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六年级数学思维训练：进位制与取整符号（六年级）竞赛测试

姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________

题型 得分 评卷人

得分

一、xx题

（每空xx 分，共xx分）

选择题 填空题 简答题 xx题 xx题 xx题 总分 【题文】将下面的数转化为十进制的数：（1111）2，（1010010）2，（4301）5，（B08）16． 【答案】15；82；576；2824； 【解析】

试题分析：根据二进制、五进制、十六进数制转化成十进制数的转化方法解答即可． 解：1111（2）=1+1×21+1×22+1×23=15； 1010010（2）=1×2+1×24+1×26=82； （4301）5=1×50+0×51+3×52+4×53=576； （B08）16=8×160+0×161+11×162=2824．

点评：此题主要考查了十进制与二进制、五进制、十六进制的相互转化，解答此题的关键是要熟练地掌握其转化方法．

【题文】请将十进制数90转化成二进制、七进制和十六进制的数． 【答案】1011010（2）；156（7）；5A（16） 【解析】

试题分析：根据把十进制数转化成二进制、七进制、十六进制数的转化方法解答即可． 解：（1）90÷2=45…0 45÷2=22…1 22÷2=11…0 11÷2=5…1 5÷2=2…1 2÷2=1…0

1÷2=0…1l试题分析：（1）首先把七进制数（403）7转化成十进制数，然后再化成五进制的数即可； （2）首先把五进制数（403）5转化成十进制数，然后再化成七进制的数即可． 解：（1）（403）7=4×72+0×71+3=196+0+3=199（10）； 199÷5=39…4， 39÷5=7…4， 7÷5=1…2， 1÷5=0…1，

故199（10）=1244（5）， 所以（403）7=1244（5）；

（2）（403）5=4×52+0×51+3=100+0+3=103（10）； 103÷7=14…5， 14÷7=2…0， 2÷7=0…2，

故103（10）=205（7）， 所以（403）5=205（7）．

点评：此题主要考查了五进制与七进制的相互转化，解答此题的关键是首先将五进制或七进制的数转化成十进制的数．

【题文】（1）在二进制下进行加法：（101010）2+（1010010）2； （2）在七进制下进行加法：（1203）7+（251）7； （3）在九进制下进行加法：（178）9+（8803）9． 【答案】（1111100）2；（65454）7；（10082）9． 【解析】

试题分析：（1）二进制数中的运算规律是“逢二进一”，据此解答即可； （2）七进制数中的运算规律是“逢七进一”，据此解答即可； （3）九进制数中的运算规律是“逢九进一”，据此解答即可． 解：（1）二进制数中的运算规律是“逢二进一”， 所以（101010）2+（1010010）2=（1111100）2； （2）七进制数中的运算规律是“逢七进一”， 所以（1203）7+（251）7=（65454）7； （3）九进制数中的运算规律是“逢九进一”， 所以（178）9+（8803）9=（10082）9．

点评：此题主要考查了二进制、七进制、九进制下的加法运算，解答此题的关键是熟练掌握不同进制下的加法运算法则．

【题文】用a、b、c、d、e分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果，是由小到大排列的连续正整数，那么【答案】108. 【解析】

试题分析：五进制中的五个数分别为0，1，2，3，4由于是连续的正整数，且

和

，

，

，

所表示的整数写成十进制的表示是多少？

个位与十位均发生了变化，可知是发生了进位，所以c=4，b=0，a﹣d=1，进而推算出这5个数的数值各是多少，得出

的数值，再根据其它进制化成十进制的方法求解．

，

，个位与十位均发生了变化，可知是发生了进位，

解：由于是连续的正整数，且因为﹣

又因﹣=1，即：

=1，所以c﹣e=1．

（5a+b）﹣（5d+c）=1，所以5（a﹣d）+（b﹣c）=1；

由于a，b，c，d，e都是0至4之间的不同整数， 从而可以推知：a﹣d=1，c﹣b=4．

经检验，得 c=4，b=0，e=3，a=2，d=1，于是有 =4×52+1×51+3×50， =4×25+5+3， =100+5+3， =108；

答：那么所表示的整数写成十进制的表示是108．

点评：先将非十进制数化为十进制数，然后依题意列方程，求出方程的解，就不难求出问题的答案了． 【题文】记号（25）k表示k进制的数，如果（52）k是（25）k的两倍，请写出（123）k在十进制中所表示的数． 【答案】83. 【解析】

