2023-2024学年上海市高一上册期末数学试题6(含解析)

一、填空题1．若扇形的弧长为2π，半径为2，则该扇形的面积是__________【正确答案】2π

【分析】根据扇形面积公式求得正确答案.1

【详解】依题意，扇形的面积为2π22π.2故2π

2．已知一元二次方程x2axa0(a0)的两个实根为x1、x2，则【正确答案】112

【分析】先利用韦达定理得到x1x2,x1x2，再由xxxx代入即可求解.1212

11____x1x211xx【详解】因为一元二次方程x2axa0(a0)的两个实根为x1、x2，所以x1x2a,x1x2a.故11x1x2a1x1x2x1x2ax2

的定义域是__________.x1故13．函数ylog2【正确答案】(,2)(1,)【分析】先利用对数式中真数为正得到求解.【详解】要使ylog2x2x20，有意义，须x1x1x20，再将分式不等式化为一元二次不等式进行x1即(x2)(x1)0，解得x1或x<2，即函数ylog2x2

的定义域是(,2)(1,).x1故答案为.(,2)(1,)

4．已知cos160m，则tan20__________1m2【正确答案】m【分析】根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求得sin20的值，进而求得cos20的值.【详解】因为cos160m，所以cos20cos160m，所以sin201cos2201(m)21m2，sin201m21m2所以tan20.cos20mm

1m2故

m∣xA且xB}，5．定义AB{x若A1,3,5,7,9,B2,3,5，则【正确答案】1,2,7,9ABBA______【分析】根据题目定义，分别求得AB1,7,9和BA2，再利用并集运算即可得出结果.∣xA且xB}的定义可知，【详解】根据集合AB{x

当A1,3,5,7,9,B2,3,5时，可得AB1,7,9，BA2；所以ABBA1,2,7,9故1,2,7,96．将函数y2x的图象向左平移__________个单位可得到函数y32x的图象.【正确答案】log23

【分析】根据指数对数的运算知y32x2log232x2xlog23，即可求解.【详解】因为y32x2log232x2xlog23，所以将函数y2x的图象向左平移log23个单位可得函数y32x的图象.故log23

7．当lgalgb，ab时，则【正确答案】23【分析】由lgalgb且a¹b，得出ab1，用均值不等式即可得出答案．【详解】lgalgb，且a¹b，而函数ylgx在0,上单调递增，13

的最小值是__________．ablgablgalgb0，即ab1，且a0，b0，1313223，abab133当且仅当，即b3，a时，等号成立，ab3故232

8．已知关于x的方程x6x5a有四个不相等的实数根，则a的取值范围___________.【正确答案】(0,4).2

【分析】由题知转化为函数yx6x5与ya有4个不同的交点，画出函数yx26x5的图像即可求出a的取值范围.2

【详解】方程x6x5a有四个不相等的实数根，2

等价于函数yx6x5与ya有4个不同的交点.2

由函数yx6x5的图像知：a的取值范围为.0a4故(0,4)

本题主要考查方程的根的问题，转化为函数的交点问题为解题的关键，属于中档题.1,x为有理数

yD(x)9．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该

0,x为无理数

C(x3,D(x3))，函数被称为狄利克雷函数．若存在三个点A(x1,D(x1))、B(x2,D(x2))、使得ABC

为等边三角形，则D(x1)D(x2)D(x3)________．【正确答案】1【分析】由狄利克雷函数分析得出ABC的位置有两种情况，逐一分析即可得出答案．【详解】yD(x)

1,x为有理数

，0,x为无理数

D(x)0或1，存在三个点A(x1,D(x1))、B(x2,D(x2))、C(x3,D(x3))，使得ABC为等边三角形，D(x1),D(x2),D(x3)不同时为0或1，不妨设x1x2x3，分析得ABC的位置有两种情况，第一种情况：当x1为有理数时，即D(x1)1，如图，过点B作BDAC，垂足为D，得BD1，AD

