高考数学复习资料

热点分析高考动向

编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅

分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是中学数学中经常使用的数学思想方法之一.突出考查学生思维的严谨性和周密性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力，能体现“着重考查数学能力”的要求.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.

数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性.

知识升华

1.分类讨论的常见情形

（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必

须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.

（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下

结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项

和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等. （3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c＞0，a=0，

a＜0，a＞0解法是不同的.

（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的

位置关系等.

（5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见.

（6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数

的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果.

2.分类的原则

（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的； 分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考虑问题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常常是分类讨论划分的依据. （2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.

当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.

3.分类讨论的一般步骤

第一，明确讨论对象，确定对象的范围；

第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； 第三，逐类讨论，获得阶段性结果； 第四，归纳总结，得出结论.

4.分类讨论应注意的问题

第一，按主元分类的结果应求并集. 第二，按参数分类的结果要分类给出.

第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可能，应尽量避

免分类.

经典例题透析

类型一：不等式中的字母讨论

1、解关于的不等式：

.

思路点拨：依据式子的特点，此题应先按对最高次项的系数是否为0来分类，然后对式子分解因式，并按两个根之间的大小关系来分类讨论.而对于好作的 解析： （1）当

时，原不等式化为一次不等式：

，∴

；

.

与

时，先写简单

（2）当时，原不等式变为：，

①若，则原不等式化为

∵，∴，∴不等式解为或，

②若，则原不等式化为，

（ⅰ）当时，，不等式解为，

（ⅱ）当时，，不等式解为；

（ⅲ）当时，，不等式解为，

综上所述，原不等式的解集为：

当 当

时，解集为

时，解集为{x|x＞1}；

；

当 当

时，解集为时，解集为

；

；

当时，解集为.

总结升华：

1. 对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤:

（1）明确讨论的对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确分类，不重不漏； （2）逐步进行讨论，获得结段性结论； （3）归纳总结，综合结论.

2．一般分类讨论问题的原则为: 按谁碍事就分谁.不等式中的字母讨论标准有：最高次项的系数能否为0，不等式对应的根的大小关系，有没有根（判别式）等. 3．字母讨论一般按从易到难，从等到不等的顺序进行.

举一反三：

【变式1】解关于的不等式: 解析：原不等式可分解因式为: （下面按两个根与 （1）当为：

；

，即，即

或

时，不等式的解集为：

时，不等式的解集为：

；

；

，即

的大小关系分类） 或

时，不等式为

或

，不等式的解集

（，

）.

（2）当 （3）当

综上所述，原不等式的解集为： 当 当

或时，

时，

； ；

当

或时，.

【变式2】解关于的不等式: 解析： （1）当 （2）当

时，不等式为时，需要对方程

, 解集为

；

.

的根的情况进行讨论：

① 即

时，方程

有两根

.

则原不等式的解为.

② 即

时，方程

没有实根，

此时为开口向上的抛物线，故原不等式的解为.

③ 即

时，方程

有两相等实根为

.

恒成立，

有两根

，

则原不等式的解为 （3）当 即

时，时，方程

此时，为开口向下的抛物线，

.

故原不等式的解集为 综上所述，原不等式的解集为：

.

当 当 当

时，解集为时，解集为时，解集为

；

；

；

当

时，解集为

.

类型二：函数中的分类讨论

2、设为实数，记函数

，求的取值范围，并把

；

的最大值为表示为的函数

，；

（Ⅰ）设 （Ⅱ）求

（Ⅲ）试求满足 解析： （I）∵

的所有实数.

，

且，且 ，

，即……①

∴要使有意义，必须 ∵

∴的取值范围是

由①得：，

∴，，

（II）由题意知即为函数，的最大值，

∵时，直线是抛物线的对称轴，

∴可分以下几种情况进行讨论： （1）当段，

时，函数

，

的图象是开口向上的抛物线的一

由 （2）当 （3）当段，

时，

知在，

，

上单调递增，故，有

=2；

；

时，，函数的图象是开口向下的抛物线的一

若即时，，

若即时，，

若即时，，

综上所述，有=

（III）当时，；

当时，，，∴，

∴，

故当时，；

当时，，由知：，故；

当时，，故或，从而有或，

要使，必须有，，即，

此时，，

综上所述，满足

举一反三：

的所有实数为：或.

【变式1】函数有f(x)＜3，求函数f(x).

的图象经过点(-1，3)，且f(x)在(-1，+∞)上恒

解析：f(x)图象经过点(-1，3)，则，

整理得： (1)当足题意；

时，则

，解得或

，此时x∈(-1，+∞)时，f(x)＞3，不满

(2)当，则，此时，x∈(-1，+∞)时，

即f(x)＜3，满足题意为所求.

综上，

【变式2】已知函数

.

有最大值2，求实数的取值.

解析：

令，则().

(1)当即时，，

解得:或（舍）；

(2)当即时，,

解得:或（舍）；

(3)当（全都舍去）.

即时，，解得

综上，当

或时，能使函数的最大值为2.

3、已知函数

的单调性； 在区间

（）.

（1）讨论 （2）求 解析： （1）函数

上的最小值.

的定义域为（0，+∞）

对求导数，得

解不等式，得0＜x＜e

解不等式 故

，得x＞e

在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减

（2）①当2a≤e时，即 所以

时，由（1）知

在（0，e）上单调递增，

②当a≥e时，由（1）知在（e，+∞）上单调递减，

所以

③当时，需比较与的大小

因为

所以，若，则，此时

若2＜a＜e，则，此时

综上，当0＜a≤2时，；当a＞2时

总结升华：对于函数问题，定义域要首先考虑，而（２）中③比较大小时，作差应该是非常有效的方法.

举一反三：

【变式1】设

，

（1）利用函数单调性的意义，判断f(x)在（0，+∞）上的单调性； （2）记f(x)在0＜x≤1上的最小值为g(a)，求y=g(a)的解析式. 解析：

（1）设0＜x1＜x2＜+∞

则f(x2)-f(x1)=

由题设x2-x1＞0，ax1·x2＞0

∴当0＜x1＜x2≤时，，∴f(x2)-f(x1)＜0，

即f(x2)＜f(x1)，则f(x)在区间[0，]单调递减，

当＜x1＜x2＜+∞时，，∴f(x2)-f(x1)＞0，

即f(x2)＞f(x1)，则f(x)在区间（ （2）因为0＜x≤1，由（1）的结论，

，+∞）单调递增.

当0＜≤1即a≥1时，g(a)=f()=2-;

当＞1，即0＜a＜1时，g(a)=f(1)=a

综上，所求的函数y=g(a)＝

.

【变式2】求函数在上的值域.

解析： 令

，则

(1)当0＜a≤1时，

∵0≤x≤a，∴f′(x)≥0(只有a=1且x=1时f′(x)=0)

∴f(x)在[0,a]上单增，从而 (2)当a＞1时， ∵0≤x≤a，∴f(x)在

单增，在

，值域为；

上单减，

并且

(3)当-1≤a＜0时，

，∴，值域为；

∵0≤x≤|a|，∴f(x)在[0,|a|]上递减

从而

(4)当a＜-1时， ∵0≤x≤|a|，∴f(x)在

即，值域为

单减，在上单增，

∴，又，

∴

，值域为.

类型三：数列

4、数列{an}的前n项和为Sn，已知{Sn}是各项均为正数的等比数列，试比较

与的大小，并证明你的结论.

解析：设等比数列{Sn}的公比为q，则q＞0 ①q=1时，Sn=S1=a1

当n=1时，，a2=0，∴，即

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=a1-a1=0， ②q≠1时，Sn=S1·qn-1=a1·qn-1 当n=1时，

，即

∴，即.

当n≥2时，

an=Sn-Sn-1=a1·qn-1-a1·qn-2=a1·qn-2(q-1)

此时

∴q＞1时，，

0＜q＜1时，

.

总结升华：等比数列前n项和公式分q=1或q≠1两种情况进行讨论.

举一反三：

【变式1】求数列：1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,……（其中a≠0）的前n项和Sn. 解析：数列的通项 an=an-1+an+…+a2n-2 讨论：

（1）当a=1时，an=n，Sn=1+2+…+n=

（2）当a=-1时，，∴，

（3）当a≠±1且a≠0时，，

∴

.

【变式2】设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，

证明: 解析：

（1）当q=1时，Sn=na1，从而

.

，

（2）当q≠1时，， 从而

由（1）（2）得: ∵ 函数 ∴

.

