考点11 导数与函数的单调性-2018版典型高考数学试题解读与变式(原卷版)

典型高考数学试题解读与变式2018版

考点十一： 导数与函数的单调性

【考纲要求】

（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】

利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值. 预计2017年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】

（一）原函数与其导函数的图像问题

例1.【2017浙江高考】函数yfx的导函数yfx的图像如图所示，则函数yfx的图像可能是（ ）.

yOx

【变式1【】改编例题中条件，通过原函数的性质判断导函数的图像】【2018河北内丘中学8月月考（理）】

设函数fx的导函数为fx，若fx为偶函数，且在0,1上存在极大值，则fx的图象可能为（ ）

A. B. C. D.

【变式2】【改编例题中条件，给定解析式，判断其导函数的图像】【2017陕西渭南市二质检】函数

x2fxsinx2014，则f'x的大致图象是 （ ）

2A. B. C. D.

（二）用导数求不含参数的单调区间

例2.【2017全国2卷（文）】设函数fx1x（1）讨论fx的单调性.学-科网

【变式1】【改编函数条件，函数中含分式】【2016全国2卷（理）】（1）讨论函数f(x)调性，并证明当x0时，(x2)exx20; （三）用导数求含参函数的单调区间

例3.【2017全国1卷（理）】已知函数fxae（1）讨论fx的单调性；

【变式1】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为二次函数型】【2017全国3卷（文）改编】已知函数fxlnxax2a1x．

22x2e.

xx2xe的单x2a2exx.

（1）讨论fx的单调性；

【变式2】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为类二次函数型】【2016全国1卷（文）改编】

已知函数f(x)(x2)exa(x1)2.

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

【变式3】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为指对数型函数】【2015天津卷（理）改编】已知函数f(x)nxxn,xR，其中nN*,n2.

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

【变式4】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数需要二次求导型】【2016北京卷（理）】设函数

f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y(e1)x4.

（Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）求f(x)的单调区间. 【数学思想】

分类讨论思想

1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．学*科网

2.分类讨论思想的常见类型

⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；

⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；

⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.

【处理导数与单调性问题注意点】

解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函数的单调区间不能出现“并”的错误写法. 【典例试题演练】

1．【2018河南郑州一中测试题】如果函数yfx在区间I上是增函数，而函数yfxx在区间I上是减函数，那么称函数yfx是区间I上“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”.若函数

fx123xx是区间I上“缓增函数”，则“缓增区间”I为 ( ) 22A. 1, B. 0,3 C. 0,1 D. 1,3 2．【2018河南南阳一中上学期第二次考试（文）】已知函数fxx5x2lnx，则函数fx的

2单调递增区间是__________．

3．【2018辽宁沈阳市东北育才学校上学期一模（文）改编】 已知函数fxx22ax2aex， a0（e为自然对数的底数）.

(Ⅰ)讨论fx的单调性；

4．【2017陕西省西安安区第一中学4月模考（理）】已知函数fxlnx，

gxfxax2bx，其中函数ygx的图象在点1,g1处的切线平行于x轴．

（1）确定a与b的关系；若a0，并试讨论函数gx的单调性；

（2）设斜率为k的直线与函数yfx的图象交于两点Ax1,y1,Bx2,y2 (x1x2)，求证：

11k．学*科网 x2x15．【2017陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟考试（理）】已知函数

44x2fxklnx，其中常数k0.

kx

（Ⅰ）讨论fx在0,2上的单调性； 6．函数（Ⅰ）讨论

的单调性；

2.

7．【2018河北省石家庄二中八月高三模拟数学（文科）】已知函数fxax12axlnxaR. （Ⅰ）若a0，讨论fx的单调性；

8．【2017湖北省浠水县实验高级中学测试题（文）】已知函数fxm数m0.

（1）当m2时，求fx的极大值； （2）试讨论fx在区间0,1上的单调性.

9．【2017湖北省浠水县实验高级中学测试题（文）】已知函数fx（Ⅰ）讨论fx的单调性；

210．【2017河北省唐山市三模（理）改编】已知函数fxlnx1ax， a0.

11lnxx，其中常mx12x1axalnx. 2（1）讨论函数fx的单调性；

11．【2018河北省武邑中学第一次月考（理）改编】已知函数fxeax（aR，

xe为自然对

数的底数）.

（1）讨论函数fx的单调性；

12．【2018湖南省岳阳市一中第一次月考（理）改编】已知函数fxalnxa1x（1）讨论fx的单调性；

12xa0. 2