人教版数学八年级下册第十七章利用勾股定理确定最短问题

利用勾股定理确定最短问题

我们知道，两点之间线段最短，但这两点之间的距离往往要通过适当的知识求出其大小，现介绍一种方法，用勾股定理确定最短问题.

例1〔恩施自治州〕如图1，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是〔 〕

A.521 B.25 C.105+5 D.35

15 图1

B 5 C 20 A 10 ①

②

图2

③ ④

分析 根据“两点之间，线段最短〞和“勾股定理〞，蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点A爬到点B，较短爬行路线有如图2所示的4条粗线段表示的距离.可以通过计算得知最短的是第2条.

解 依题意蚂蚁要沿着长方体的外表从点A爬到点B，有如图2所示的4种粗线情形，其中图①中粗线的长度为的52302＝537，图②中粗线的长度为的152202＝25，图③中粗线的长度为的102202+5＝105+5，图④中粗线的长度为的5+20+10＝35，显然35＞537＞105+5＞25.故应选B.

说明 在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形，即转化为外表展开图来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论.

例2〔青岛市〕如图1，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开场经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm；如果从点A开场经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm.

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分析 要求最短细线的长，得先能确定最短线路，于是，可画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得.假设从点A开场经过4个侧面缠绕n圈到达点B，即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n(3+1+3+1)，同样可以用勾股定理求解.

解 如图2，依题意，得从点A开场经过4个侧面缠绕一圈到达点B时，最短距离为AB，此时，由勾股定理，得AB＝6282＝10，即所用细线最短为10cm.

假设从点A开场经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n(3+1+3+1)，即8n，由勾股定理，得628n＝236n2，即所用细线最短为36n2cm，或2916n2cm. 说明 对于从点A开场经过4个侧面缠绕n圈到达点B的最短细线不能理解为就是n个底面周长.

例3〔泸州市〕在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时 (即

50米／秒)，并在离该公路1003米处设置了一个监测点A.在如下图的直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在A的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y轴上，AO为其中的一段.

〔1〕求点B和点C的坐标；

〔2〕一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?〔参考数据：3〕

〔3〕假设一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公

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路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?

分析〔1〕要求点B和点C的坐标，只要分别求出OB和OC即得.〔2〕由〔1〕可知BC的长度，进而利用速度公式求得并与

50比拟即可.〔3〕为了求解，3可设大货车行驶到某一时刻行驶了x米，那么此时小汽车行驶 了2x米，于是利用勾股定理可求出x的表达式进而求得.

解〔1〕在Rt△AOB中，因为∠BAO＝60°，所以∠ABO＝30°，所以OA＝而OA＝100，所以AB＝200，由勾股定理，得OB＝

1AB， 2AB2OA2＝

20021002＝1003. Rt△AOC中，∠CAO＝45°，所以OC＝OA＝100，所以B(－1003，0)，C(100，0).

〔2〕因为BC＝BO+CO＝1003+100，所以所以这辆车超速了.

〔3〕设大货车行驶到某一时刻行驶了x米，那么此时小汽车行驶 了2x米，且两车的距离为y＝

100310050≈18＞，

153100x1002x22＝5x602000，显然，当x

2＝60时，y有最小值是2000＝205米，即两车相距的最近距离为205米.

说明 此题在求最近距离时，一定要注意正确理解代数式的意义，注意到(x－60)2的最小值是0.

例4〔恩施自治州〕恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险〞著称于世.著名的恩施大峡谷〔A〕和世界级自然保护区星斗山〔B〕位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB＝50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一效劳区P，向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图〔AP与直线X垂直，垂足为P〕，P到A、B的距离之和S1＝PA+PB，图2是方案二的示意图〔点A关于直线X的对称点是A′，连接BA′交直线X于点P〕，P到A、B的距离之和S2＝PA+PB.

〔1〕求S1、S2，并比拟它们的大小；

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〔2〕请你说明S2＝PA+PB的值为最小；

〔3〕拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一效劳区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.

C 图1

Y B A P X M P 图2

B C B′ Q X G O B A P A′ 图3

A A′ X 分析 为了便于运用勾股定理求解有关线段的长，可适当引垂线，并结合对称等几何知识即可求解.

解〔1〕如图1中，过B作BC⊥AP，垂足为C，那么由勾股定理，得PC＝

5024010＝40.在Rt△PBC中，由勾股定理，得BP＝BC2PC2＝

2402402＝402.

所以S1＝402+10〔km〕.

如图2中，过B作BC⊥AA′垂足为C，由轴对称知PA＝PA′，那么A′C＝50，又BC＝40，

所以由勾股定理，得BA′＝402502＝1041， 所以S2＝BA′＝1041〔km〕.显然，S1＞S2.

〔2〕如图2，在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA′，由轴对称知MA＝MA′，所以MB+MA＝MB+MA′＞A′B，所以S2＝BA′为最小.

〔3〕过A作关于X轴的对称点A′，过B作关于Y轴的对称点B′，连接A′B′，交X轴于点P，交Y轴于点Q，那么P，Q即为所求.

过A′、B′分别作X轴、Y轴的平行线交于点G.

由勾股定理，得A′B′＝1002502＝505，所以所求四边形的周长为

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(50+505)km. 说明 此题既是一道对图形的操作题，又是一道利用勾股定理进展方案设计的试题，求解时一定要注意动手动脑，发挥想象，防止错误的出现.

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