为单调递减函数.

∴ .

【变式3】已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列. (Ⅰ)求q的值；

(Ⅱ)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说 明理由. 解析：

(Ⅰ)由题设2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q, ∵a1≠0，∴2q2-q-1=0，

∴或，

(Ⅱ)若q=1，则

当n≥2时，

若

当n≥2时，

故对于n∈N+，当2≤n≤9时，Sn＞bn；当n=10时，Sn=bn；当n≥11时，Sn＜bn.

【变式4】对于数列

，规定数列

为数列为

的一阶差分数列，其中的k阶差分数列，其中

；一般地，规定且k∈N*，k≥2。

（1）已知数列 （2）若数列

的通项公式

的首项a1=―13，且满足

。试证明是等差数列；

，求数

列

及

的通项公式；

是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，

（3）在（2）的条件下，判断说明理由。

解析： （1）依题意：

，

∴ ∴ ∴数列

，

是首项为1，公差为5的等差数列。

（2），

（3）令，

则当时，函数单调递减；

当时，函数单调递增；

又因，

而，

所以当n=2时，数列an存在最小值，其最小值为－18。

类型四：解析几何

5、已知椭圆C的方程为，点P（a,b）的坐标满足，过点

P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求： （1）点Q的轨迹方程.

（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.

思路点拨：本题求点的轨迹方程，点与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交等知识. 解析：

（1）设点A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），点Q的坐标为Q（x,y）. 当x1≠x2时，可设直线l：y=k(x-a)+b

由已知，……①

y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b…②

由①得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0…③

由②得y1+y2=k(x1+x2)-2ak+2b…④

由③、④及，，得

点Q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0……⑤ 当x1=x2时，l平行于y轴，

因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a,0）， 显然Q点的坐标满足方程⑤.

综上所述，点Q的坐标满足方程：2x2+y2-2ax-by=0.

设方程⑤所表示的曲线为L，

则由，得（2a2+b2）x2-4ax+2-b2=0

由于Δ=8b2(a2+-1)，由已知a2+≤1

所以当a2+=1时，Δ=0，

曲线L与椭圆C有且只有一个公共点P（a,b）.

当a2+＜1时Δ＜0，曲线L与椭圆无交点，

而因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上， 所以曲线L在椭圆C内.

故点Q的轨迹方程为2x2+y2-2ax-by=0.

（2）由，解得或，

又由，解得或，

则①当a=0,b=0,即点P(a,b)为原点. 曲线L与坐标轴只有一个交点(0,0) ②当a=0且0＜|b|≤

时,

即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时,

点(a,0)与(0,0)重合，曲线L与坐标轴有两个交点(0,b)与(0,0) ③当b=0且0＜|a|≤1时，

即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时, 曲线L与坐标轴有两个交点(a,0)与(0,0).

时,

④当0＜|a|＜1且0＜|b|＜

即点P(a,b)在椭圆C内且不在坐标轴上时, 曲线L与坐标轴有三个交点(a,0),(0,b)与(0,0).

总结升华：本题充分运用了分类讨论的思想方法,以及综合运用知识解题的能力,此题运算量大,涉及知识点较多,需要较高的运算能力和逻辑推理能力,做为考题区分度好,特别是分类讨论时易出错.

举一反三：

【变式1】讨论k的取值，说明方程

表示的曲线.

解析：方程中x、y的平方项系数是否为0，是否相等决定着方程表示的曲线， 故需要对k值就以上情况分类讨论. 当k2=0即k=0时，方程化为向左的抛物线.

，表示顶点在原点，x轴为对称轴，开口

当2k-1=0即时，方程化为x(x-8)=0

∴x=0或x=8，表示y轴和过点(8，0) 斜率不存在的两平行直线. 当k2=2k-1,即k=1时，方程化为为1的圆

，表示以(1，0)为圆心，半径

当k≠0，，k≠1时

方程可化为

当

方程表示焦点在平行y轴直线上，中心在的椭圆

当时，方程表示以为中心，焦点在x轴上的双曲线.

【变式2】已知圆x2+y2=1和双曲线(x-1)2-y2=1，直线l与双曲线交于不同两点A、B，且线段AB的中点恰是l与圆相切的切点，求直线l的方程. 解析：当l斜率不存在时，由对称性可知：l方程为x=-1 当l斜率存在时设l方程为y=kx+b

由l与圆相切

l方程代入双曲线整理得(1-k2)x2-2(kb+1)x-b2=0 (1-k2≠0)，△＞0 设A(x1，y1)，B(x2,y2)，AB中点为M

，

由AB⊥OM，，整理得k2+1+2kb=0

将k2+1=b2代入

∴b2+2bk=0,b(b+2k)=0

∵b≠0，否则l过原点与圆不相切

∴b=-2k，解方程组

得

经检验△＞0

∴l的方程为x=-1或.

高考冲刺：数形结合

热点分析高考动向

编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅

数形结合应用广泛，不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。高考中利用数形结合的思想在解决选、填题中十分方便，而在解答题中书写应以代数推理论证为主，几何方法可作为思考的方法。数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查，且占比例较大。

知识升华

数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。

具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。

选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻找快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理，“形”上的直观是不够严密的。 1．高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面： （1）集合问题中Venn图（韦恩图）的运用； （2）数轴及直角坐标系的广泛应用； （3）函数图象的应用；

（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用； （5）解析几何、立体几何中的数形结合。

2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：

（1）等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应；

（2）双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分

析容易出错；

（3）简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可

行和是否有利；

二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变

量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。

3．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：

（1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何； （2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解； （3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。

4．常见的“以形助数”的方法有：

(1)借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆；

(2)借助于函数图象、区域(如线性规划)、向量本身的几何背景；

(3)借助于方程的曲线，由方程代数式，联想其几何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜

率，距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予以 重视。

5．常见的把数作为手段的数形结合：

主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有这方面的考查.

经典例题透析

类型一：利用数形结合思想解决函数问题

1．已知的表达式。

思路点拨：依据函数定

在

，

，若

的最小值记为

，写出

的对称轴与区间的位置关系，结合函数图象确

上的增减情况，进而可以明确在何处取最小值。

解析：由于，

所以抛物线的对称轴为，开口向上，

①当，即时，最小，即

在[t，t+1]上单调递增（如图①所示），

。

∴当x=t时，

②当，即时，

在上递减，在上递增（如图②）。

∴当时，最小，即。

③当，即时，最小，即

在[t，t+1]上单调递减（如图③）。

，

∴当x=t+1时，

图① 图② 图③ 综合①②③得

。

总结升华：通过二次函数的图象确定解题思路，直观、清晰，体现了数形结合的优越性。应特别注意，对于二次函数在闭区间上的最值问题，应抓住对称轴与所给区间的相对位置关系进行讨论解决。首先确定其对称轴与区间的位置关系，结合函数图象确定在闭区间上的增减情况，然后再确定在何处取最值。

举一反三： 【变式1】已知函数 解析：∵

，

在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。

∴抛物线的开口向下，对称轴是，如图所示：

（1） （2） （3） （1）当a＜0时，如图（1）所示， 当x=0时，y有最大值，即 ∴1―a=2。即a=―1，适合a＜0。 （2）当0≤a≤1时，如图（2）所示， 当x=a时，y有最大值，即

。 。

∴a2―a+1=2，解得。

∵0≤a≤1，∴不合题意。

（3）当a＞1时，如图（3）所示。 当x=1时，y有最大值，即

综合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2

【变式2】已知函数 （Ⅰ）写出 （Ⅱ）设

的单调区间； ，求

在[0，a]上的最大值。

。

。∴a=2。

解析： 如图：

（1）的单调增区间：，；单调减区间：（1，2）

（2）当a≤1时， 当 当

【变式3】已知

(

)

，时，

。

(1)若，在上的最大值为，最小值为，求证：；

(2)当，时，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得x∈[0, ]