323，ABACBC，33可知，x2x1ADx1323为无理数，x3x1为无理数，33即D(x2)0，D(x3)0，与图形不一致，舍去；第二种情况：当x1为无理数时，即D(x1)0，如图，过点B作BDAC，垂足为D，得BD1，AD可知，x2x1ADx1存在x1323，ABACBC，33323，x3x1，3333233，使得x2x1为无理数，0Q，且x3x13333即D(x2)1，D(x3)0与图形一致，符合题意，此时，D(x1)D(x2)D(x3)0101，故1．10．已知函数fx1lnx在0,1是严格增函数，在1,上为严格减函数，若对任意xx0,，都有xkex，则k的取值范围是_________1

【正确答案】,

e

【分析】根据函数的单调性求出函数最大值可求出lnxx的最大值，对xkex两边取自然对数，分离lnk，利用不等式恒成立求解即可.【详解】因为fx所以f(x)

1lnx在0,1是严格增函数，在1,上为严格减函数，x1lnx

f(1)1.x由x0，可得lnxx1，又x0,时，由xkex可得lnxln(kex)lnkx，即lnxxlnk恒成立，1

所以lnk1，即k≥.e1故,e

二、单选题11．若为第三象限角，则（A．cos20【正确答案】C利用为第三象限角，求2所在象限，再判断每个选项的正误.【详解】因为为第三象限角，所以2k可得24k234k所以2是第第一，二象限角，所以sin20，cos2不确定，32kkZ，2）C．sin20

D．sin20

B．cos20

kZ，故选：C本题主要考查了求角所在的象限以及三角函数在各个象限的符号，属于基础题.12．已知定义域为R的函数yf(x)满足：①对任意x,yR，f(xy)f(x)f(y)恒成立；②若xy则f(x)f(y).以下选项表述不正确的是（．．．A．yf(x)在R上是严格增函数C．若f(6)100，则f(3)【正确答案】A【分析】根据给定条件，探讨函数f(x)的性质，再举例判断A；取值计算判断B，C；借助均值不等式求解判断D作答.【详解】任意x,yR，f(xy)f(x)f(y)恒成立，aR且a0，假设f(a)0，则有f(2a)f(aa)f(a)f(a)0f(a)，1

10）B．若f(3)10，则f(6)100

D．函数F(x)=f(x)+f(-x)的最小值为2显然2aa，与“若xy则f(x)f(y)”矛盾，假设是错的，因此当aR且a0时，f(a)0，取xa0,y0，有f(a)f(a)f(0)，则f(0)1，于是得xR，f(x)0，xR，f(x)f()[f()]20，f(x)f(x)f(0)1，1xy1x1y1x对于A，函数f(x)()，x,yR，f(xy)()()()f(x)f(y)，22221x并且当xy时，f(x)f(y)，即函数f(x)()满足给定条件，而此函数在R上是严格减2x2x2x2函数，A不正确；对于B，f(3)10，则f(6)f(3)f(3)100，B正确；f(-3)=1，因对于C，f(6)100，则f(3)f(3)100，而f(3)0，有f(3)10，又f(3)×

此f(3)

1

，C正确；10对于D，f(x)f(x)1，f(x)0，则有F(x)=f(x)+f(-x)匙2f(x)f(-x)=1，当且仅当f(x)=f(-x)=1，即x0时取等号，所以函数F(x)=f(x)+f(-x)的最小值为2，D正确.故选：A关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可.13．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠病毒感染累计人数It（t的单位:天）的Logistic模型:ItK1e0.23t53其中K

为最大病毒感染数.当It0.95K时，标志着该地区居民工作生活进入稳定窗口期.在某地区若以2022年12月15日为t1天，以Logistic模型为判断依据，以下表述符合预期的选项是（）A．该地区预计2023年元旦期间进入稳定窗口期;B．该地区预计2023年1月底进入稳定窗口期;C．该地区预计2023年2月中下旬进入稳定窗口期;D．该地区预计2023年某时刻不起再有新冠病毒感染者.【正确答案】C【分析】根据条件列不等式，解指数型不等式即可.【详解】由题意知，即：1e

0.23(t53)

