人教版九年级上册数学复习资料

第一章 一元二次方程

册考点

1、一元二次方程的概念：

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程。一元二次方程的解就叫一元二次方程的根。

2、一元二次方程的一般形式：a2x+bx+c=0(a、b、c分别为二次项系数；一次项系数；常数项)

3、三种解一元二次方程的方法： (1)、配方法

例：2x2+1=3x(解法在课本P7) (2)、公式法 求根公式：

;判别式公式：△

（3）、因式分解法（包括：提公因式法；完全平方公式及平方差公式法；十字相乘法） 例：3x2+6x=0; x2-4x+4=0; 9X2-1=0; X2-5X+6=0 解:3x(x+2)=0 解:（x-2）2=0 解:(3x-1)(3x+1)=0 解:(x+2)(x-3)=0 x1=0;x2=-2 x1=x2=2 x1= ;x2= x1=-2;x2=3 4、韦达定理

如果方程a2x+bx+c=0有两根：x1与x2，那么x1+x2= ;x1.x2= 5、用一元二次方程解实际问题（应用题）

步骤：1、根据题意设未知数（x）;2、根据题中数量关系列一元二次方程；

3、

解方程（不符合题意的解舍去）；4、做答

第二章 二次函数

知识点一：二次函数的定义

1．二次函数的定义：

一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数． 其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

知识点二：二次函数的图象与性质抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点 2. 二次函数yaxhk的图象与性质

（1）二次函数基本形式yax2的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小 （2）yax2c的图象 与性质：上加下减

（3）yaxh的图象与性质：左加右减

22

（4）二次函数yaxhk的图象与性质

23. 二次函数yax2bxc的图像与性质

b4acb2b （1）当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，． 2a4a2a当xbbb时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x时，2a2a2a4acb2． y有最小值

4ab4acb2b （2）当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为，． 2a4a2a当xbbb时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，2a2a2a4acb2． y有最大值

4a4. 二次函数常见方法指导 （1）二次函数yax2bxc图象的画法 ①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线）

利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点 坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.

②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y轴的交点，顶点. （2）二次函数图象的平移 平移步骤：

k； ① 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，2② 可以由抛物线ax2经过适当的平移得到具体平移方法如下：

向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位③ 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． y=ax2y=ax2+k（3）用待定系数法求二次函数的解析式 向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位①一般式：②顶点式：③交点式：

y=a(x-h)2.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.

向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

.已知图象与轴的交点坐标

、

，通常选择交点式.

（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4acb2b4acb22（，）①公式法：yaxbxcax，∴顶点是，对称轴是

2a4a2a4a2直线xb. 2a②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxh2k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线xh.

③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

（5）抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用

①a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样. ②b和a共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线x如果b0时，对称轴为y轴；

b

0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧； ab如果0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

ab，故 2a如果

③c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置

当x0时，yc，所以抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，c），故 如果c0，抛物线经过原点； 如果c0,与y轴交于正半轴； 如果c0,与y轴交于负半轴.

知识点三：二次函数与一元二次方程的关系

5.函数yax2bxc，当y0时，得到一元二次方程ax2bxc0，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时

，则方程有两个不相等实根；

，则方程有两个相等，则方程没有实根.

通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：

的图象 的解 方程有两个相等实数解 方程有两个不等实数解 方程没有实数解 6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识

（1）y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c).

（2）与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,

ah2bhc).

（3）抛物线与x轴的交点

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一

元二次方程ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切； ③没有交点0抛物线与x轴相离. （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点

的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根. （5）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像Gykxn的交点，由方程组的解的数目来确定： 2yaxbxc ①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;

②方程组只有一组解时l与G只有一个交点； ③方程组无解时l与G没有交点.

（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x轴两交点为

Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的两个根，故

知识点四：利用二次函数解决实际问题

7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；

(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；

(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.

第三章 旋转

知识点一 旋转的概念

1.旋转的定义：把一个图形绕着某一O转动一个角度的图形变换叫做旋转 点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角

.如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点 .重点突出旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度 2.旋转的性质：

(1)对应点到旋转中心的距离相等；

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

(3)旋转前后的图形全等 3.作图：

在画旋转图形时，要把握旋转中心与旋转角这两个元素 .确定旋转中心的关键是看图形

在旋转过程中某一点是“动”还是“不动”，不动的点则是旋转中心；确定旋转角度的方

法是根据已知条件确定一组对应边，看其始边与终边的夹角即为旋转角 作图的步骤：

1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；?

(2)把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；

?(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； 第一章

?(4)连接所得到的各对应点.

知识点二、中心对称与中心对称图形

?1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 2.中心对称的两条基本性质：

(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．

(2)关于中心对称的两个图形是全等图形． 3.中心对称图形

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么 这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．?