时，都有

|f(x)|≤5，问a为何值时，M(a)最大？并求出这个最大值。 解析：

(1)若a=0，则c=0，∴f(x)=2bx

当-2≤x≤2时，f(x)的最大值与最小值一定互为相反数，与题意不符合，∴a≠0；

若a≠0，假设，

∴区间[-2,2]在对称轴的左外侧或右外侧，

∴f(x)在[-2，2]上是单调函数，

（这是不可能的）

(2)当，时，，

∵，所以，

（图1） （图2）

(1)当 所以

即是方程

，时（如图1），则的较小根，即

(2)当 所以

即是方程

，时（如图2），则的较大根，即

时,等号成立），

（当且仅当

由于，

因此当且仅当

时，取最大值

类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题

2．若关于x的方程

有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。

思路点拨：将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可简化运算。 解析：画出

和

的图象，

当直线过点，即时，两图象有两个交点。

又由当曲线

与曲线

相切时，二者只有一个交点，

设切点 又直线

，则过切点

，即，得

，

，解得切点，

∴当时，两函数图象有两个交点，即方程有两个不等实根。

误区警示：作图时，图形的相对位置关系不准确，易造成结果错误。 总结升华：

1．解决这类问题时要准确画出函数图象，注意函数的定义域。

2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把

方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两

个函数的图象，由图求解。

3．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： ①要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； ②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； ③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； ④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化,便于问题求解。

举一反三：

【变式1】若关于x的方程在（－1，1）内有1个实根，则k的取值范围

是 。

解析：把方程左、右两侧看作两个函数，利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。

设（x∈－1，1）

如图：当内有1个实根。

或时，关于x的方程在（－1，1）

【变式2】若0＜θ＜2π，且方程的取值范围及这两个实根的和。

有两个不同的实数根，求实数m

解析：将原方程

有两个不同的

转化为三角函数的图象与直线

交点时，求a的范围及α+β的值。

设，，在同一坐标中作出这两个函数的图象

由图可知，当

或

时，y1与y2的图象有两个不同交点，

即对应方程有两个不同的实数根，

若，设原方程的一个根为，则另一个根为.

∴.

若，设原方程的一个根为，则另一个根为

，

∴.

所以这两个实根的和为或.

且由对称性可知，这两个实根的和为

或。

类型三：依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义，数形结合解答

3．求函数的最大值和最小值

思路点拨：可变形为，故可看作是两点和

的连线斜率的

解求解。

方法一：数形结合 如图，

倍，只需求出范围即可；也可以利用三角函数的有界性，反

可看作是单位圆上的动点，为圆外一点，

由图可知：

，显然

，

设直线的方程：，

，解得，

∴

方法二：令

，

，

，

总结升华：一些代数式所表示的几何意义往往是解题的关键，故要熟练掌握一些代数式的几何意义： （1）

表示动点（x，y）与定点（a，b）两点间的距离；

（2）表示动点（x，y）与定点（a，b）两点连线的斜率；

（3）求ax+by的最值，就是求直线ax+by=t在y轴上的截距的最值。

举一反三：

【变式1】已知圆C：(x+2)2+y2=1，P（x，y）为圆C上任一点。 （1）求

的最大、最小值；

（2）求的最大、最小值；

（3）求x―2y的最大、最小值。

解析：联想所求代数式的几何意义，再画出草图，结合图象求解。 （1）

表示点（x，y）与原点的距离，

由题意知P（x，y）在圆C上，又C（―2，0），半径r=1。 ∴|OC|=2。

的最大值为2+r=2+1=3，

的最小值为2―r=2―1=1。

（2）表示点（x，y）与定点（1，2）两点连线的斜率，

设Q（1，2），，过Q点作圆C的两条切线，如图：

将整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，

所以的最大值为，最小值为。

（3）令x―2y=u，则可视为一组平行线系，

当直线与圆C有公共点时，可求得u的范围，

最值必在直线与圆C相切时取得。这时 ∴

。

，最小值为

。

，

∴x―2y的最大值为

【变式2】求函数 解析：

的最小值。

则y看作点P（x，0）到点A（1，1）与B（3，2）距离之和

如图，点A（1，1）关于x轴的对称点A＇（1，－1），

则

即为P到A，B距离之和的最小值，∴

【变式3】若方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则值范围是（ ）

的取

A． B．或 C．

D．或

解析：如图

由题知方程的根，一个在（0，1）之间，一个在（1，2）之间，

则 ，即

下面利用线性规划的知识，则斜率

可看作可行域内的点与原点O（0，0）连线的

则 ，选C。

高考冲刺：转化与化归思想

热点分析高考动向

编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅

转化与化归思想在高考中占有相当重要的地位，可以说比比皆是，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.

知识升华

转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题.解题的过程就是“化归”的过程，不断地改变待解决的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止. 1．转化与化归应遵循的原则

（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和方法来解决.

（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，

或获得某种解题的启示和依据.

（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所呈现的和谐统一的形

式，或者转化命题，使其有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律. （4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.

（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使 问题获解.

2．转化与化归的基本类型

（1）正与反、一般与特殊的转化，即正难则反，特殊化原则.

（2）常量与变量的变化，即在处理多元问题时，选取其中的变量（或参数）当“主元”，其他的变量

看作常量.

（3）数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利用图形直观提供思路，直观地

反映函数或方程中的变量之间的关系.

（4）数学各分支之间的转化，如利用向量方法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代

数、三角问题等.

（5）相等与不等之间的转化，如利用均值不等式、判别式等. （6）实际问题与数学模型的转化.

3．常见的转化方法

（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.

（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式

问题转化为易于解决的基本问题.

（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换、获得 转化途径.

（4）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化. （5）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题. （6）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题. （7）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论.

（8）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题.

（9）一般化方法：当原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决时，可将问题通过一般化

的途径进行转化.

（10）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的.

（11）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题的结论加强

为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，加强命题法是非等价转化方 法.

（12）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题

的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集 以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割.

获得原问题的解决.

经典例题透析

类型一：常量与变量的转化问题

1．已知二次方程ax2+2(2a―1)x+4a―7=0中的a为正整数，问a取何值时此方程至少有一个整数根.

思路点拨：本题可以将原方程变为关于a的式子,根据a为正整数，得出x的取值，再代回去，求出a的值.

解析：原方程即是(x2+4x+4)a=2x+7，

∵x=―2不是原方程的解，∴ 又∵a为正整数，

，

∴，

解得－3≤x≤1，

又∵x是整数且x≠－2，∴x=―3，―1，0，1，

把它们分别代入原方程得，，，，

故当a=1或a=5时，原方程至少有一个整数根.

知识升华：解决本题易按求根公式，讨论方程至少有一个整数根的条件，而无法进行下去.将变量与参数变更关系，视a为主元，转换思考的角度，使解法变得简易.

举一反三：

【变式1】已知a＞0且a≠1，若关于x的方程loga(x-3)-loga(x+2)-loga(x-1)=1有实根，求实数a的取值范围.

解析：要使原方程有意义，需 原方程化为：

，解得x＞3.

.

∴x-3=a(x-1)(x+2)在区间(3, +∞)上有解，

∴.

问题转化为求右端在(3, +∞)上的值域， 即将a看作x的函数a(x).

由

∵x＞3, ∴x-3＞0，

，

∴.

当且仅当，即时取等号.

∴.

又∵x＞3时，a＞0, ∴,

故a的取值范围是

【变式2】设

.

，若t∈[―2，2]时，y＞0恒成立，求

x的取值范围.

答案：

类型二：等价转化

2．已知函数的值域为[―1，4]，求实数a、b的值.

思路点拨：设，将所给函数看作关于x的方程.则由题意可知当y∈[―1，4]

时，关于x的方程有实数解.

解析：∵

的定义域为R，

故可等价转化为yx2―ax+y―b=0.

令Δ=a2―4y(y―b)≥0，即4y2―4by―a2≤0，

则由题意可知，不等式4y2―4by―a2≤0的解集为[―1，4]. 也就是―1，4是关于y的方程4y2―4by―a2=0的两根.

∴，∴a=±4，b=3.

所以所求实数a=±4，b=3. 总结升华：本题是利用函数、不等式与方程的关系一步一步地等价转化使问题得以解决，常见的转化类型有高次向低次的转化，多元向一元的转化，分式向整式的转化，无理向有理的转化，空间向平面的转化等.

举一反三： 【变式1】已知奇函数求实数的取值范围. 答案：

【变式2】若值范围为_______. 解析：

的图象是直线，

的图象在（0，1）内与x轴恰好有一个交点，则a的取

在定义域（－1，1）上是减函数，且

，

在（0，1）内与x轴恰有一个交点， 则

，

则a＞3（当a=0时不合题意）.

【变式3】已知函数

，满足

，

，求

的

最大值、最小值及取得最大值和最小值时对应a，c的值.

