方程思想在数列中的应用

数学知识是相互衔接，相互联系的。借助它们之间的这种联系去求解问题，可以起到“它山之石，可以攻玉”的效果。在数列综合问题中如果考虑到方程思想，将数列中某些问题可以转化成方程问题，利用方程思想巧妙地解决问题，可以事半功倍。因此，让学生充分理解和掌握这种思想和方法，对提高解决数列综合问题的能力很为重要。 一 妙用一元二次方程

na例1设数列an各项均为正数，首项a11，若ann1an1nnN.求数列anan12的通项公式.

解 原递推式可变形为 n1an12anan1nan20.

这是一个关于an1的一元二次方程.由于an各项均为正数，所以利用求根公式，可得

an1nann1.

1n 上式即n1an1nan，所以nan是一个常数列.又a11，所以an. 评注 此题将递推式化成一个关于an1的一元二次方程，直接用求根公式求解，省去了对原式的整合，简化了解答过程.

例2 (2011年高考广东卷)设实数数列an的前n项和Sn满足 Sn1an1SnnN. （Ⅰ）若a1，S2，2a2成等比数列，求S2和a3； （Ⅱ）求证：对k3有0ak1ak.

S222a1a2, 解 （Ⅰ）有题设可知，所以S222S2，因为S2是等比中项，所

S2a2S1a1a2,43以S20。则 S22.

由S3S2a3a3S2，得a3.

（Ⅱ）由题设知Sn1Snan1an1Sn，则方程 x2Sn1xSn10有两根Sn和an1.所以Sn124Sn10

在Sn2Sn1an2an2Sn1中，显然an21，所以Sn1an2an240anN. 40因此，解得n23an21an21223an2. an21则0akk3. 因为akSk10k0， sk1143Sk1SkSk1aaaa1a1所以 k1kS1kkaS1kS2

kkk1k1S11k1 akak0 2Sk21Sk111Sk112 故ak1akk3.

评注 在已知两项之积与和的情况下，构造一元二次方程，利用判别式求解问题，把未知问题化成已知问题.需要说明的是判别式是求解不等式相关问题中是常用的方法.

二 巧建一元一次方程组

例3 （2004年高考全国卷）已知数列an的前n项和Sn满足

nSn2an1,nN.

（Ⅰ）写出数列的前三项a1,a2,a3； （Ⅱ）求数列an的通项公式. （Ⅲ）略

解 （Ⅰ）由a1S12a11,得a11. 由a1a2S22a212,得a20. 由a1a2a3S32a313,得a32.

（Ⅱ）由anSnSn1，得an2an121n， ① 则an12an221n1， ② 由①+②得anan12an1an2,

所以anan1是一个等比数列且首相a2a11，因此anan12n2③. 联立①③得

nan2an121n2 anan12解得an2n2n21. 3评注 该题通常的解法是在①两边同除以或乘以1n，将递推式

anpan1stn1转化成

anan1sp的形式，再求通项.相比较而言，算法繁琐.nnttt这里通过递推、整合，得到一个一元一次方程组，可以直接求解.