K1e0.23(t53)0.95K，

20

，19所以t53ln19353531366，0.230.23因为以2022年12月15日为t1天，所以t66天，即预计2023年2月18日后该地区进入稳定窗口期，即该地区预计2023年2月中下旬进入稳定窗口期.故选：C.14．已知函数fxlog3mx2xm，定义域为A，值域为B.则以下选项正确的是（2）A．存在实数m使得ABRB．存在实数m使得ABRC．对任意实数1m0,ABD．对任意实数m0,AB【正确答案】D【分析】设ymx22xm，考虑m1，m1，0m1，m0，1m0，m1几种情况，分别计算集合A和B，再对比选项得到答案..【详解】设ymx22xm，当44m20，即1m1时，设对应方程的两根为x1，x2，不妨取x1x2，当m1时，44m20，AR，BR且B；当m1时，A,11,，BR；当0m1时，44m20，A,x1x2,，BR；当m0时，A,0，BR；当1m0时，44m20，Ax1,x2，ymaxm当m1时，函数无意义.对选项A：根据以上情况知不存在ABR的情况，错误；对选项B：根据以上情况知不存在ABR的情况，错误；对选项C：假设任意实数1m0，AB，取m

111513，解得m，则B,2，m9182

11，故B,log3m；mm244m2对于mx2xm0，有x1，2m4244m2此时应满足x12，解得m0，52m易得m

1513不在此范围内，假设不成立，此时AB，错误；18对选项D：根据以上情况知对任意实数m0,AB，正确；故选：D关键点睛：本题考查了对数型复合函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据二次函数的开口方向和的正负讨论a的范围，进而计算集合A和B是解题的关键，分类讨论的方法是常考方法，需要熟练掌握.三、解答题15．如图所示：角为锐角，设角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P,cos

π2

，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Qx1,y1.32(1)求tan的值;(2)求y1的值.【正确答案】(1)(2)2352【分析】（1）确定sin0，计算sin（2）设终边OQ对应的角度为，则

sin5，根据tan得到答案.cos3π

，y1cos，计算得到答案.2【详解】（1）角为锐角，sin0，costan

sin5.

cos2245，则sin1cos21，393π

（2）设终边OQ对应的角度为，,π，2π2π则，y1sinsincos22316．集合S{fx,x0,∣yfxx为严格增函数}.f1xx1(x0),f2xx(x0)

2

(1)直接写出f1x,f2x是否属于集合S;(2)若mxS.解不等式：e

32x

mex

22x

emex23

(3)Hxaf1xbf2xab0证明：“HxS”的充要条件是“b0,a0”【正确答案】(1)f1x不属于集合S，f2x属于集合S(2)3,1(3)证明见解析【分析】（1）根据定义直接判断即可；（2）由mxS，可得函数y

mxx32xx

为增函数，不等式eme

22x

exme3，即为2不等式mexex

222x

2x

me，再根据函数的单调性解不等式即可；3

e3（3）HxS，即函数y必要条件的定义证明即可.【详解】（1）因为y

f1xxHx在定义域内为增函数，根据函数的单调性结合充分条件和x1

x0在定义域内为减函数，x1

所以f1x不属于集合S，因为y

f2xxxx0在定义域内为增函数，所以f2x属于集合S；（2）不等式e

32x

mex

2x

22x

eme，x23

3

即为不等式mexex

222x

me，e3因为mxS，所以函数y所以ex2mxx为增函数，2xe3，所以x22x3，解得3x1，所以不等式e

32x

mex

22x

exme3的解集为3,1；22

（3）Hxaf1xbf2xbxaxaab0，Hxabxax0，xxa

令gxbxax0，x则当HxS，则gxbx令0x1x2，则gx2gx10对任意的x1,x2恒成立，a

ax0在0,上递增，xbx2

axxaa

abx1abx2x121x2x1x1x2

恒成立，x2x1bx1x2a0x1x2即bx1x2a0恒成立，因为ab0，所以a0,b0，当b0时，x1x2

a

恒成立，ba

0，b因为x1x20，所以又b0,a0，所以a<0，当b0时，x1x2

a

恒成立，ba

不恒成立，与题意矛盾，b因为x1x20没有最大值，所以x1x2综上所述，当gxbx当b0,a0时，则函数ybx,y

a

ax0在0,上递增时，b0,a0，x

a

a在0,上都是增函数，xa

ax0在0,上是增函数，x所以函数gxbx

综上所述，“HxS”的充要条件是“b0,a0”.关键点点睛：解决本题的关键在于把握新定义的含义，以及函数单调性的判定及利用函数的单调性解不等式.