试题分析：根据“（52）k是（25）k两倍”，即5k+2=2（2k+5），k=8，可知是两个八进制的数，再根据k进制数转化成十进制数的方法，即可得出答案． 解：因为（52）k是（25）k两倍， 即5k+2=2（2k+5），k=8， （52）8=（42）10， （25）8=（21）10，

所以（123）8=1×82+2×8+3=（83）10；，答：（123）k在十进制中所表示的数是：83．

点评：解答此题的关键是，先根据题意，判断是几进制，根据k进制数转化成十进制数的方法即k进制的基数单位是1，k，k2，k3…用计数单位和各个数位上的数相乘，即可得到十进制．

【题文】一个自然数的四进制表达式是一个三位数，它的三进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反．请问：这个自然数的十进制表示是多少？ 【答案】22. 【解析】

试题分析：根据位置原则设一个自然数的四进制表达式是abc；它的三进制表达式就是cba，然后都转化为十进制；列出不定方程式分析解答即可．

解：设一个自然数的四进制表达式是abc；它的三进制表达式就是cba，而且a≠0，c≠0，a、b、c≤2，都转化为十进制，列出不定方程为： 42a+4b+c=32c+3b+a， 整理得：b=8c﹣15a，

因为，a≠0，c≠0，a、b、c≤2， 所以，a=1，c=2，b=1；

自然数的十进制表示是：42a+4b+c=16×1+4×1+2=22； 答：这个自然数的十进制表示是22．

点评：本题关键是转化为十进制；难点是根据a、b、c的取值范围求出不定方程的解． 【题文】计算：[27×【答案】9.8596．

=（413）5，

]﹣{27×}+[3.14]×{3.14}．

【解析】

试题分析：根据乘法分配律进行简算． 解：[27×

]﹣{27×}+[3.14]×{3.14}

=27×（﹣）+3.14×3.14 =27×0+9.8596 =0+9.8596 =9.8596．

点评：考查了运算定律与简便运算，四则混合运算．注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算． 【题文】计算：[【答案】128. 【解析】

试题分析：通过观察，每一项都含有斯求和公式计算即可． 解：（

）+（

）+…+（

）+（

）

，因此把它提出来，原式变为×（1+2++…+15+16），括号内运用高

]+[

]+…+[

]+[

]．

=×（1+2++…+15+16） =

×

=×136 =128

点评：善于观察数字特点，采取合适的方法简算． 【题文】求方程2[x]﹣9{x}=0的解的个数． 【答案】x=0，【解析】

试题分析：2[X]为偶数，所以9{X}为偶数，由于0≤{x}＜1，所以0≤9{x}＜9，所以9{x}可以取的值为0，2，4，6，8，此时代入原方程可以得到x的解分别为x=0，1+，2+，3+，4+，据此可以判断解的个数．

解：{x}=x﹣[x] 2[x]﹣9{x}=0 2[x]﹣9x+9[x]=0 11[x]﹣9x=0 x=

[x]，

，

，

，

．

所以[x]≤x＜[x]+1

得到0≤[x]＜． [x]=0，1，2，3，4

代入得：x=0，1+，2+，3+，4+， 即x=0，，，，． 所以原方程有5个解．

点评：本题考查了含取整函数的方程，任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x=[x]+{x}，其中{x}∈[0，+∞）． 解题的关键是确定x的取值范围，从而得到[x]的值． 【题文】（1）请将下面的数转化为十进制的数：（2011）3、（7C1）16；

（2）请将十进制数101转化为二进制的数，1转化为三进制的数，1949转化为十六进制的数． 【答案】（1）58；1985；（2）1100101（2）；212202（3）；79D（16）. 【解析】

试题分析：（1）根据三进制、十六进数制转化成十进制数的转化方法解答即可； （2）根据把十进制数转化成二进制、三进制、十六进制数的转化方法解答即可． 解：（1）（2011）3=1×30+1×31+0×32+2×33=58； （7C1）16=11+12×16+7×162=1985； （2）101÷2=50…1 50÷2=25…0 25÷2=12…1 12÷2=6…0 6÷2=3…0 3÷2=1…1 1÷2=0…1

