例44：设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ，1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T（单元：元）与销售零件的内径X有如下关系。

若X101,T20,若10X12 5,若X12问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ 6、最大似然估计

例45：设随机变量X的分布函数为

αβ,xα， F(x,α,β)1x0，xα，其中参数α0,β1. 设X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本，

(Ⅰ) 当α1时, 求未知参数β的矩估计量； (Ⅱ) 当α1时, 求未知参数β的最大似然估计量； (Ⅲ) 当β2时, 求未知参数α的最大似然估计量。

,0x1例46：设总体X的概率密度为f(x,)1,1x2，其中是未知参

0,其他数（0<<1）。

记N为样本值x1,x2,xn中X1,X2,Xn为来自总体的简单随机样本，小于1的个数。求的矩估计和最大似然估计。

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五、考试的2个技巧

1、填空题和选择题的答题技巧

例47：设随机变量Xij(i,j1,2,,n;n2)同分布，EXij2,则行列式

X11X21YXn1Xn2XnnX12X22X1nX2n

的数学期望EY＝ 。

例48：将一枚硬币地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，

A4={正面出现两次}，则事件

（A）A1,A2,A3相互。 （B）A2,A3,A4相互。 （C）A1,A2,A3两两。 （D）A2,A3,A4两两。 2、答题顺序

填空题→计算题→选择题→证明题； 概率,线代→高数。

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