答案：

，此时

；，此时

类型三：正面与反面的转化问题

3．已知非空集合A={x|x2―Amx+2m+6=0，x∈R}，若A∩R≠

―

取值范围（R表示负实数集，R+表示正实数集）. 思路点拨：本题可以根据A∩R≠

－

－

，求实数m的

的反面——A∩R=

―

时的取值范围进行求解.

解析：设全集U={m|Δ=16m2―8m―24≥0}={m|m≤―1或}.

方程x2―4mx+2m+6=0的两根均非负的充要条件是，可得.

∴A∩R= ∴A∩R≠

－

－

时，实数m的取值范围为；

时，实数m的取值范围为{m|m≤―1}.

知识升华：正面难以解决的问题，可采用补集的思想，转化为反面问题来解决.一个题目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，易从反而考虑，比如题目中出现“至多”，“至少”等字眼时.

举一反三：

【变式1】试求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分. 解析：问题可以转化为：

为使曲线y=x2有两个对称于直线y=m(x-3)的点，求m的取值范围.

易得，因此原问题的解是.

【变式2】已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1，若区间[-1，1]内至少存在一个实数c，使f(c)＞0, 则实数p的取值范围是（ ）.

A、 B、 C、 D、

解析：问题转化为先求在[-1，1]内没有一个实数C使f(c)＞0，

即对任意x∈[-1,1]，f(x)≤0的P的取值范围. 由二次函数f(x)在[-1，1]的图形易知： f(1)≤0且f(-1)≤0,

解得：或P≥3.

∴满足已知条件的P的取值范围为

【变式3】已知三条抛物线：

.

，，

中至少有一条与x轴相交，求实a的取值范围.

答案：

或.

类型四：换元转化问题

4．求函数的最大值.

思路点拨：令t=sin x，将函数转化为关于t的二次函数，再求二次函数在区间[―1，1]上的最大值. 解析：

设sin x=t，则―1≤t≤1， 令

如图所示，当a＜0时，有

.

.

.

同理，当a≥0时，有

.

所以，当a＜0时函数 当a≥0时函数

的最大值为3―4a.

的最大值为3+4a.

总结升华：通过换元将三角问题转化为较熟悉的一元二次函数在闭区间上的最值问题，特别注意：①换元后所得t的函数的定义域为[―1，1]；②应该讨论二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间[―1，1]的位置，才能确定其最值.

举一反三：

【变式1】已知x2+y2=1，则z=x―2y的取值范围是________. 解析：令x=cosθ，y=sinθ，则 ∴ ∴

，

.

，

【变式2】已知a∈R，求函数y=(a―sin x)(a―cos x)的最小值. 解析：设t=sin x+cos x，

则，故.

而 于是，

，

.

原问题化归为求二次函数值问题.

在上的最

①当

②当

时，若t=a，

时，

在

；

上单调递减，

；

③当时，在上单调递增，

.

【变式3】已知

（1）当t=―1时，解不等式 （2）如果x∈[0，1]时，

，

；

恒成立，求参数t的取值范围.

，t∈R.

答案：（1）

（2）t≥1

类型五：命题的转化

5．关于x的方程x3―3x2―a=0只有一个实数根，求a的取值范围.

思路点拨：本题是一个高次方程的问题，无法用判别式去判定根的个数，故可以转化命题，转化为曲线y=x3―3x2与直线y=a有一个交点，求实数a的取值范围. 解析：由x3―3x2―a=0得a=x3―3x2， 令 ∴ 令

，得x=0或x=2.

； ； .

，

当x∈（－∞，0）时， 当x∈（0，2）时， 当x∈（2，+∞）时， 所以 又

在（－∞，0）和（2，+∞）上是增函数，在（0，2）上为减函数. ，

. 的草图.

如图所示，画出

结合图象，直线y=a与曲线y=x3―3x2有一个公共点时，则a＜―4或a＞0. 所以关于x的方程x3―3x2―a=0只有一个实数根时， 实数a的取值范围为a＜―4或a＞0.

总结升华：在解题的过程中，直接考虑思维受阻时，要学会变换解决问题的角度，转化命题的形式，使问题变得直观、简洁，进而使问题得以解决，有些问题可以考虑其反面，通过解决反面使问题得以解决，有些空间中的问题转化为平面问题则变得简洁.这就是转化与化归思想的真谛.

举一反三：

【变式】设0＜θ＜2π，且方程取值范围及这两个实根的和.

有两个不同的实数根，求实数m的

解析：将原方程

有两个不同的

转化为三角函数的图象与直线

交点时，求a的范围及α+β的值.

如图，在同一坐标系中，作出及y=m的图象，

由图可知：当

或

时，直线与曲线有两个交点，

即原方程有两个不同实根.

若，设原方程的一个根为，

则另一个根为.

∴.

若，设原方程的一个根为，

则另一个根为，∴.

且由对称性可知，这两个实根的和为或.

高考冲刺：怎样解数学选择题

热点分析高考动向

编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅

数学选择题在当今高考试卷中，不但题目数量多，且占分比例高。考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为得分的关键，并且直接影响到解答题的答题时间及答题的情绪状态.

高考中数学选择题属小题，具有概括性强、知识覆盖面宽、小巧灵活，有一定的综合性和深度的特点。解题的基本原则是：“小题不能大做.”因而答题方法很有技巧性，如果题题都严格论证，个个都详细演算，耗时太多，以致于很多学生没时间做后面会做的题而造成隐性失分，留下终生遗憾。

夺取高考数学试卷高分的关键就是：“准”“快”“稳”地求解选择题。准确是解答选择题的先决条件。选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。迅速是赢得时间获取高分的必要条件.高考中考生不适应能力型的考试，致使“超时失分”（也叫“失分”）是造成低分的一大因素.对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完.

知识升华

选择题的结构特点

选择题有题干和４个可供挑选的选择项（其中一个正确答案，三个诱误项）。选择题的结构中包含着我们解题的信息源（特别注意４个选择支也是已知条件）

选择题的求解策略

充分利用题设和选择项两方面所提供的信息作出判断，一般来说，能定性判定的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判定的，也不必采用常规解法；能使用间接解法的，也不必采用直接解法；对于明显可以否定的选择项，应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜于选择最简解法等等.一般有两种思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择项联合考虑或从选项出发探求是否满足题干条件。

选择题的常用方法

由于选择题提供了备选答案，又不要求写出解题过程，因此出现了一些特有的解法，在选择题求解中很适用，结合数学选择题的结构特点及近几年的高考题，有以下几种常用解法： ①直接法； ②排除法； ③特例法；

④图解法（数形结合法）； ⑤代入法。

经典例题透析类型一：直接法

直接从题设条件出发，运用有关，运用有关的概念、定义、公理、定理、性质、公式等，使用正确的解题方法，经过严密的推理和准确的运算，得出正确的结论，然后对照题目中给出的选择项“对号入座”，作出相应的选择，这种方法称之为直接法。是一种基础的、重要的、常用的方法，一般涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法。

1．设，则

是（－∞，+∞）上的奇函数，等于（ ）

，当0≤x≤1时，

A．0.5 B．―0.5 C．1.5 D．―1.5 思路点拨：认真分析题目已知，若能发现

的周期性，即能看出

，对解题将会带来极大的方便。

解析：∵ ∴ 又∵ ∴

是以4为周期的函数。

为奇函数，且有当0≤x≤1时，

。

， ，

∴选B。

总结升华：直接法解选择题，它和解解答题的思路、程序方法是一致的，不同之处在于解选择题不需要书写过程，这就给我们创造灵活解答选择题的空间，即在推理严谨、计算准确的前提下，可以简化解题的步骤，简化计算。再就是在考查问题的已知条件和选择项的前提下，洞察问题的实质，找寻到最佳的解题方法，这样才会使问题解得真正的简洁、准确、迅速。

举一反三：

【变式1】设F1、F2为双曲线F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为（ ）

的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠

A．1 B． C．2 D．

解析：

∴选A。

。

【变式2】设函数f(x)=Asin(ωx+j)（其中A>0，ω>0，x∈R），则f(0)=0是f(x)为奇函数的（ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 解析：若f(0)=0，即sinj=0, j=kπ（k∈Z）. ∴f(x)=Asinωx或f(x)=-Asinωx, ∴f(x)为奇函数，则充分性成立.

若f(x)为奇函数，则f(-x)+f(x)=0恒成立， ∴f(0)+f(0)=0, ∴f(0)=0，则必要性成立. ∴选C.

