平方差和完全平方公式应用举例

平方差公式、完全平方公式应用例说

例1 计算（1）(ab1)(ab1)；（2）(2x3)(2x3)；（3）1022；（4）992. 【点拨】（1）符合平方差公式的特征，只要将ab看成是a，1看成是b来计算. （2）利用加法交换律将原式变形为(32x)(32x),然后运用平方差公式计算. （3）可将1022改写为(1002)2,利用两数和的平方公式进行简便运算. （4）可将992改写为(1001)2，利用两数差的平方公式进行简便运算. 解：（1）(ab1)(ab1)=(ab)21a2b21；

（2）(2x3)(2x3)= (32x)(32x)=(3)2(2x)294x2； （3）1022= (1002)2=100 （4）992=(1001)2=1002221002210000400410404；

22100111000020019801.

例2 计算 （1）(ab1)(ab1)；（2）(m2np)2.

【点拨】（1）两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式计算，本题可将(ab)看作是一项.

（2）先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算.

解

：

2（

21

2）

(ab1)(ab1)=[(ab)1][(ab)1](ab)1a2abb1；

（2）(m2np)=[(m2n)p](m2n)2(m2n)pp =m4mn4n2mp4npp.

【点评】1.在运用平方差公式时,应分清两个因式中是不是有一项完全相同,有一项互为相反数,这样才可以用平方差公式，否则不能用；2.完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍，在计算时不要发生：(ab)ab或(ab)ab这样的错误；3.当因式中含有三项或三项以上时,要适当的分组,看成是两项,用平方差公式或完全平方公式.

例3 一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加39cm,这个正方形的边长是多少? 【点拨】如果设原正方形的边长为xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解. 解：设原正方形的边长为xcm,则(x3)x39

2222222222222222

即x26x9x239，解得 x=5. 答:这个正方形的边长是5cm.

例4 当a1,b1时，求(3a2b)(3a2b)(a2b)2的值.

【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将a、b的值代入计算出结果. 解：(3a2b)(3a2b)(a2b)29a24b2(a24ab4b2) =9a24b2a24ab4b28a24ab8b2； 当a1,b1时，

(3a2b)(3a2b)(a2b)28a24ab8b2=8（-1）24(1)18=-4. 例5 求证：当n为整数时，两个连续奇数的平方差(2n1)2(2n1)2是8的倍数. 【点拨】运用完全平方公式将(2n1)2(2n1)2化简，看所得的结果是否是8整数倍.

证明:(2n1)2(2n1)2=4n24n1(4n24n1) =4n24n14n24n18n， 又∵n为整数,∴8n也为整数且是8的倍数. 例6 解不等式 (3x4)(3x4)9(x2)2.

【点拨】将乘法公式与解不等式相联系，用乘法公式将不等式两边化简、整理，转化成一元一次不等式的一般形式.

解：去括号，得 9x169x36x36， 移项、合并，得 x13922.

例7 2005年12月1日是星期四，请问：再过20052天的后一天是星期几?

【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过20052天的后一天是星期几，可以想办法先求出20052是7的多少倍数还余几天.

解：20052=(72863)(7286)2(7286)39 =(7286)(6286)772.

显然2005年12月1日是星期四，再过2005天的后一天实际上要求星期四再过两天后

2222

的一天是星期日.

例8 观察下列等式：

12021，22123，32225，42327，…… 请用含自然数n的等式表示这种规律为：________________.

【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律.同学们相互研讨交流一下.答案为:n2(n1)22n1(n1且n为整数).

例9 已知4x2Mxy9y2是一个完全平方式,求M的值.

【点拨】已知条件是一个二次三项式,且是一个完全平方式,x2与y2项的系数分别为4和9,所以这个完全平方式应该是(2x3y)2,由完全平方公式就可以求出M. 解：根据(2x3y)2=4x212xy9y2得: M12. ∴M12

答:M的值是±12. 例10 计算 (112)(1122)(1124)(1128)1215.

【点拨】若按常规思路从左到右逐个相乘，比较麻烦；如果乘或除以一个数或一个整式，将本来复杂的问题转化成我们已知的、熟悉的，从而找到问题的捷径. 解:(1 =(1 =(1 =(1 =(1 =(11212)(112122)(1122124)(1124128)112815

121215)(1)(11212122)(112124)(1128121212)(1)(1)(1)12)(1)(1)1215)(1)1215)121521)1215

2

12448

1221288

121516=2-

1215=2.

例11(泰州市)如下图是由边长为a和b的两个正方形组成，通过用

不同的方法，计算下图中阴影部分的面积，可以验证的一个公式是 ． a b a

a－b b

【点拨】本题考查借助图形的面积直观认识平方差公式,使学生学习数形结合的思想方

法.答案为:(ab)(ab)a2b2或 a2b2= (ab)(ab).