一元二次方程综合复习(含知识点和练习)(含答案)

一元二次方程

本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节是本章的起始内容，主要学习下列三个内容：

建立一元二次方程

此内容是本节课的难点之一，在后续的内容中将继续学习，为此设计较易的[拓展应用]的例4及其变式题， [课时作业]的第6、7题。

１．一元二次方程的概念

此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计[拓展应用]的例1、例3，[当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。

2.一元二次方程的解的含义

利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计[拓展应用]的例2，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。

点击一：一元二次方程的定义

一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．

针对练习1: 下列方程是一元二次方程的有__________。 （1）x2+

1－5=0 x

（2）x2－3xy+7=0

（3）x+x21=4 （4）m3－2m+3=0 答案： （5）

（5）

2x2－5=0 2（6）ax2－bx=4

针对练习2: 已知（m+3）x2－3mx－1=0是一元二方程，则m的取值范围是 。 答案：一元二次方程二次项的系数不等于零。故m≠－3 点击二：一元二次方程的一般形式

元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），其中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax2+bx+c＝0（a≠0）的一般形式.其中，尤其注意a≠0的条件，有了a≠0的条件，就能说明ax2+bx+c＝0是一元二次方程.若不能确定a≠0，并且b≠0，则需分类讨论：当a≠0时，它是一元二次方程；当a＝0时，它是一元一次方程.

- 1 -

针对练习3: 把方程(1－3x)(x+3)=2x+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.

答案：原方程化为一般形式是:5x2+8x－2=0(若写成－5x2－8x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).

点击三：一元二次方程的根的定义的意义

一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则m必然满足该方程，将m代入该方程，便有am2+bm+c＝0（a≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m能使am2+bm+c＝0（a≠0）成立，则m一定是ax+bx+c＝0的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果.

针对练习3: 若m是方程x2+x－1＝0的一个根，试求代数式m3+2m2+2009的值. 答案： m3+2m2+2009＝m3+ m2+m2+2009＝m（m2+ m）+ m2+2009＝m+ m2+2009＝1+2009＝2010.

类型之一：一元二次方程的定义

例1.关于x的方程mx3xxmx2是一元二次方程，m应满足什么条件？ 【解析】先把这个方程变为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.

【解答】由mx－3x=x－mx+2得到（m－1）x+（m－3）x－2=0,所以m－1≠0，即m≠1.所以关于x的方程mx3xxmx2是一元二次方程，m应满足m≠1.

【点评】要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了.当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程.

类型之二：考查一元二次方程一般形式

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数c叫做常数项．只有将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项．这里特别要注意各项系数的符号。

例2一元二次方程（x+1）2－x==3（x2－2）化成一般形式是 .

【解析】一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），对照一般形式可先去括号，再移项，合并同类项，得2x2－x－7=0。

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222

2

2

2

2

2

22

【解答】2x－x－7=0

类型之三：考查一元二次方程的解

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。

例3已知关于x的一元二次方程（m－2）x+3x+（m－4）=0有一个解是0，求m的值。 【解析】；因为0是方程的解，所以m2－4=0，m=±2。又因为方程是关于x的一元二次方程，所以二次项系数m－2≠0、m≠2，所以m的值是－2。

【解答】m=－2

【点拨】本题逆用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m－2≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析。

类型之四：综合应用 例4. 已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是 （只需写出一个方程）

【解析】这是一道结论开放题，答案不唯一，解这类题的一般思路有两种：一种思路是根据根的定义，写一个含有1的等式，例如512130，再把1换成x：

22

2

2

5x22x30；也可根据等式性质，由x=1，可得x+2=1+2，两边再平方得(x2)29即可。

【解答】答案不唯一。例如：(x2)29等。 1.下列方程中的一元二次方程是( ) A.3(x+1)2=2(x－1) B.

11+－2=0 2xxC.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=(x+1)(x－1) 【解析】A 注意一元二次方程中二次项系数不能为0,并且最高为二次. 2.把方程－5x2+6x+3=0的二次项系数化为1,方程可变为( ) A.x2+

636363x+=0 B.x2－6x－3=0 C.x2－x－=0 D.x2－x+=0 555555【解析】C 注意方程两边除以－5,另两项的符号同时发生变化. 3. 已知关于x的方程(m－3)xm27－x=5是一元二次方程，求m的值.