故101（10）=1100101（2） 1÷3=213…2 213÷3=71…0 71÷3=23…2 23÷3=7…2 7÷3=2…1 2÷3=0…2

故1（10）=212202（3） 1949÷16=121…D 121÷16=7…9 7÷16=0…7

故1949（10）=79D（16）

点评：此题主要考查了十进制与二进制、五进制、十六进制的相互转化，解答此题的关键是要熟练地掌握其转化方法．

【题文】请将三进制数（12021）3化成九进制的数，将八进制数（742）8化成二进制的数． 【答案】（167）9；（111100010）2． 【解析】

试题分析：（1）进位制之间的转化一般要先化为十进制数，再化为其它进位制数，先将三进制数转化为十进制数，再由除K取余法转化为九进制数即可．

（2）进位制之间的转化一般要先化为十进制数，再化为其它进位制数，先将8进制数转化为十进制数，再由除K取余法转化为二进制数即可．

解：（1）（12021）3=1×34+2×33+2×31+1=81+54+6+1=142 142÷9=15…7 15÷9=1…6 1÷9=0…1 所以142=（167）9

答：三进制数（12021）3化成九进制的数是（167）9． （2）（742）8=7×82+4×81+2=448+32+2=482 482÷2=241…0 241÷2=120…1 120÷2=60…0 60÷2=30…0 30÷2=15…0 15÷2=7…1 7÷2=3…1 3÷2=1…1 1÷2=0…1

所以（482）10=（111100010）2

答：八进制数（742）8化成二进制的数是（111100010）2．

点评：本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．属于基础题．

【题文】（1）在七进制下计算：（326）7+（402）7、（326）7×（402）7； （2）在十六进制下计算：（35E6）16+（710）16． 【答案】（1）（326）7+（402）7=（1031）7 （326）7×（402）7=（165255）7 （2）（35E6）16+（710）16=（7BEF6）16 【解析】

试题分析：（1）七进制数中的运算规律是“逢七进一”，据此解答即可；

（2）十六进制下计算运算规律是“逢十六进一”，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A=10，B=11，C=12，D=13，E=14，F=15，据此解答即可． 解：（1）（326）7+（402）7=（1031）7 （326）7×（402）7=（165255）7 （2）（35E6）16+（710）16=（7BEF6）16

点评：此题主要考查了七进制、十六进制下的加法乘法运算，解答此题的关键是熟练掌握不同进制下的加法运算法则．

【题文】算式（4567）m+（768）m=（5446）m是几进制数的加法？（534）n×（25）n=（16214）n是几进制数的乘法？

【答案】九进制数的加法；十六进制数的乘法． 【解析】

试题分析：（1）个位数字7+8=15，15减几=6，就是几进制的加法； （2）个位数字4乘5=20，20减去几等于4，就是几进制的乘法；据此得解． 解：（1）7+8﹣6=9

答：算式（4567）m+（768）m=（5446）m是九进制数的加法． （2）4×5﹣4=16

答：（534）n×（25）n=（16214）n是十六进制数的乘法． 点评：利用个位数字的运算得出是几进制是解决此题的关键． 【题文】自然数x=（【答案】100. 【解析】

试题分析：首先根据a，b，c出现在二进制的数位上，所以a=0或1，又因为a出现在十进制数x的表达式的最高位上，可得a≠0，所以a=1；然后再把二进制数转化成十进制数，列出等量关系，求出b、c的值，进而求出x等于多少即可．

解：因为a，b，c出现在二进制的数位上， 所以a=0或1，

又因为a出现在十进制数x的表达式的最高位上， 可得a≠0，所以a=1； 又因为（

）10=（

）2，

）10化为二进制后是一个7位数（

）2．请问：x等于多少？

所以1×26+1×25+b×24+c×23+1×22+b×2+c=1×100+10×b+c， 整理，可得8b+8c=0，b、c均为0或1， 解得b=c=0， 则x=（

）10=100．

答：x等于100．

点评：此题主要考查了二进制数与十进制数相互转化方法的应用，解答此题的关键是首先求出a=1． 【题文】一个自然数的七进制表达式是一个三位数，它的九进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反．这个自然数的十进制表示是多少？ 【答案】248. 【解析】

试题分析：设这个七进制表达式是：

，那么这个九进制表达式就是：

，把它们都转化为十进制，列

出等量关系式为化简：49a+7b+c=81c+9b+a，然后根据a，b，c的取值范围求出a，b，c的值，代入十进制的关系式即可求出这个自然数．

解：设这个七进制表达式是：，那么这个九进制表达式就是：， （7）=a×72+b×71+c×70=49a+7b+c （9）=c×92+b×91+a×90=81c+9b+a 因为：转化为十进制后都表示同一个自然数，