类型二：排法除

从已知条件出发，通过观察分析或推理运算各选项提供的信息，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论，这种方法称为排除法。排除法常常应用于条件多于一个时，先根据一些已知条件，在选择项中找出与其相矛盾的选项，予以排除，然后再根据另一些已知

条件，在余下的选项中，再找出与其矛盾的选项，再予以排除，直到得出正确的选项为止。

2．双曲线mx+y=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（ ）

2

2

A． B．－4 C．4 D．

2

2

解析：∵曲线mx+y=1是双曲线，∴m＜0，排除C、D；

将代入，方程变为，虚轴长为4，而实轴长为2，满足题意，

∴应选A。

总结升华：排除法一般是适用于不易用直接法求解的问题。排除法的主要特点就是能较快的选择的范围，从而目标更加明确，这样就可以避免小题大做，小题铸错。认真而又全面的观察，深刻而又恰当的分析，是解好选择题的前提，用排除法解题尤其注意，不然的话就有可能将正确选项排除在外，导致错误。当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内找出矛盾，这样逐步排除，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，

举一反三：

【变式1】如图是周期为2π的三角函数

的图象，那么

可以写成（ ）

A． C．

=sin(1+x) B．=sin(x―1) D．

=sin(―1―x) =sin(1―x)

解析：选图象上的特殊点（1，0），易排除A、B，又x=0时，y＞0，排除C。 ∴应选D。

【变式2】钝角三角形的三边分别为a，a+1，a+2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

解析：令a=1，则三边为1，2，3，不能构成三角形。排除A、D。

令a=3，则三边为3，4，5，三角形应为直角三角形，排除C， 故选B。

如果该题用直接法解，设最大角为C，

则

【变式3】设集合A＝｛ A．D．

解析：因为

取x=1，不属于集合 故选A。

B．

｝， C．

，这样解起来较麻烦。

，则

等于（ ）

，显然x＞0，排除C，D，

，排除B,

【变式4】不等式ax+ax+b>0(a,b∈Z且a≠0)的解集是区间(-2,1)，满足这个条件的绝对值最小的a和绝对值最小的b值分别是（ ）

A、a=1,b=-2 B、a=-1,b=2 C、a=1,b=2 D、a=-1,b=-2 解析：首先，二次不等式ax+ax+b>0的解集为（-2，1）， 由二次函数的图象易知，必有a＜0，可排除A、C. 其次，将选择项D的结论，a=-1,b=-2代入不等式，

则不等式化为-x-x-2＞0即x+x+2＜0，此不等式无解，故D也被排除， 故选B.

2

2

2

2

类型三：特例法

根据题设和各选项的具体情况和特点，选取满足条件的特殊的数值、特殊的集合、特殊的点、特殊的图形或者特殊的位置状态，代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而得到正确的判断的方法称为特例法。常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.

3．若，则（ ）

A． B． C． D．

解析：取，满足不等式，

即

∴应选B。

，否定A、C、D。

总结升华：本题是采用设特殊值的方法进行检验得解的。用特例法解决问题时要注意以下两点：

（1）所选取的特殊值或特殊点一定要简单，且符合题设条件；

（2）有时因问题需要或选取数值或点不当可能会出现两个或两个以上的选择项都正确，这时应根据问

题的题设再恰当地选取一个特殊值或点进行检验，以达到选择正确选项的目的。

举一反三：

【变式1】函数 A． C．

B． D．

的定义域为（ ）

解析：取x=1，代入，无意义，否定C

取x=2，代入，无意义，否定A

取x=-4，代入，有意义，否定B

∴应选D.

【变式2】如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线对称，则a等于（ ）

A． B． C．1 D．－1

解析：找满足题意的两个特殊位置：和时的函数值相等，

故有 ∴应选D。

，解得a=―1。

【变式3】如图，过抛物线y=ax（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若

2

线段PF与FQ的长别是p、q，则等于（ ）

A．2a B． C．4a D．

解析：由y=ax，得

2

，于是抛物线的焦点，

取过F且平行于x轴的直线交于P、Q两点，

根据抛物线的对称性，得PF=QF，即p=q，且2p等于抛物线的通径，

故

∴应选C。

【变式4】函数

，

，则函数

。

（ω＞0），在区间[a，b]上是增函数，且

在[a，b]上（ ）

A．是增函数 B．是减函数

C．可以取得最大值M D．可以取得最小值―M

解析：设，，则M=1，ω=1，φ=0，

从而 ∴应选C。

在上不是单调函数且最小值为0而非―1。

类型四：数形结合法

数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是使抽象思维和形象思维有机结合，通过“以形助数”或“以数解形”，达到使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 A．

4．如果关于x的方程

B．―2＜k＜2

有唯一的实数解，那么实k的值是（ ）

C．k＜―2或k＞2 D．k＜―2或k＞2或 解析：令 y=kx+2 ②

在同一直角坐标内作出它们的图象。

①

①的图象是位于x轴上方的半圆（包括轴上的两点）， ②是过定点（0，2）的直线，

要使①、②有唯一的公共点，有相交和相切两种情况，如图所示，

故k值应为k＜―2或k＞2或 ∴应选D。

。

总结升华：用数形结合法解题，图示鲜明直观，形象一目了然，从而便于判定选项，因此用其来解某些问题能起到事半功倍的效果。对于所给出的问题，利用它们所反映的函数图象或者方程的图形以及其他相关的图形直观地表示出来，然后借助图形的直观性和有关概念、定理、性质作出正确的判断，这是数形结合法解选择题的一般规律。

举一反三：

【变式1】如果实数x、y满足(x―2)+y=3，那么

22

的最大值是（ ）

A． B．

2

2

C． D．

，如图：

解析：圆(x―2)+y=3的圆心为（2，0），半径

设，则k为直线y=kx的斜率，

显然k的最大值在直线y=kx与圆相切时得到， 即直线OM的斜率k为最大值， 又 于是 ∴应选D。

【变式2】在圆x＋y＝4上与直线4x＋3y－12=0距离最小的点的坐标是（ ）

，|OA|=2，则∠MOA=60°，

。

A．（，） B．(，－) C．(－，) D．(－，－)

解析：在同一直角坐标系中作出圆x＋y＝4和直线4x＋3y－12=0后， 由图可知距离最小的点在第一象限内， ∴应选A.

类型五：代入法

将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断.即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案.

5．已知

在[0，1]上是x的减函数，是a的取值范围是（ ）

A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．[2，+∞） 解析：由题设知函数为在[0，1]上的x的减函数，故有a＞1，可排除A、C。

再将a=2代入函数式有题设条件，

∴D被排除。 ∴应选B。

，其定义域为（－∞，1），其不满足

总结升华：代入检验法，适用于题设复杂，选项中的数值较小，结论比较简单的选择题. 检验时，若能据题意，从整体出发，确定代入先后顺序，则能较大提高解题速度.但要注意当选择项中含有关系“或”时，应对关系式中的所有情况代入验证之后，方能确定。

举一反三：

【变式1】若不等式0≤

≤1的解集是单元素集，则a的值等于（ ）

A．0 B．2 C．4 D．6 解析：当a=0时，不等式0≤ 当a=2时，不等式0≤ ∴应选B。

【变式2】设集合A=B=N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2+n，则在映射f下，象20的原象是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．5

解析：令2+n=20，把选项逐一代入检验，求得n=4满足， ∴选A。

n

n

≤1的解集显然不是单元素集，排除A， ≤1的解集为{1}，是单元素集，

类型六：极限法

6．椭圆的焦点为F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，

点P的横坐标的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

解析：先考虑极端情况：∠F1PF2=90°

由观察可得|PF1|=4，|PF2|=2时，∠F1PF2为直角。如图，

此时可算得P点的横坐标。

又由对称性易得符合条件的P点横坐标的取值范围是 ∴应选B。

。

总结升华：用极限法是解选择题的一种有效方法.它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小选择面，迅速找到答案.

举一反三：

【变式1】不等式组的解集是（ ）

） D．（0，3）

A．（0，2） B．（0，2.5） C．（0， 解析：不等式的“极限”即方程，

则只需验证x=2，2.5，和3哪个为方程的根即可，

逐一代入，得 ∴应选C.

