浅述二阶电路的求解方法

【摘要】 ....................................................................................................................... 2 【关键字】 .................................................................................................................... 2 【引言】 ....................................................................................................................... 2 1.二阶电路定义 .................................................................................................................... 2 2.二阶电路应用 .................................................................................................................... 2 3.二阶电路响应状态 ............................................................................................................. 2

3.1.零状态响应 .............................................................................................................. 2 3.2.零输入响应 .............................................................................................................. 3 3.3.全响应 ..................................................................................................................... 3 4.二阶电路的求解 ................................................................................................................. 3

4.1.时域求解 ................................................................................................................. 4

4.1.1.解题思路 ....................................................................................................... 4 4.1.2.解题过程 ....................................................................................................... 4 4.1.3.代入数值 ....................................................................................................... 6 4.1.4.运算结果 ....................................................................................................... 6 4.2.复频率求解 .............................................................................................................. 7

4.2.1.解题思路 ....................................................................................................... 7 4.2.2.解题过程 ....................................................................................................... 7 4.2.3.代入数值 ....................................................................................................... 8 4.2.4.运算结果 ....................................................................................................... 8 4.3解法对比 ................................................................................................................. 8 5.结论 ................................................................................................................................... 9

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【摘要】

本文针对二阶电路的零状态响应，着重对比列举了时域求解和复频域求解。由于硬件，未应用 Pspice等电路仿真软件对二阶电路的零状态响应进行仿真。在严谨分析的基础上，通过两种不同解法演绎了二阶电路的过渡过程，加深了对二阶电路的理解。

【关键字】

二阶电路 零状态响应 微分方程 拉普拉斯变换

【引言】

二阶电路的暂态过程分析是电路课程中的重要内容，但不容易理解和掌握，是电路课程的难点和重点。传统的思路是在一阶电路的基础上，通过求解二阶常系数微分方程，分析二阶电路零状态响应的过渡过程。为了便于理解和学习，可以采用传统的时域方法和复频域方法，加深对其理解。

1.二阶电路定义

二阶电路（second order circuit ），即用二阶微分方程描述的动态电路。二阶电路中含有两个的储能元件。

2.二阶电路应用

对于很多一些随时间不成直线变化的变量，需要用曲线进行模拟运算后，才能得到要求之内误差值的地方就要用到二阶电路，对非直线误差的补偿，充放电的设计，电机的启动停止，显示屏的点亮与关闭，信号的处理等等。

3.二阶电路响应状态

在电路运算中，一般可将二阶电路电路分为三种情况，即

3.1.零状态响应

在零初始状态下，由初始时刻开始施加于线性系统或电路的输入信号所产生的响应。

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3.2.零输入响应

换路后，电路中无的激励电源，仅由储能元件的初始储能维持的响应.也可以表述为,由储能元件的初始储能的作用在电路中产生的响应称为零输入响应(Zero-input response). 零输入响应是系统微分方程齐次解的一部分。

3.3.全响应

线性系统或电路在激励作用下产生的零状态响应与零输入响应之和。它是系统或电路在输入和初始条件共同作用下的响应。

4.二阶电路的求解

二阶电路的解法较多，常见的解法是 1.时域求解 2.复频率求解 3.仿真软件求解 本文以应。

串联电路为例，以时域求解和复频率求解讨论二阶电路的零状态响

如图1所示，为

串联电路，电感L和电容C处于零初始状态，即

C=1Ft）V，。设L=1H，U=100（电流i和电压c

。若电阻R=3k，求出

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4.1.时域求解 4.1.1.解题思路

首先由KVL列出关于uc的微分方程，再根据题设条件求解方程。

4.1.2.解题过程

图1所示选取各电压、电流的参考方向。 开关S闭合后，根据KVL，可得： uR+uL+uC=u 再由电容转移特性可知： iC=CdCdt 故： dCdiLd2uCuR=iCR=RCuL=L=LCdt，dtdt2 写描述电路的微分方程： ducd2ucRC+LC2+uc=0dtdt 即： LCp2+RCp+1=0 为线性常系数二阶齐次微分方程。 4 / 9

求解二阶微分方程 需要两个初始条件来确定积分常数。 根据换路定则： u（u（=0C0）C0-）， i（i（=0L0）L0-） 因为 iL=iC 所以 duCdtt0i（C0）=0C 设方程的解为 uC=uC’+uC” 其中 uC’=U=100V 为方程的一个特解，而特征方程为 uC”为对应齐次方程的通解。 LCp2+RCp+1=0 特征根为： RR21（）-2L2LLC p=-特征根只与电路结构和参数有关。 5 / 9

代入可得R>2LC时，过渡过程是非周期情况，也称为过阻尼情况。此时特uC”的一般形式为： 征方程有两个不相等的负实根。通解u（=A1ep1t+A2ep2t Ct）电流： i（t）=CduC=CA1p1ep1t+CA2p2ep2tdt 其中积分常数A1、A2由初始条件确定，对原电路取时刻值可得： u（=100=A1+A2=0，i（0+）=CA1p1+CA2p2=0 C0+）联立求解上两式得结果 4.1.3.代入数值

当R=3k 时， 可得 3103310321p=-（）-(1.51.1.8)103-62121110 uC（0+）=100=A1+A2=0duC=C（A1p1+A2p2）=0dtt0和 4.1.4.运算结果

由上可得

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p1=-381.97，p2=-2618.03，A1=-117，A2=-17

故 t0时

u（=100-117e-381.97t+17e-2618.03t）V Ct）（i（t）（=44.69e-381.97t-44.51e-2618.03t）mA

4.2.复频率求解 4.2.1.解题思路

应用拉普拉斯变化，由题可得 t<0时，由于电路处于零状态，故 i（=0L0-）u（=0C0-） ， 1则s域中电容、电感分别为sC和sL， 根据VCR可求解此题 4.2.2.解题过程

在s域中， 1100电源为s ，电容为 sC，电感为sL，可得 i（s）=s（1001+sL+3000）sC 7 / 9

4.2.3.代入数值

由题可得 i（s）=100100k1k2==+s2+3000s+106（s+381.97）（s+2618.03）s+381.97s+2618.03 解得 k1=（s+381.97）i（s）s=-381.97=44.69 k2=（s+2618.03）i（s）s=-2618.03=44.51 又由电容转移特性可知： iCduCdt 等效为 uC=i(t)dtC 4.2.4.运算结果

由上，可得原函数为

i（t）（=44.69e-381.97t-44.51e-2618.03t）mA

-381.97t-2618.03tu（t）（=100-117e+17e）C

4.3解法对比

使用两种方法，计算结果完全一样。时域求解基础直观，复频率求解简易快捷。

实际中可根据不同情况使用不通过方法，利于我们对二阶电路的求解。

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5.结论

建立RLC二阶电路的数学模式并对其进行处理运算有助于简化二阶电路的运算。如果条件允许的情况下还可以使用pspice，matlab，cad制作电路图求解，建立simulink模型，有益于加深对二阶电路的理解。

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