粘滞系数

实验题目：落球法测定液体的粘度

实验目的：是通过用落球法和转筒法测量油的粘度，学习并掌握测量的原理和方法。

实验器材：量筒、密度计、温度计、金属球、螺旋测微器、游标卡尺、直尺 实验原理：

当一种液体相对于其他固体、气体运动，或同种液体内各部分之间有相对运动时，接触面之间存在摩擦力。这种性质称为液体的粘滞性。粘滞力的方向平行于接触面，且使速度较快的物体减速，其大小与接触面面积以及接触面处的速度梯度成正比，比例系数η称为粘度。η表征液体粘滞性的强弱，测定η可以用落球法，通过测量小球在液体中下落的运动状态来求。 1． 斯托克斯公式的简单介绍

一个在静止液体中缓慢下落的小球受到三个力的作用：重力、浮力和粘滞阻力。粘滞阻力是液体密度、温度和运动状态的函数。如果小球在液体中下落时的速度很小，球的半径也很小，且液体可以看成在各方向上都是无限广阔的，则从流体力学的基本方程出发可导出著名的斯托克斯公式：

F6vr

（1）

式中F是小球所受到的粘滞阻力，v是小球的下落速度，r是小球的半径，η是液体的粘度，SI制中，η的单位是Pas。斯托克斯公式是由粘滞液体的普遍运动方程导出的。 2． 雷诺数的影响

液体各层间相对运动速度较小时，呈现稳定的运动状态，如果给不同层内

1

的液体添加不同色素，就可以看到一层层颜色不同的液体各不相扰地流动，这种运动状态叫层流。如果各层间相对运动较快，就会破坏这种层流，逐渐过渡到湍流，甚至出现漩涡。我们定义一个无量纲的参数——雷诺数Re来表征液体运动状态的稳定性。设液体在圆形截面的管中的流速为v，液体的密度为ρ0，粘度为η，圆管的直径为2r，则

Re2v0r （2）

当Re<2000时，液体处于层流状态，当Re>3000时，呈现湍流状态，Re介于上述两值之间，则为层流、湍流过渡阶段。

奥西思-果尔斯公式反映出了液体运动状态对斯托克斯公式的影响：

3R式中e16F6rv(13192ReRe...) 161080 （3）

Re=0.1，

19Re2项和项可以看作斯托克斯公式的第一和第二修正项。如

1080则零级解（即式（1））与一级解（即式（3）中取一级修正）相差约2%，二级修正项约2104，可略去不计，如Re=0.5，则零级解与一级解相差约10%，二级修正项约0.5%仍可略去不计；但当Re=1时，则二级修正项约2%，随着Re的增大，高次修正项的影响变大。 3． 容器壁的影响

在一般情况下，小球在容器半径为R、液体的高度为h的液体内下落，液体在各方向上都是无限广阔的这一假设条件是不能成立的。因此，考虑到容器壁的影响，式（3）变为

rr3192F6rv(12.4)(13.3)(1ReRe...)

Rh161080 （4）

式（4）含R和h的因子即反映了这一修正。 4． η的表示

2

前面讨论了粘滞阻力F与小球的速度、几何尺寸、液体的密度、雷诺数、粘度等参量之间的关系，但在一般情况下粘滞阻力F是很难测定的。因此，还是很难得到粘度η。为此，考虑一种特殊情况：

小球的液体中下落时，重力方向向下，而浮力和粘滞阻力向上，阻力随着小球速度的增加而增加。显然，小球从静止开始作加速运动，当小球的下落速度达到一定值时，这三个力的合力等于零，这时，小球将以匀速下落，得

43r3(6rv(12.4rR)(13.3rh)(1316R1920)ge1080Re...) 式中ρ是小球的密度，g为重力加速度，由式（5）得

2(20)gr9rr319

v(12.4R)(13.3h)(116R2e1080Re...)

1(0)gd218

v(12.4dd31922R)(13.32h)(116Re1080Re...)式中d是小球的直径。

由对Re的讨论，我们得到以下三种情况： （1） 当Re<0.1时，可以取零级解，则式（6）就成为

1(0)gd2018 v(12.4dd

2R)(13.32h)即为小球直径和速度都很小时，粘度η的零级近似值。 （2）0.131(0)gd21(116Re)18 v(12.4d2R)(13.3d

2h)它可以表示成为零级近似解的函数：

3

（4） （5）

（6）

（7）

由式

103dv0 16 （8）

（3）当Re>0.5时，还必须考虑二级修正，则式（6）变成

319212(1ReRe)16108018(0)gd2

ddv(12.4)(13.3)2R2hdv或 211[1119(0)2] （9）

22701在实验完成后，作数据处理时，必须对Re进行验算，确定它的范围并进行修正，得到符合实验要求的粘度值。

实验内容及数据处理：

本实验的内容是测量筒内的蓖麻油的粘度。实验装置如图5.2.2-1。油内有温度计和密度计，注意密度计的从上往下读数原理。

1.寻找小球匀速下降区的方法，测出其长度l。将量筒中的油从上表面到下表面平均分为十个区间，将一个小球在量筒尽量接近液面处轻轻投下，使其进入液面时初速度为零，测出小球通过每个区间的时间，若有几个区间时间相同，