为方程的根，

【变式2】在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）

A．（π，π） B．（π，π）

C．（0，） D．（π，π）

解析：当正n棱锥的顶点无限趋近底面正多边形的中心时，则底面正多边形便为极限状态，

此时棱锥相邻的侧面所成的二面角

，且

；

当棱锥高无穷大且底面相对固定不变时，或者底面无穷小而棱锥高相对固定不变时，

正n棱锥又是另一种极限状态，此时 ∴应选A.

，且，

类型七：一题多解，多角度思考问题

7．若a，b是任意实数，且a＞b，则（ ）

A．a＞b B． 解法一：直接法

22

C．lg(a－b)＞0 D．

∵a＞b， 解法二：特殊值法

，由指数函数的单调性可知。∴应选D。

取a=―1，b=―2有a＜b，D。

解法三：排法除

22

，lg(a―b)=0。因此排除A、B、C。∴应选

∵a＞b，若使a＞b需要增加条件b≥0；

22

若，需增加条件a＞0；若lg(a－b)＞0，需增加条件a－b＞1。

∴应排除A、B、C。∴应选D。

举一反三：

【变式1】若，P=，Q=，R=，则（ ）

A．RPQ B．PQ R C．Q PR D．P RQ 解法一：直接法

∵，∴，∴，∴P又，∴，∴

，

∴PQ R ∴应选B。 解法二：特殊值法

取a=100，b=10有 取a=8，b=2有 ∴应选B。

，显然P，显然Q【变式2】设等于（ ）

，那么

A． B． C． D．

解析：特殊值法

当n=1，有，

显然只有答案D满足n=1时值为 ∴应选D。

高考冲刺：函数与不等式问题的解题技巧

热点分析高考动向

几个特点：

编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅

1．函数问题是高考每年必考的重要知识点之一， 分析历年高考函数试题，大致有这样

①常常通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象．

②在解答题的考查中，常常与不等式、导数、数列、甚至解析几何等结合命题,以综合题的形式出现．

③从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查． ④涌现了一些函数新题型．

⑤函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分．

2. 不等式试题则有这样几个特点：

①在选择题中常考查比较大小，解不等式等，可能与函数、方程、三角等知识结合出题. ②在选择题与填空题中，需建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值的应用题.

③不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法. ④分值在27---32分之间，一般为2个选择题，1个填空题，1个解答题．

3．通过分析，预测在今年的高考试题中，选择题与填空题中会出现一些与函数、方程、三角等知识结合的不等式问题，在解答题中会出现一些不等式的解法以及建立不等式求参数的取值范围，和求最大值和最小值的应用题特别是不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合题，会有与导数结合的函数单调性－函数极值－函数最值问题；这些题目会突出渗透数学思想和方法，值得注意。

知识升华

1．了解映射的概念，理解函数的概念．

2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法，并能利用函数的性质

简化函数图象的绘制过程．

3．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质．

4．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质． 5．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 6．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解

法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力． 7．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会

用分类、换元、数形结合的方法解不等式．

8．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵

活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题．

9．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力．

10．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题． 11．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部

分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等

式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．

经典例题透析

类型一：函数的定义域及其求法

函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.

则M∩N=

1．（广东卷）已知函数

（B）

的定义域为M，g(x)=的定义域为N，

（A） （C） （D）

命题意图：本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.

解：函数 g(x)= ∴M∩N=

举一反三：

的定义域M=的定义域N=

．故选C

【变式1】（安徽））函数 答案： 解析：由

【变式2】 (湖南卷）函数

且

且

的定义域为______________．

得

的定义域是( )

（A）(3,+∞) （B）[3, +∞) （C）(4, +∞) （D）[4, +∞)

答案：由

【变式3】（全国I）函数 A．D．

答案：C. 解析：由

且

得

B．

，故选D.

的定义域为（ ）

C．

或.

类型二：复合函数问题

复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.

2．（北京卷）对于函数①

，②

，③

，

判断如下两个命题的真假： 命题甲： 命题乙：

在

是偶函数；

上是减函数，在

上是增函数；

能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③

命题意图：本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力. 解： 又函数

是偶函数，

开口向上且在

上是减函数，在

．

上是增函数．

故能使命题甲、乙均为真的函数仅有 故选Ｃ

举一反三：

【变式1】（安徽卷）函数对于任意实数满足条件，若

则__________.

答案：

解析：由,得，

所以

，则.

【变式2】（江西）若函数值域是（ ）

的值域是，则函数的

A． 答案：

B．

C． D．

解析：令，则，

【变式3】（山东）设函数则的值为（ ）

A． B． C． D．

答案：A

解析：∵

， ∴.

【变式4】（天津）已知函数的解集是（ ） (A)

(B)

，则不等式

(C) 答案：C

(D)

解析：∵等价于或

，

解得

或

，∴

.

类型三：函数的单调性、奇偶性和周期性

函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.

3．（全国卷） 已知函数

，若为奇函数，则

________.

命题意图：本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用.

常规解法：由为奇函数,所以,即

巧妙解法：因为

为奇函数且定义域

,所以

应填. ,即

应填.

为奇函数,所以

,这一重要结论.

总结升华：巧妙解法巧在利用了

举一反三： 【变式1】（全国卷）

均为偶函数”是“

，

是定义在上的函数，，则“，

为偶函数”的（ ）

A．充要条件 B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 答案：

，，

均为偶函数，

，有，

所以

为偶函数．

为偶函数，

，

不一定是偶函数．

解析：先证充分性：因为 所以

反过来，若 如

，

，故选B.

方法二：可以选取两个特殊函数进行验证．

点评：对充要条件的论证，一定既要证充分性，又要证必要性，二着缺一不可．同时，对于抽象函数，有时候可以选取特殊函数进行验证．

【变式2】（安徽）若函数

，则有（ ）

A． C． 答案：D

B． D．

、

分别是

上的奇函数、偶函数，且满足

解析：∵即， ∴，

∴，又∵单调递增， ∴且

.

【变式3】（上海）设函数

是定义在R上的奇函数，若当

时，

，

则满足 答案： 解析：当 当

的x的取值范围是______________

时，时，则

； ，有

；

∴，

∴ 解得

【变式4】（全国I）设奇函数

或

或.

或，

在上为增函数，且，则不等式

的解集为（ ）

A． C． 答案：D．

B． D．

解析：由奇函数

，

方法一：当 当 又 ∴ 方法二：作出函数

可知，而，则

时，时，在

； ，

上为增函数，则奇函数

.

的示意图，有

在

上为增函数，

当 当

时，时，

即，即

；

.

【变式5】（北京）已知函数有如下条件：①件序号是 答案：② 解析：∵函数

是偶函数，且

； ②

； ③

，对于．其中能使

上的任意，

恒成立的条

，

又当时

∴函数 ∴作出函数 有能使

在

的示意图，

上单调递增

恒成立的条件：.

类型四：函数的图象与性质

函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.

4．函数

的图象大致是 ( )

（A） （B） （C） （D） 命题意图：本题主要考查对数函数的图象及图象的平移等知识. 解：

右平移一个单位得到的，故选A.

举一反三：

【变式1】（全国I）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）

.此函数图象是由函数

向

A． B． C． D． 答案：A．

解析：根据汽车加速行驶图像可知。

，匀速行驶，减速行驶结合函数

【变式2】（全国II）函数 A．

轴对称 B． 直线

的图像关于（ ） 对称 对称

C． 坐标原点对称 D． 直线 答案：C

解析：∵函数

是奇函数，∴图像关于坐标原点对称.

【变式3】（山东）函数的图象是（ ）

A B C D

答案：A

解析：∵函数是偶函数，∴图像关于轴对称，

又∵

时， ， ∴选A，不能选C.

【变式4】（山东）设函数值为（ ）

(A) 3 (B)2 (C)1 (D) 答案：A 解析：∵函数

的图象关于直线对称，则的

的图象关于直线对称 ∴即

，把选项ABCD的值逐一代入，可以确定选A.

类型五：以集合、简易逻辑为背景的不等式

以集合、简易逻辑为背景的不等式,以考查不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的，或者以不等式为工具,来确定命题,解题时应注意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合,准确解题.

集为

．

5. （北京卷文）记关于的不等式

，求

；

的解集为，不等式的解

（I）若

（II）若，求正数的取值范围．

命题意图：本题主要考查集合的有关概念和运算及分式不等式和含绝对值的不等式的解法.

解：（I）由 （II） 由

，得． ．

，得

．

，又，所以，

即的取值范围是

举一反三： 【变式1】（江苏） 答案：0 解析：由 因为

，所以

得

，因此

则的元素个数为______________。

，

，元素的个数为0。

【变式2】（山东卷）设，，则是的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 答案：A. 解析：由题设可得

即

或

；

即或或，选(A)

【变式3】(福建)设集合“

”的

,,那么“”是

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A.