?4.中心对称和中心对称图形的区别与联系 ? 中心对称 中心对称图形

区别 ?①指两个全等图形之间的相互位置关系 ①指一个图形本身成中心对称 ②对称中心不定 ②对称中心是图形自身或内部的点

联系：?如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．

?如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． ?5.?关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即P(x,y)关于原点的对称点Q(-x,-y)的坐标为，反之也成立 知识点三、平移、轴对称、旋转 ?1.平移、旋转、轴对称之间的对比 三、规律方法指导

1.在学习了图形平移、轴对称的基础上，学习图形旋转的有关知识，要注意处理好如 下三个问题：

(1)先复习图形平移、轴对称的有关内容，学习时要采用对比的方法；

?(2)在对图形旋转性质探索过程中，要从图形变换前后的形状、大小和位置关系上入手

分析，发现图形旋转的特性、对应关系、旋转中心和旋转方向；

(3)利用旋转设计简单的图案，通过具体画图操作，掌握旋转图形的方法、技巧 2.学习中心对称时，注意采用如下方法进行探究：

(1)实物分析法：观察具体事物的特征，结合所学知识，分析它们的共同特征和联系； (2)类比分析法：中心对称是一个图形旋转180°后能和另一个图形重合，离不开旋转的知识，因此要类比着进行学习，以提升对图形变换知识的掌握；

(3)理论联系实际：在学习中可以通过具体画图操作，以及对具体事物的分析、归纳总 结出中心对称的有关知识

第四章 圆

考点一、圆的相关概念

1、圆的定义

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、圆的几何表示

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦

连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB） （2）直径

经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD） 直径等于半径的2倍。 （3）半圆

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“

”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 考点三、垂径定理及其推论(重要)

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 *推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 考点四、圆的对称性

1、圆的轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1、圆心角

顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 考点六、圆周角定理及其推论

1、圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 第五章

2、圆周角定理（重要）

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2(△)：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 考点七、点和圆的位置关系

设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d 则有：dr点P在⊙O外。

考点八、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下：

（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；

（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：

直线l与⊙O相交dr；

考点九、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补（重要），外角等于它的内对角。 即：在⊙O中， ∵四边ABCD是内接四边形 ∴CBAD180 BD180 DAEC

考点十、切线的性质与判定定理

1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MNOA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）（记住理解即可，不会考证明题） 考点十一、切线长定理

切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PAPB；PO平分BPA（用三角形全等证明） 考点十二、弧长和扇形面积

1、弧长公式

半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：2、扇形面积公式

其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。 3、圆锥的侧面积

其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。 考点十三、圆幂定理（一般不会考）

1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P， ∴PAPBPCPD

2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线 ∴ PA2PCPB

3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割线 ∴PCPBPDPE

第五章 概率初步

1、概率概念：对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）。在一次实验中，共有n种结果，其中事件A中有m种结果发生，即事件A的概率为：P（A） .(n

≥m)

2、事件类型：随机事件（概率大于0小于1）；必然事件（概率等1）；

不可能事件（概率等0）。

3、概率取值范围：0≤P(A)≤1 4、求概率的2种方法： （1）列表法（见课本P137） （2）树状图法（见课本P138） 5、用频数去估计概率的应用：

多次测试求出概率稳定在一个固定值，这个值即为估计概率，一般用于去估计一个大数据的概率进而去估计数量多少。

例：全校共2000名学生，抽样调查100人有20个喜欢跑步，估计全校喜欢跑步的人数为：2000X

=400（人），（

就是估计的概率）。

九年级下册知识点 第一章 反比列函数 第一章 数与式：

1、有理数

①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴：

①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数。 ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。

④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 绝对值：

①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 有理数的运算：

加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。

除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。

混合顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。

2、实数

无理数：无限不循环小数叫无理数 平方根：

① 如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。

② 如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根 ③ 一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。 ④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 立方根：

① 如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根 ② 正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。 ③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 实数：

①实数分有理数和无理数。

②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。 ③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。

3、代数式

代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项：

①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。 ②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。

③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

4、整式与分式

整式：

① 数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。

② 一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。 ③ 一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。 整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。 幂的运算： AM*AN=AM+N (AM)N=AMN （A/B）N=AN/BN AM/AN=AM-N 整式的乘法：

① 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。

② 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

③ 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式两条：平方差公式/完全平方公式 整式的除法：

① 单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。 ② 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。 分式：

① 整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。

② 分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。 分式的运算：

乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。

加减法：

①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 ②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。 分式方程：

① 分母中含有未知数的方程叫分式方程。 ② 使方程的分母为0的解称为原方程的增根。 ③