所以：49a+7b+c=81c+9b+a 化简得：24a=40c+b

b=8（3a﹣5c）

因为a，b，c都小于7，所以在b=8（3a﹣5c）中，（3a﹣5c）只能等于0，即b=0， 3a﹣5c=0 3a=5c 则：a=5，c=3

这样可得：a=5，b=0，c=3 所以这个自然数为： 49a+7b+c =49×5+7×0+3 =248

答：这个自然数是248．

点评：本题是比较复杂的进制问题的相互转化，难点是在七进制和九进制都转化为十进制的基础上建立等量关系列出方程，求出三个数字的值．

【题文】某出版社在印刷一本数学科普书的时候，发现他们印刷的页码每一页都只含数字0至5，即从第一页开始这本书的页码依次为1，2，3，4，5，10，11，12，13.14，15，20，…．那么这本书的第365页的页码是多少？ 【答案】221. 【解析】

试题分析：1，2，3，4，5，10，11，12，13.14，15，20，…把它们分组，第一组有5个数1、2、3、4、5，第二组10、11、12、13、14、15共6个数，第三组有20、21、22、23、24、25共6个数，…除了第一组之外，其他组都是6个数一个循环，每组数是连续的个位数字0﹣5的数字，两组间取最后一个数5、15、25、…是差为10的等差数列，按照等差数列的规律求出5到365有多少组，组数乘6加5，即可得解． 解：（365﹣5）÷10×6+5 =360÷10×6+5 =36×6+5 =221

答：这本书的第365页的页码是221．

点评：认真分析，找出规律“是差为10的等差数列，第一项有5个数，其他每项含有6个数”是解决此题的关键．

【题文】如果[x]=3，[y]=0，[z]=1求： （1）[x﹣y]的所有可能值； （2）[x+y﹣z]的所有可能值．

【答案】x﹣y值范围在2≤x﹣y＜4，那么[x﹣y]的所有可能值为2，3 x+y﹣z值范围在1≤x+y﹣z＜4，[x+y﹣z]的所有可能值为1，2，3． 【解析】

试题分析：[]是取整符号，是指舍去小数点后面的数，不管小数点后面的数有多大，都要舍去，据此可知[x]=3，那么x取值在3≤x＜4，[y]=0，那么y取值在0≤y＜1，[z]=1，那么z取值在1≤z＜2，x﹣y值范围在2≤x﹣y＜4，那么[x﹣y]的所有可能值为2，3；x+y﹣z值范围在1≤x+y﹣z＜4，[x+y﹣z]的所有

可能值为1，2，3．

解：[x]=3，x取值在3≤x＜4 [y]=0，y取值在0≤y＜1 [z]=1，z取值在1≤z＜2

x﹣y值范围在2≤x﹣y＜4，那么[x﹣y]的所有可能值为2，3 x+y﹣z值范围在1≤x+y﹣z＜4，[x+y﹣z]的所有可能值为1，2，3．

点评：解决此题关键是明确[]是取整符号，再确定出x、y和n的取值，进而问题得解． 【题文】计算（结果用л表示）：

（1）{{π}+π}+{[π]+π}+[{π}+π]+[[π]+π]； （2）[10﹣2π]+[π]×{π}． 【答案】（1）3π；（2）3π﹣6. 【解析】

试题分析：{x}=x﹣[x]，[x]表示取整的符号；

（1）π取整是3，π取小数是π﹣3，相应的{{π}+π}=2π﹣3取小数，即2π﹣3﹣[2π﹣3]，{[π]+π}是π+3取小数，是π+3﹣[π+3]，[{π}+π]是2π﹣3取整，[[π]+π]是π+3取整，拖式计算，前后取整抵消，即可得解；

（2）[10﹣2π]取整是10﹣6.28取整即3，[π]是3，{π}是π﹣3，拖式计算，即可得解． 解：（1）{{π}+π}+{[π]+π}+[{π}+π]+[[π]+π] ={π﹣[π]+π}+{[π]+π}+[π﹣[π]+π]+[[π]+π] ={2π﹣3}+{π+3}+[2π﹣3]+[π+3]