解析：∵（如图）， 故“

”是“

，∴，

”充分而不必要条件.

类型六：以线性规划形式出现的不等式

根据已知不等式组作出图形,分析求解.

6.（辽宁卷）双曲线

以线性规划形式出现的不等式,重在考查数形结合的解题能力.这种题目解题时要注意

的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,

表示该区域的不等式组是（ ）

（A） （B） （C） （D）

命题意图：本题主要考查利用双曲线的图象性质和线性规划的知识，体现数形结合能力.

解：作图可知三角形区域在第一象限.即满足

举一反三：

，故选(A)

【变式1】（福建）若实数x、y满足 A.(0,1) B. 答案：C

C.(1,+

则

) D.

的取值范围是( )

【变式2】（陕西）已知实数为

，则实数

等于（ ）

满足如果目标函数的最小值

A．7 B．5 C．4 D．3

答案：B

【变式3】（山东）设二元一次不等式组函数

所表示的平面区域为M，使

的图象过区域M的a的取值范围是（ ）

] C．[2,9] D．[

,9]

A．[1,3] B．[2, 答案：C

类型七：函数、导数、不等式知识的综合应用

函数知识,通过推理来解决问题.

函数、导数、不等式知识的综合题目,解题时往往以不等式和函数的导数为工具, 结合

值.

7. （江西卷）已知函数在与时都取得极

(1) 求、的值及函数 (2) 若对

,不等式

的单调区间；

恒成立,求的取值范围.

命题意图：本小题考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基础知识的综合运用，考查数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力. 解：

由

，函数

得

的单调区间如表：

极小值

极大值 所以函数的递增区间为与；递减区间为.

（2）

而 要使

.

举一反三：

，当

，则（

时，为极大值

为最大值，

）恒成立，只须，解得或

【变式1】（辽宁）设函数 （Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值； （Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式求a的取值范

围；若不存在，试说明理由． 解析：

．

的解集为（0，+）？若存在，

（Ⅰ） 故当 所以 由此知

（

Ⅱ在在）

（

时，

，

时，

．

．

单调递增，在

的极大值为ⅰ

）

单调递减．

，没有极小值．

当

时

，

由

于

，

故关于的不等式

的解集为

．

（ⅱ）当时，由知，

其中为正整数，

且有．

又时，，且

．

取整数满足，，且，

则 即当

时，关于的不等式

， 的解集不是

．

，

综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在，使得关于的不等式 且的取值范围为

【变式2】（重庆卷文）用长为长与宽之比为

.

的解集为

的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的

，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

，则长为

，高为

解：设长方体的宽为

故长方体的体积为 从而 令

,解得

（舍去）或

，因此

.

当 故在

时处

；当时，

的最大值.

取得极大值，并且这个极大值就是

从而最大体积

此时长方体的长为 答：当长体的长为

，高为，宽为

. ，高为

时，体积最大，最大体积为

.

类型八：函数、不等数与数列知识的综合应用

与数列知识结合的函数、不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题.

8.（湖北卷）设数列的图像上.

的通项公式；

的前项和为，点均在函数

（Ⅰ）求数列

（Ⅱ）设立的最小正整

，是数列的前项和，求使得对所有都成

数.

命题意图：本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力. 解：

（I）依题意得， 当 当 所以

时，时，

即.

;

.

.

（II）由（I）得，

故.

因此，使得

故满足要求的最小整数

举一反三：

为10.

成立的必须满足，即,

【变式1】已知函数f(x)=a1x+a2x+…+anx(n∈N),且a1，a2，a3，…，an构成数列{an}，

2

又f(1)=n.

（1）求数列{an}的通项公式；

2n*

（2）求证：

．

解析：

2*

（1）由题意：f(1)=a1+a2+…+an=n，(n∈N) n=1时，a1=1

22

n≥2时，an=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+…+an-1)=n-(n-1)=2n-1

*

∴对n∈N总有an=2n-1,

即数列{an}的通项公式为an=2n-1.

（2）

∴

∴

【变式2】（陕西）已知数列 （Ⅰ）求

的通项公式；

的首项，，．

（Ⅱ）证明：对任意的，，；

（Ⅲ）证明： 解析：

．

（Ⅰ），，，

又，是以为首项，为公比的等比数列．

，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

原不等式成立．

，

另解：设，

则

，当时，；当时，，

当时，取得最大值．

原不等式成立．

，有

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的

．

令，则

，

原不等式成立．

．

高考冲刺：集合与常用逻辑用语

热点分析高考动向

编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅

1．集合是高考每年必考的知识点之一，主要考查集合的概念，子、交、并、补的运算及有关符号、术语、数轴与韦恩图，是以集合为工具考查集合语言和集合思想的运用。在命题时，常以基本题型为主，大多数为选择题和填空题，以及大题的解集，或者小型的应用题，常与映射、函数、方程、不等式等结合命题。

2．常用逻辑用语部分主要考查命题的四种形式及命题与逆否命题的等价性，充要条件的判定，反证法的应用等。特别是有关充要条件的考查，几乎年年考到，多数题与代数、三角、解析几何、立体几何中的知识结合命题，出现在综合题目中。另全称量词与存在量词一部分的内容在近两年的高考试题有所出现，应引起重视．

3．集合与常用逻辑用语这部分内容，考查风格稳中求新，稳中求活。分值稳定，一般占5--10分．

知识升华

1．解决集合问题，关键认清集合的特征，借助数轴，韦恩图，准确地将集合问题的处理转化为图形关系，体现了数形结合的思想方法。对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P. 2．充要条件的判断，关键要分清楚条件与结论（即推理方向），然后再进行推理与判断。 如： 思路： 先判断

是否成立；

是

的___________条件。

当 再判断

时，显然

是否成立。

不成立；

显然 故

是

也不成立。例如的既不充分也不必要条件。

时。

经典例题透析

类型一：正确理解和运用集合概念

1．已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ） A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）} C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}

思路点拨：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集． 解析：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．

∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1}, ∴应选D． 总结升华：

①理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.本题求M∩N，经常发生的错误解法：

解方程组得或，从而选B。

出现这样的错误，关键是对集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合

的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集． ②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、

{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．

举一反三：

【变式1】若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ） A．P B．Q C．

D．不知道

【答案】P、Q中的代表元素都是y，

它们分别表示函数y=x2,y= x2＋1的值域， 由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知

，即P∩Q=Q．

∴应选B．

【变式2】若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（ ） A．P∩Q= B．

C．P=Q D．

【答案】P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集， 因此P∩Q=． ∴应选A．

【变式3】若

，则

=（ ）

A．{3} B．{1} C． D．{－1} 【答案】

2．设※是集合中的元素的一种运算，如果对任意的

是封闭的，若

，都有※，则对集合

，

，∴应选D．

则称运算※对集合不封闭的

运算是（ ）

A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法

思路点拨：关键在于根据已知的概念、要求理解题意,然后对集合中的两个元素进行计算,从而解答。

解析：利用排除法。 集合 当

中的元素都是形如“

时，

，

”的无理数，

当 故对集合

时，，，

不封闭的运算是除法，选D。

总结升华：对于这中“规定型”概念题目的解答关键是正确理解所谓规定的常规意义，进行正确转化，正面问题可以从已知条件出发正面解答，若为反面问题可以用排除法、特殊值验证法等。

举一反三：

【变式1】（江西卷）定义集合运算:

,

,则集合

的所有元素之和为( )

设

A．0 B．2 C．3 D．6 【答案】∵6，选D.

【变式2】(湖北卷) 设

和

是两个集合，定义集合

，如果

,∴集合

的所有元素之和为

，

Ａ．Ｄ．

，那么

Ｂ．

等于（ ）

Ｃ．

【答案】化简集合P、Q得： 由定义

得

＝

， ，选Ｂ。

类型二：数形结合解决集合问题

3．设A={x|－2＜x＜－1或x＞1}，B={x|x2＋x＋b≤0}，已知A∪B={x|x＞－2}，A∩B={x|1＜x≤3}，求、b的值．

思路点拨：本题涉及两个集合的运算问题，可在数轴上画出图形，利用图形分析解答． 解析：如图所示，

设想集合B所表示的范围在数轴上移动， 显然当且仅当

时，才能使A∪B={x|x＞－2}，且A∩B={x|1

＜x≤3}．

根据二次不等式与二次方程的关系，可知－1与3是方程x2＋x＋b=0的两根， ∴ =－(－1＋3)=－2， b=(－1)×3=－3． 总结升华：

①本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果．一般解决步骤为：

（1）化简集合；

（2）将集合用数轴或韦恩图表示出来； （3）进行集合运算，求出字母的值或范围。 ②集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观

化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．

举一反三： 【变式1】已知全集

，且

，

，则

等于（ ）

A．{2} B．{5} C．{3，4} D．{2，3，4，5} 【答案】C.

