注意根式中的隐含条件

原文刊登于2011年4月23日上海中学生报

注意根式中的隐含条件

上海外国语大学附属浦东外国语学校 励一敏

在二期课改教材七年级（下）实数一章中，有关一个正数a的正的平方根（又称算术平方根，记作“a” ）的问题一直是学生最容易出错的知识点，产生错

误的根源在于学生对算术平方根的意义理解不够深刻，忽视根式中的隐含条件，导致计算出错。

3[例1]化简a的结果是 …………………………………………（ ）

（A）aa （B）aa （C）aa （D）aa

3解：根据算术平方根的含义，被开方数须满足大于等于零，即a0，故a0；

原式

a2aaaaa；选（C）。

3[评注]：如果不注意本例的隐含条件a0，容易误选（A）；另外，在化简二次根式

aa2aa时，经常要用到公式

a0a0。

[例2]把

x1x根号外的因式移到根号内得 ………………………（

）

1

（A）x （B）x （C）x （D）x

10x解：本例中隐含条件，即x0；

原式

x1112xx2xxxx；选（D）。

2[评注]公式abab成立的条件是a0，也就是说，当根号外的因式为非负数时，

可以将它平方后移到根号内作为因式。本例中，根号外的因式x为负数，因此须将其变形为x，然后将x平方后移到根号内。

[例3]已知x、y满足

yx299x23x3，求xy的值。

2x902x9x32解：由题设，9x0；

又x30，得x3；

∴x3

∴

y0031332

13322。 ∴原式

2

在根式a中，非但满足a0，且a的值也是非负数，我们称a具有“双非负性” 。下面的例子充分运用了a的“双非负性” ，构思十分巧妙。

1a[例4]已知

xa22ax4x。 ，化简

解：对

x1aa两边平方得，

x112ax2aaa； ，故

22112a2x24a2a4a2aaa原式

在

x1aa1中，由于x0，所以aa01a，即

a0；

∴1a0a1。

由题设，a0，

10a。

∴0a1，即

a∴原式

aa11aa1a2aa。

2[评注]如不注意审题忽略隐含条件0a1，易误得答案为a1。

（适合于二期课改教材七年级第二学期）

3