=2π﹣3﹣[2π﹣3]+π+3﹣[π+3]+[2π﹣3]+[π+3] =3π

（2）[10﹣2π]+[π]×{π} =[3.72]+[π]×（π﹣[π]） =3+3×（π﹣3） =3+3π﹣9 =3π﹣6

点评：正确理解中括号是取整，大括号是取小数是解决此题的关键． 【题文】计算：[【答案】440. 【解析】 试题分析：[[

]=[0.56]=0，[

]=[1.12]=1，[

]=[1.68]=1，[

]=[2.24]=2，

]+[

]+…+[

]+[

]．

]=[2.8]=2，…

分别求出各个分数的整数部分，然后求和，即可得解． 解：[]+[]+…+[20+21+21+22

=[（1+22）×22÷2]×2﹣（4+9+13+18+22）

]+[]

=0+1+1+2+2+3+3+4+5+5+6+6+7+7+8+8+9+10+10+11+11+12+12+13+14+14+15+15+16+16+17+17+18+19+19+20+

=506﹣66 =440

点评：分别求出分数算式的整数部分是难点，在求和时，根据高斯求和，然后再减去单个的数字，即可． 【题文】解方程：（1）x+2{x}=3[x]； （2）3x+5[x]﹣49=0． 【答案】（1）x=0或x=，（2）x=【解析】

试题分析：若[x]表示不超过x的最大整数，若x为实数，记{x}=x﹣[x]（表示不超过x的最大整数），由此探讨解出方程的解即可．

解：（1）∵{x}=x﹣[x]，x+2{x}=3[x]， ∴x+2（x﹣[x]）=3[x]， ∴5[x]=3x， ∴[x]=

，

．

∴x能被5整除，

显然此处x=0或x=，否则x和[x]不相等． （2）令[x]=n，代入原方程得3x+5n﹣49=0，即x=又∵[x]≤x＜[x]+1， ∴n≤＜n+1．

整理得3n≤49﹣5n＜n+1，∴n=6．

代入原方程得3x+5×6﹣49=0，解得x=． 经检验，x=是原方程的解．

点评：解此类方程关键理解每一个符号的意义，进一步分析解决即可． 【题文】解方程[]+[]+[]+[【答案】63. 【解析】

试题分析：[x]表示不超过x 的最大整数则[x]包含在[x，x+1]，进一步利用这个性质分析解决问题． 解：[x]表示不超过x 的最大整数 则[x]∈[x，x+1]要利用这个性质 则有：x+﹣1+﹣1+

﹣1≤[]+[]+[]+[

]≤x++1++1++1，

]=110，其中x是整数． ＜n≤

，

．

原等式化为不等式：x+++﹣3≤110≤x++++3，

解得x可以为[60.57，63.96]所以x只可能在：61，62，63之中， 代入后可以得出：x=63．

点评：解决此题的关键是理解取整的数据范围，转化方程为不等式，确定数的取值范围，解决问题． 【题文】a、b是自然数，a进制数（47）a和易进制数（74）a相等，a+b的最小值是多少？ 【答案】24.

【解析】

试题分析：由题意可知：a≥8；b≥8且4a+7=7b+4，化简得7b﹣4a=3，进一步分析探讨得出答案即可． 解：由题意可知：a≥8；b≥8，且a＞b， 4a+7=7b+4，化简得7b﹣4a=3， 当b=8无解， 当b=9，得出a=15， 所以a+b=24．

答：a+b的最小值是24．

点评：搞清特殊进制的计数原则是解决问题的关键．

【题文】现有一个百位为3的三位数（十进制），把它分别化成九进制的数和八进制的数后，仍然是三位数．且首位数字分别为4和5．这样的三位数中最大的是多少？最小的是多少？一共有多少个？ 【答案】最大的是383，最小的是324，一共是60个． 【解析】

试题分析：根据每一个进制的最高位数字的情况，注意分析探讨数字的取值情况，进一步得出答案即可． 解：10进制的，那么必须在3×102和4×102之间，300﹣399都满足． 9进制的开头是4，那么必须在4×92和5×92之间，那么在324和404范围内． 8进制，那么必须在5×82到6×82之间，就是在320和383之间取值． 综上所述，取值必须在324到383之间．