【解析】利用一元二次方程的定义，要注意二次项系数不为0的条件.

【解答】由题意,得m2－7=2且m－3≠0，所以只能取m=－3，即当m=－3时，方程(m

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－3)xm27－x=5是一元二次方程.

1.将方程3x＝2x－1化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是( )

A. 3,2,－1 B. 3,－2,－1 C. 3,－2,1 D. －3,－2,1 【解析】C 将方程3x2＝2x－1化成一元二次方程的一般形式，可化为3x2－2x＋1＝

2.下列方程中，是关于x的一元二次方程的有___________. ①x2＋2x＋y＝1 ②－5x2＝0 ③2x2－1=3x ④（m2＋1）x＋m2＝6 ⑤3x3－x＝0 ⑥x2+

2

1－1=0 x【解析】判断一个方程是否是一元二次方程,必须具备以下三个条件：①方程中只含有一个未知数；②方程中未知数的最高次数是2；③方程两边都是关于未知数的整式方程

【答案】②③

3.已知方程(m+2)x+(m+1)x－m=0，当m满足__________时，它是一元一次方程；当m满足___________时，它是二元一次方程.

【解析】当m＋2＝0，m＝－2时，方程是一元一次方程；当m＋2≠0，m≠－2时，方程是二元一次方程.

【答案】m＝－2 m≠－2

4.把方程x(x+1)=4(x－1)+2化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.

【解析】题中方程不是一般形式，应先去括号、移项、合并同类项，将方程化为一般形式.在化的时候，移项要变号，合并同类项要准确.

【解答】一般形式为x2－3x+2=0，它的二次项系数为1，一次项系数为－3，常数项为2. 2

2

1. a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足a1+(b－2)+|a+b+c|=0，

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求满足条件的一元二次方程.

【解析】此题关键是理解算术根、完全平方数和绝对值的意义，即a1≥0，(b－2)2≥0，|a+b+c|≥0，只有使各项为0时，其和才为0.本题考查了对已学知识的掌握情况，同时与新学的一元二次方程知识密切联系.

【解答】由a1+(b－2)+|a+b+c|=0，

2

a10,得b20,解得a=1,b=2,c=－3. abc0.∵a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项， ∴所求的方程为x2+2x－3=0. 课时作业：

A等级

1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）． （A）x2－

1=1 （B）x2+y=2 （C）2x2=2 （D）x+5=（－7）2 x2．方程3x2=－4x的一次项系数是（ ）．

（A）3 （B）－4 （C）0 （D）4

3．把一元二次方程（x+2）（x－3）=4化成一般形式，得（ ）．

（A）x2+x－10=0 （B）x2－x－6=4 （C）x2－x－10=0 （D）x2－x－6=0 4．一元二次方程3x2－3x－2=0的一次项系数是________，常数项是_________． 5．x=a是方程x2－6x+5=0的一个根，那么a2－6a=_________． 6．根据题意列出方程：

（1）已知两个数的和为8，积为12，求这两个数．如果设一个数为x，•那么另一个数为________，根据题意可得方程为___________．

（2）一个等腰直角三角形的斜边为1，求腰长．如果设腰长为x，根据题意可得方程为______________． 7．填表：

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方程 x21=2x －x－263y2=0 －（x－2）（2x+3）=6 7x=0 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 8．判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的解： （1）x2+5x+4=0 （x1=－1，x2=1，x3=－4）；

（2）（3x－1）2=3（x+2）2=7－6x （x1=3，x2=2，x3=1，x4=－1）．

9．根据题意，列出方程：

有一面积为60m2的长方形，将它的一边剪去5m，另一边剪去2m，恰好变成正方形，•试求正方形的边长．

10．当m满足什么条件时，方程m（x2+x）=2x2－（x+1）是关于x的一元二次方程？当m 取何值时，方程m（x2+x）=2x2－（x+1）是一元一次方程？

B等级

11．把方程(2x1)x(x1)(x1)化成一般形式是 ．

2- 6 -

12．一元二次方程2x2x6的二次项系数、一次项系数及常数之和为 ． 13．已知x1是方程x2ax60的一个根，则a ．

14．关于x的方程(m1)x22mx30是一元二次方程，则m的取值范围是 ． 15．已知x23x6的值为9，则代数式3x29x2的值为 ． 16．下列关于x的方程：①ax2bxc0；②x2④3xx2中，一元二次方程的个数是（ ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