【变式2】设全集U={x|0＜x＜10,x∈N*}，若A∩B={3}，A∩CUB={1，5，7}，CUA∩CUB={9}，则集合A=___________；B＝_________． 【答案】先画出文氏图，用填图的方法来解

由上图可得：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．

【变式3】集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x＞0}，求A∪B和A∩B． 【答案】∵ A={x|x2＋5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，B={x|x2＋3x＞0}={x|x＜－3或x＞0}． 如图所示，

∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x＜－3或x＞0}=R．

A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x＜－3或x＞0}={x|－6≤x＜－3或0＜x≤1}．

【变式4】设全集

，

，

，则下图中的

阴影部分表示的集合为___________。

【答案】

，

，

。

，

图中的阴影部分表示的集合为 利用数轴可得：

类型三：集合元素的互异性

4. 已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－x＋－1=0}，且A∪B=A，则的值．

思路点拨：要解决集合的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式。 解析：∵ A∪B=A，

∵A={1，2}，∴B=或B={1}或B={2}或B={1，2}． 若B=，则令△＜0得∈；

若B={1}，则令△=0得=2，此时1是方程的根；

若B={2}，则令△=0得=2，此时2不是方程的根，∴∈；

若B={1，2}，则令△＞0得∈R且≠2，把x=1代入方程得∈R，把x=2代入方程得=3．

综上的值为2或3． 总结升华：

①本题不能直接写出B={1，－1}，因为－1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到

集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．

②集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解

题中忽略，从而导致解题的失败。

③解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正 ④注意空集如A

B,则有

或A≠

两种可能，此时应分类讨论.

的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，

A=

举一反三：

【变式1】若A={2，4, },B={1, , ,－,

}，且A∩B={2，5}，则实数的值是________．

【答案】∵A∩B={2，5}，∴

,由此求得

或

．

A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查． 当 当 当 故

【变式2】已知集合A={,

,

}，B={,

,

}．若A=B，则的值是______．

时，

，与元素的互异性相违背，故应舍去

． ．

时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去

时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设． 为所求．

【答案】分两种情况进行讨论． （1）若 ∴

=

且

=

，消去b得：

，

．

时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故

，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．

（2）若＋b=c2且＋2b=c，消去b得：2c2－c－=0，

∵≠0，∴ 2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故．

类型四：证明、判断两集合关系的方法

5. 设集合A={a|a=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，则集合A、B的关系是________．

思路点拨：本题主要考查集合间关系的运算.

解析：设a∈A，则a=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)， ∵n∈Z,∴n＋1∈Z.∴

∈B,故

． ①

又设 b∈B，则 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z), ∵ k∈Z,∴k－1∈Z,∴ b∈A，故

②

由①、②知A=B．

总结升华：集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．

举一反三：

【变式1】若A、B、C为三个集合， A .

B .

C .知，

，则一定有（ ） D .

，故选A.

【答案】由

【变式2】设集合

,则满足的集合B的个数是（ ）

A. 1 B.3 C.4 D. 8 【答案】

，

，

则集合B中必含有元素3， 即此题可转化为求集合

所以满足题目条件的集合B共有

的子集个数问题，

个，选C.

【变式3】记关于的不等式 （I）若 （II）若 【答案】

，求

；

的解集为，不等式的解集为．

，求正数的取值范围．

（I）由 （II） 由

，得． ．

，得

．

，又，所以，

即的取值范围是

类型五：空集的特殊性和特殊作用

6. 已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩=，则实数m的取值范围是_________．

思路点拨：从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围． 解析：由A∩=,又方程x2＋(m＋2)x＋1=0无零根， 所以该方程只有两个负根或无实数根，

或△=(m＋2)2－4＜0．

解得m≥0或－4＜m＜0，即m＞－4． 总结升华：

①从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A情况而出现漏解，

这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．如A

B等集合问题易忽视空集的

B,则有A=或A≠两种

可能，此时应分类 讨论.

②空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显

然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与

的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．

举一反三：

【变式1】已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，则实数a组成的集合C是________．

【答案】当B=时，=0，符合题设， 当B为非空集合时，

由x2－3x＋2=0得x=1或2． 当B={1}时，a=2， 当B={2}时，a =1．

故正确答案为C={0，1，2}．

【变式2】已知集合

则实数的取值范围是___________．

【

答

案

】

，

．若

，

故实数的取值范围是

．

A，

【变式3】已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若B则实数p的取值范围是________．

【答案】错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5

欲使BA，只须

∴p的取值范围是－3≤p≤3．

上述解答忽略了“空集是任何集合的子集”这一结论，即B=时，符合题设．

正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1

p≥2．

由BA得：

p＜2．

∴ 2≤p≤3.

②当B=时，即p＋1＞2p－1 由①、②得：p≤3． ∴p的取值范围是p≤3

类型六：充要条件的判定

7. 已知：，：，那么是的( ) （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 思路点拨：先将条件 解析：∵ 又

和化简，再利用逻辑的相关知识解答。

，，且

，

∴是的充分而不必要条件，选A。

总结升华：在进行充分必要条件的推理判定时注意以下几点： ①弄清推理方向。“必要而不充

分条件”是指“

且

”； ”是指

一定能推导出，而

则只需要

是充分而不必要条件”是指“

且

”；而“

是

②明白相应的逻辑推理方法：“举出一个反例 即可；

③注意等价转化。“条件”。

举一反三：

是”的充分而不必要条件等价于“是的充分而不必要

【变式1】（浙江）已知，b都是实数，那么“”是“＞b”的( )

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】∵“

既不充分也不必要条件，选D.

【变式2】（湖北）若非空集合 A.“ B.“ C.“ D.“

”是“”是“”是“”既不是“

，且

满足

，且

不是

的子集，则( )

”，且

，∴“

”是“＞b”的

”的充分条件但不是必要条件 ”的必要条件但不是充分条件 ”的充要条件

”的充分条件也不是“不是

的子集，

”必要条件

【答案】∵

∴可以利用Venn图（如图），

有

，故 “

”是“

”的必要条件但不是充分条件，

选B.

【变式3】 (福建)设集合“

”

,,那么“”是

的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】∵ ∴ 如图： 故“

”是“

，

，

，

”充分而不必要条件，选A.

类型七：逻辑连结词与全称（特称）量词

假命题且

8．已知

：

，

：

，

的取值范围。

为真命题”，从而，若

，

为

为真命题，求实数

，

的取值范围。

思路点拨：把“求得实数

为假命题”转化为“为真命题解得实数

的取值范围，再由

解析：∵ 由题意知：

，

为真命题，即

故 又由 ∴

，使得

， ，

为真命题得，，解得

，

对

，

恒成立，

综上可知：。

总结升华：

①考纲要求能正确地对含有一个量词的命题进行否定。本题中的命题是全称命题，它的否定具有固定 模式。

②要判断一个全称命题

成立，但要判 断全称命题立即可（举反 例）。

③要判断一个特称命题，使得

是假命题。

是真命题，只要在限定集合

中，至少能找到一个元素

是假命题，则需要找到集合

中的一个元素

，使得

不成

是真命题，必须对限定集合

中的每一个元素

验证

成立，否则特称命题

举一反三：

【变式1】命题“存在 A．不存在 C．存在

，，

，”的否定是（ ）

B．存在 D．对任意的

，

，

，”，选D

【答案】本题是特称命题的否定：“对任意的

【变式2】 (宁夏卷)已知命题 A． C．

【答案】非p是命题

； B．； D．

的否定，

，则（ ）

要否定它，只需要存在一个实数x，使得

【变式3】存在

，使得

不成立即可，故选C。

成立，则a的范围是（ ）

Ａ． 【答案】当

Ｂ． Ｃ． Ｄ．

时，显然和题意；

当时，得

，所以选C。

综上可得