所以这样的三位数中最大的是383，最小的是324，一共是383﹣324+1=60个． 答：这样的三位数中最大的是383，最小的是324，一共是60个．

点评：此题考查其他进制的问题，掌握每一个进制的计数原则，是解决问题的关键．

【题文】在十进制的表示中，三个依次增大的两位数恰构成公差为6的等差数列；而在五进制的表示中，这三个数的数字和是依次减少的．符合这样要求的等差数列有多少个？ 【答案】综上共有6组： 23、29、35； 48、54、60； 73、79、85． 14、20、26； 39、45、51； 、70、76． 【解析】

试题分析：设出这三个数分别为X、X+6、X+6+6．进一步由五进制数的特点，分情况探讨得出答案即可． 解：设三个数分别为X、X+6、X+6+6．

两位数化为五进制数，最小20，最大400，也就是这三个数的五进制数必然是2位或3位．最小的数必然是2位． l73、79、85．

②AB+11进位在B上，AB+22进位在A、B上： B＜5，B+1≥5，B=4 A+1+1＜5，A+2+1≥5，A=2

则由[24]5=14、[124]5=39、[224]5=、[324]5=（舍弃）

得这三个数可能是 14、20、26； 39、45、51； 、70、76； 综上共有6组： 23、29、35； 48、54、60； 73、79、85． 14、20、26； 39、45、51； 、70、76．

点评：此题考查其他进制的问题，掌握每一个进制的计数原则，是解决问题的关键．

【题文】现有六个筹码，上面分别标有数值：1，3，9，27，81，243．任意搭配这些筹码（也可以只选择1个筹码）可以得到多少个不同的和？将这些和加起来，总和为多少？将这些和从小到大排列起来，第45个是多少？

【答案】63；118；280． 【解析】

试题分析：每个筹码都有“取”和“不取”2种可能，所以总共有26=种可能，除去6个筹码都不取的情况，即﹣1=63种不同的和．种可能的取筹码的方法中，包含筹码1的会是32次（一半的可能性），所以总和里面，1会被算32次．其它的筹码也一样，都是要被算32次．所以“和的总和”是所有这些筹码的和，再乘以32，就是（1+3+9+27+81+243）×32=3×32=118；

从小到大排列，那么先就不取243，前面5个筹码，可以取的方法共有 25=32种．还差13个．下面得取243了，先取前3个小的数（1，3，9），共有7种取法，也就是下面这7种：243+1，243+3，243+1+3，243+9，243+1+9，243+3+9，243+1+3+9；还要再取5个．再下面就必须取27了．243+27，243+27+1，243+27+3，243+27+1+3，243+27+9，243+27+9+1=208（也就是第45个是280）．

解：每个筹码都有“取”和“不取”2种可能，所以总共有26=种可能，除去6个筹码都不取的情况，即﹣1=63种不同的和．

包含筹码1的会是32次（一半的可能性），所以总和里面，1会被算32次．其它的筹码也一样，都是要被算32次．所以这些筹码的和是（1+3+9+27+81+243）×32=3×32=118；

从小到大排列，那么先就不取243，前面5个筹码，可以取的方法共有25=32种．45﹣32=13个．下面得取243了，先取前3个小的数（1，3，9），共有7种取法，也就是下面这7种：243+1，243+3，243+1+3，243+9，243+1+9，243+3+9，243+1+3+9；

还要再取5个．再下面就必须取27了．243+27，243+27+1，243+27+3，243+27+1+3，243+27+9，243+27+9+1=208；

也就是第45个是280．

点评：此题考查排列组合的实际运用，注意两种计数方法的灵活运用． 【题文】计算：[【答案】2158. 【解析】

]+[

]+…+[

]+[

]．

试题分析：因为每个分数中都有13，因此把13提出来，原式变为13×（+++…+），这样括

号内为同分母分数的计算，分子部分相加时，运用高斯求和公式计算即可． 解：（=13×（=13×=13×==2158

点评：仔细观察数字特点，通过数字拆分，运用高斯求和公式，使计算简便．

+）+（+

+…

）+…+（+

）

）+（

）

【题文】计算：[]+[]+[]+…+[]．

【答案】【解析】

.