4

则那几个区间就是匀速区间。

2.旋测微器测定m个同类小球的直径（比如m=6），取平均值并计算小球直径的误差。 d/mm 1 2.372 1.995 2 2.377 1.997 3 2.373 1.994 1.581 4 2.376 1.992 1.583 5 2.375 1.996 1.585

6 2.372 1.997 1.584 平均值  大球 中球 小球 2.3742 0.0021 1.9952 0.0019 1.5827 0.0016 1.581 1.582 tpP=0.68 大球：ud

中球：ud小球：ud61.110.002110.0009mm 610.0008mm 610.0007mm 6tp61.110.0019tp61.110.0016

3.个小球在量筒尽量接近液面处轻轻投下，使其进入液面时初速度为零，测出小球通过匀速下降区l的时间t，重复6次，取平均值，然后求出小球匀速下降的速度。 T/s 大球 中球 小球 1 6.22 8. 14.23 2 6.24 8.82 14.24 3 6.20 8. 14.27 4 6.33 8.96 14.25 5 6.28 8.94 14.27 66 6.32 8.91 14.20 平均值 6.265 8.902  ut 0.053 0.024 0.049 0.022 14.243 0.027 0.012 注：uttp P=0.68 tp=1.11

4.应的仪器测出R、h和ρ0（至少应各测量三次）及液体的温度T，温度T应取实验开始时的温度和实验结束时的温度的平均值。应用式（7）计算η0。

5

2R/mm h/cm L/cm 1 .20 30.92 20.02 2 .24 30.90 19.98 3 .22 30.93 19.99 注：u

平均值 .220 30.917 19.997 tp u 0.020 0.015 0.021 0.015 0.011 0.016 3 P=0.68 tp=1.32

大球/g 0.0553

球/g 0.0329 球/g 0.0163 0kg/m3 T前/0C 24.67 T后/0C 24.37 955.2 5. 计算雷诺数Re，并根据雷诺数的大小，进行一级或二级修正。

6m60.055310333大球：3 7.110kg/m33d(2.374210)

l19.997210v0.03m2 s/t6.265(0)gd211(71955.2)9.794(2.3742103)200.617Pas3dd2.37422.37421018v(12.4)(13.3)180.032(12.4)(13.3)-22R2h.220230.91710 Re2v0r0v0d00.032955.22.37421030.118。

0.617

0.1<0.118< 0.5,需进行一级修正, 一级修正： 3310dv00.6172.37421030.032955.20.603Pas1616

对（7）式进行取对数：

(0)gd21ln0ln[]

dd18v(12.4)(13.3)2R2hln0ln(6mdd2)lntglndln18lln(12.4*)ln(13.3*) 03d2R2h6

ddtdl218m4.81.65d(d)4.8dd(R)1.65dd(h)tld6m0d44R4.8dh1.65dd4R24.8Rdh21.65dh

系数取绝对值，并改成不确定度符号，最后写成微分形式得不确定度合成公式：

uutul218m4.81.654.8d21.65d2 2ud2uR2uh4tld6md4R4.8dh1.65d4R4.8Rdh1.65dh0222222

代入数据解得：u=0.042Pas

222u1uutulud解得：u1=0.053 1tld22所以你滞系数为=（0.6030.003）Pas

6m60.0329103中球：球密度：37.913103kg/m3 33d(1.99510)l19.9971020.022m/s 速度：vt8.902

(0)gd211(7913955.2)9.794(1.995103)200.3Pas1.9951.99510318v(12.4d)(13.3d)180.022(12.4)(13.3)-22R2h.220230.91710 Re22v0r022v0d00.022955.21.9951030.065<0.1

0.32无需修正

22uutul218m4.81.654.8d21.65d22ud2uR2uh4tld6md4R4.8dh1.65d4R4.8Rdh1.65dh0 解得：u=0.012所以=（0.30.012）Pas

6m60.0163103小球：球密度：37.874103kg/m3 33d(1.58310)l19.9971020.014m/s 速度：vt14.243

(0)gd211(7874955.2)9.794(1.583103)200.0Pas

1.5831.58310318v(12.4d)(13.3d)180.014(12.4)(13.3)-22R2h.220230.917107

Re2v0r022v0d00.014955.21.5831030.033<0.1

0.022无需修正

22uutul218m4.81.654.8d21.65d22uduR2uh42tld6md4R4.8dh1.65d4R4.8Rdh1.65dh0 解得：u=0.033 所以=（0.00.033） 思考题

1． 假设在水下发射直径为1m的球形水雷，速度为10m/s，水温为10℃，

1.3104Pas，试求水雷附近海水的雷诺数。

答： Re2rd103124166097.33 1.31042． 设容器内N1和N2之间为匀速下降区，那么对于同样材质但直径较大的球，

该区间也是匀速下降区吗？反过来呢？ 答：

43r(0)g6r234(0)gr2v18令4(0)gk18vkr2

43r(0)g6rma3dsdt

143a(r(0)g6rv)m3vdvavdtvdvavdt1所以dsvdvavdsvdtdvadt速度从0到vkr经过的路成为：s=02kr21vdvdv

43ar(0)g6rv343rgv3S=

kr20k1kk1k2k2kk34k1r2vdv2lnr2k3k k2rkvk23r越大速度从0到匀速（vkr2）经过的路程S就越大，所以大球在小球匀速区

间不一定匀速，但反过来小球在大球的匀速区间一定匀速。

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