二次方程根的分布情况归纳精品2

昆明市第十四中学数学组 李如方 E-mail: ecnulotus@126.com 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

1、一元二次方程axbxc0根的分布情况

设方程axbxc0a0的不等两根为x1,x2且x1x2，相应的二次函数为fxaxbxc0，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

222表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

分布情况两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0x10x2 x10,x20 x10,x20 a0a0 大致图象（） 0b0 2af00 得出的结论0b0 2af00f00 大致图象（） 0b0 2af00 得出的结论0b0 2af00f00 综合结论（不讨论a0b0 2aaf000b0 2aaf00af00 ） 昆明市第十四中学数学组 李如方 E-mail: ecnulotus@126.com 表二：（两根与k的大小比较）

分布情况两根都小于k即 x1k,x2k 两根都大于k即 x1k,x2k 一个根小于k，一个大于k即 x1kx2 a0a0 大致图象（） kkk 0bk 2afk0 得出的结论0bk 2afk0fk0 大致图象（） 0bk 2afk0 得出的结论0bk 2afk0fk0 综合结论（不讨论a0bk 2aafk00bk 2aafk0afk0 ） 昆明市第十四中学数学组 李如方 E-mail: ecnulotus@126.com 表三：（根在区间上的分布）

分布情况两根都在m,n内 两根有且仅有一根在m,n内 一根在m,n内，另一根在p,q（图象有两种情况，只画了一种） 内，mnpq a0a0需满足的条件是

大致图象（） 0fm0fn0 bmn2a ffff mnpq0000得出的结论fmfn0 或ffmfn0 pfq0 大致图象（） 0fm0fn0 bmn2a ffff 得出的结论mnpq0000fmfn0 或ffmfn0 pfq0 综合结论（不讨论a—————— fmfn0 fmfn0 fpfq0） 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m,n外，即在区间两侧x1m,x2n，（图形分别如下）

昆明市第十四中学数学组 李如方 E-mail: ecnulotus@126.com

（1）a0时，ffmn00； （2）a0时，ffmn00

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在m,n内有以下特殊情况：

1 若f则此时fmfn0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，m0或fn0，

2可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间m,n内，从而可以求出参数的值。如方程mxm2x20在区间1,3上有一根，因为f10，所以mxm2x2x1mx2，另一根为得

23m2即为所求；

22m，由12m32 方程有且只有一根，且这个根在区间m,n内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数

的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程

x4mx2m60有且一根在区间3,0内，求m的取值范围。分析：①由f23f0320即

14m15m30得出3m1514；②由0即16m42m60得出m1或m322，当

m1时，根x23,0，即m1满足题意；当m时，根x33,0，故m32不满足题意；

综上分析，得出3m

1514或m1

根的分布练习题

例1、已知二次方程2m1x2mxm10有一正根和一负根，求实数m的取值范围。 解：由 2m1f00 即 2m1m1

0，从而得12m1即为所求的范围。

2昆明市第十四中学数学组 李如方 E-mail: ecnulotus@126.com 例2、已知方程2xm1xm0有两个不等正实根，求实数m的取值范围。 解：由

02m18m0m322或m322m1    0  m122m0m0f000m322或m322即为所求的范围。

2

例3、已知二次函数ym2x2m4x3m3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。

解：由 m2f10 即 m22m10  2m

例4、已知二次方程mx2m3x40只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。 解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则f0f10  43m10  m求范围。

（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由0计算检验，均不复合题意，

计算量稍大）

132212即为所求的范围。

即为所

昆明市第十四中学数学组 李如方 E-mail: ecnulotus@126.com 2、二次函数在闭区间m,n上的最大、最小值问题探讨

设fxax 2bxc0a0b2a，则二次函数在闭区间m,n上的最大、最小值有如下的分布情况：

mb2an即b2am,n b2amn mn 图象（1）若（2）若另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。

例1、函数fxax2ax2ba0在2,3上有最大值5和最小值2，求a,b的值。

2解：对称轴x012,3，故函数fx在区间2,3上单调。

f（1）当a0时，函数fx在区间2,3上是增函数，故f（2）当a0时，函数fx在区间2,3上是减函数，故 fxmaxmax

fxmaxfn最大、最小值fxmaxfmfn,fm fxminfn fxminfmbfxminf2a bb2am,n，则fxmaxmax对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：

bbm,n，则fxmaxmaxfm,f,fn，fxminminfm,f,fn； 2a2a2afm,fn，fxminminfm,fn

二次函数在闭区间上的最值练习

xmaxxmin3ab25a1    ；

f22b2b0f3ffxmaxxminff2 3b25a1  

3ab22b3昆明市第十四中学数学组 李如方 E-mail: ecnulotus@126.com 例2、求函数fxx2ax1,x1,3的最小值。

2解：对称轴x0a

（1）当a1时，yminf122a； （2）当1a3时，yminfa1a； （3）当a3时，yminf3106a

改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？

解：（1）当a2时，fxmaxf3106a； （2）当a2时，fxmaxf122a。

2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？

解：（1）当a1时，fxmaxf3106a，fxminf122a；

（2）当1a2时， fxmaxf3106a，fxminfa1a； （3）当2a3时，fxmaxf122a，fxminfa1a； （4）当a3时， fxmaxf122a，fxminf3106a。

2例3、求函数yx4x3在区间t,t1上的最小值。

222解：对称轴x02

（1）当2t即t2时，yminftt4t3； （2）当t2t1即1t2时，yminf21； （3）当2t1即t1时，yminft1t2t

例4、讨论函数fxxxa1的最小值。

2xxa1,xa解：fxxxa12，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为

xxa1,xa2222直线x12，x12，当a12，12a12，a12时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）

昆明市第十四中学数学组 李如方 E-mail: ecnulotus@126.com （1）当a1132时，fxminf2a； 4 （2）当1a1时，fx222minfaa1；

（3）当a12时，fx1minf32a 4

因此， 以上内容是自己研究整理，有什么错误的地方，欢迎各位指正，不胜感激！