试题分析：原式=×（20+21+22+23+…+210） 设s=2°+21+22+23+…+210，则2s=21+22+23+…+211 所以2s﹣s=211﹣1，因此s=211﹣1，求出结果即可．

解：[]+[]+[]+…+[]

=×（1+2+22+23+…+210） =×（20+21+22+23+…+210）

s=2°+21+22+23+…+210，则2s=21+22+23+…+211 所以2s﹣s=211﹣1，因此s=211﹣1=2048﹣1=2047．

所以：[]+[]+[]+…+[]

=×（20+21+22+23+…+210） =2047× =

点评：注意观察题目中数字构成的特点和规律，灵活转化，运用运算技巧，巧妙解答．

【题文】一副双色牌中，红、黑两种颜色各有12张牌，每种颜色的牌上分别写着l，2，4，8，16，…，2048

这12个数．小梁从中任意抽取一些牌，计算抽出的牌面上所有数的和． （1）若算出的和为2008，则小梁最多可能抽取了多少张牌？ （2）若算出的和为183，则小梁共有多少种抽取牌的方法？ （3）如果小梁有3种抽牌的方法使得和为某个正整数n，求n的值． 【答案】（1）17张；（2）184种；(3) n是2或是8188． 【解析】

试题分析：（1）和为2008最多抽取的牌数，那么抽取的数越小就越多张牌，总共24张牌，最多可抽取17张，（1+2+4+8+16+32++128+256+512）×2=2046，2046﹣2008=38，32+2+4=38

（2）这道题是一个组合问题．每种颜色的牌中，l、2、4、8、16…2048 都只有1张牌．根据二进制，不大于 183 的每一个自然数a都可以由某一种颜色的牌组合出来（不抽的话，是0），且组合方式唯一．某种颜色的牌抽取出来之后（和为 a），另一种颜色的牌的抽取方式和为（183﹣a）也就唯一确定了．所以，抽取的某种颜色的牌的和的取值方式，与抽取的方法数是一一对应的．0﹣183 共有 184个数值，所以共有184种抽取牌的方法．

（3）很显然有3种抽牌使的和为2是有3种牌方法，抽1，1，红2，黑2，则与这相对应的就是抽出牌以后剩下的和为2的数．据此解答．

解：（1）（1+2+4+8+16+32++128+256+512）×2=2046，共20张牌， 2046﹣2008=38，32+2+4=38，三张牌的和是38，则可抽取的张数是 20﹣3=17（张）

答：小梁最多能抽取17张牌．

（2）每种颜色的牌中，l、2、4、8、16…2048 都只有1张牌．根据二进制，不大于 183 的每一个自然数a都可以由某一种颜色的牌组合出来（不抽的话，是0），且组合方式唯一．某种颜色的牌抽取出来之后（和为 a），另一种颜色的牌的抽取方式和为（183﹣a）也就唯一确定了．所以，抽取的某种颜色的牌的和的取值方式，与抽取的方法数是一一对应的．0﹣183 共有 184个数值，所以共有184种抽取牌的方法． 答：小梁共有184种抽牌的方法．

（3）3种抽牌使的和为2是有3种牌方法，抽红1黑1；红2；黑2，则与这相对应的就是抽出牌以后剩下的和为2的数．

（1+2+4+8+16+32++428+256+512+1024+2048）×2﹣2 =4095×2﹣2 =8190﹣2 =8188

答：n是2或是8188．

点评：第一小题的关键是找出最接近2008的几个最小数的和是多少，再去掉比2008多的牌数来进行解答，第二小题可根据二进制来进行解答，第三小题的关键是先求出抽三次和是正整数的数是2．

【题文】（1）在[]，[]，[]，…，[]出了多少个互不相同的数？

（2）在[【解析】

]，[]，[]，…，[]出现了多少个互不相同的数？

【答案】（1）2259；（2）1001.

试题分析：（1）找出分界点，找分子两数之差是否大于2008的1.5倍，超过1.5倍就会隔一个整数出现

，比如分界点为1506，那么分子在15062之前，每个整数都出现，15062之后，隔一个才出现一次． （2）找出分界点，分母为1000时，分子为1009，这之前出现1000个不同的整数，这之后会取整都是0． 解：（1）找分子两数之差是否大于2008的1.5倍，超过1.5倍就会隔一个整数出现，比如分界点为1506，那么分子在15062之前，每个整数都出现，15062之后，隔一个才出现一次．因此共出现1506+1506÷2=2259个不同的整数．

（2）分母为1000时，分子为1009，这之前出现1000个不同的整数，这之后会取整都是0，因此共有1001个不同的整数．

点评：解答此题的关键在于找出分界点，根据取整的方法，解答即可．