430；③x24x50；x17．若ax25x30是关于x的一元二次方程，则不等式3a60的解集是（ ） A．a2

B．a2 D．aC．a2且a0

1 218．关于x的一元二次方程(a1)x2xa210的一个根是0，则a的值为（ ） A．1

B．1

C．1或1

D．

1 219．已知2是关于x的方程A．3

B．4

32x2a0的一个解，则2a1的值是（ ） 2C．5

D．6

20．如下图所示，相框长为10cm，宽为6cm，内有宽度相同的边缘木板，里面用来夹相片的面积为32cm2，则相框的边缘宽为多少厘米？我们可以这样来解：

（1）若设相框的边缘宽为xcm，可得方程 （一般形式）； （2）分析并确定x的取值范围； （3）完成表格：

x （1）中axbxc 20 1 2 3 （4）根据上表判断相框的边框宽是多少厘米？

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C等级

21. 关于x2=－2的说法，正确的是 （ ） A.由于x≥0，故x不可能等于－2，因此这不是一个方程 B.x=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程 C.x2=－2是一个一元二次方程

D.x2=－2是一个一元二次方程，但不能解

22. 若x3是方程x3mx6m0的一个根，则m的值为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

22

2

2

23．无论a为何实数，下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ） A．(a2－1)x2+bx+c=0 B.ax2+bx+c=0 C． ax+bx+c=0 D.(a+1)x+bx+c=0 24. 方程x2+3x－x+1=0的一次项系数是（ ） A．3 B.－1 C.3－1 D.3x－x

22

2

2

2222kx6xk3x3kx2axbxc0的形式，并指出各项25. 把方程整理为

的系数.

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26. 某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1 185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，则列出方程为_________________________________.

27. 如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边． 如图17②，地毯图案长8

米、宽6米，整个的矩形地毯的面积是40平方米．求花边的宽

28. 若xx20，求2x2x23的值。

(x2x)213

课前预习

1．利用平方根的定义，将方程x49直接开平方，所得方程的解为（ ） A．x2497 B。x497

C．x497 D。x497

2.用配方法解方程x4x20，下列配方正确的是（ ） A．(x2)2

22B．(x2)2 C．(x2)2

22D．(x2)6

2- 9 -

答案：

课时作业：

1．C 2．D 3．C

4．－3；－2 5．－5

6．（1）8－x；x（8－x）=12 （2）x2+x2=1 7．

方程 x2－1=2x x－7x2=0 6－3y2=0 （x－2）（2x+3）=6

2222

一般形式 x－2x－1=0 －7x+x=0 －3y+6=0 2x－x－12=0

二次项系数 1

7 －3 2

一次项系数 －2 1 0 －1 常数项 －1 0 6 －12

8．（1）x1=－1，x3=－4是原方程的解，x2=1不是原方程的解． （2）x1=3，x4=－1是原方程的解，x2=2，x3=1不是原方程的解． 9．设正方形的边长为xm，（x+5）（x+2）=60

10．当m≠2时，原方程是关于x的一元二次方程；当m=2时，原方程是一元一次方程．

11．3x3x20 12．5 13．7

2

14．m1 15．7 16．A 17．C

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18．B 19．C

20．（1）x28x70；（2）0x3；（3）7，0，5，8；（4）1cm． 21. D 22. C 23. D 24. C

25. (2k－3) x+（3k－6）x+ k+2=0,二次项系数2k－3，一次项系数3k－6，常数项k+2。 26. 1 185(1x)2580 27. (8－2x)(6－2x)=40

28. 23 （提示：在利用方程解有关代数式求值问题时,可用整体代入的方法求解,把

32

x2x20变为x－ x=2代入代数式中求值.）

2

课前预习 1. C 2. D

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