高考数学函数综合练习

函数综合练习

一、选择题：

1．设集合A= A． 2．已知

，B=

B．

，则

等于（ ）

C．x | x>－3｝ D．｛x | x<1｝ , 则

是的( )条件.

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3．设 A． 4．曲线 A．

，则

B．

在点 B．

（ ） C．

处的切线方程是（ ）

C．

D．

D．

5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A．

B.

C.

D.

6．有下列四个命题：

①“若x+y=0 , 则x ,y互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1 ,则x + 2x+q=0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 7．若函数 A．＜ 8．当

＜ B．

的定义域是

，则

的取值范围是（ ） D．＜

2

C．

时,在同一坐标系中,函数的图象是（ ）

A B C D 9. 设则称

是

上的一个运算，

是

的非空子集，若对任意

，有

，

对运算封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都

封闭的是（ ）

A．自然数集 B．有理数集 C．整数集 D．无理数集 10．设集合

,则满足

的集合B的个数是（ ）

A．1 B．3 C．4 D．8

11．已知集合M＝｛x| A．

｝，N＝｛y|y＝3x＋1，x∈R｝，则M∩N＝（ ）

2

B．{x|x≥1} C．｛x|x>1｝ D．{x| x≥1或x<0}

12．已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝（ ） A．

B．｛x|0＜x＜3｝ C．｛x|1＜x＜3｝ D．｛x|2＜x＜3｝

13．函数的反函数是（ ）

A． B． C． D．

14．函数的定义域是（ ）

A． B． C． D．

15．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）

A． B． C． D．

16．函数则方程

的根是

的反函数

（ ）

的图象与y轴交于点（如图2所示），

A．4 B．3 C．2 D．1

17．已知函数 A． C．

B． D．

与若

则（ ）

的大小不能确定

密文（加密），接收方由密

例

时，则解密得到的明文

18．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文文

明文（解密），已知加密规则为：明文

对应密文

对应密文

如，明文为（ ） A．

当接收方收到密文

B． C． D．

19．已知是（ ）

是上的减函数，那么 a 的取值范围

A．（0，1） B．（0，） C．， D．

20．函数的定义域是（ ）

A． B． C． D．

，都有

21．已知函数，对任意的两个不相等的实数成立，且

，则

的值是（ ）

A．0 B．1 C．2006！ D．（2006！） 22．函数 A．R B． 23．已知函数

满足

的值域是（ ）

C．（－∞，－3 D．

，对于任意的实数，若

A．

B．

，则函数 C．

都满足

的解析式为（ ） D．

，

2

24．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意

恒成立”的只有（ ）

A． B． C． D．

25．定义在（－∞，+∞）上的奇函数f（x）和偶函数g（x）在区间（－∞，0上的图像关于x轴对称，且f（x）为增函数，则下列各选项中能使不等式f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b）成立的是（ ）

A．a>b>0 B．a0 D．ab<0

26．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，且使与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格： 月份 价格（元/担） 1 68 2 78 3 67 4 71 5 72 6 70 7 则7月份该产品的市场收购价格应为（ ）

A．69元 B．70元 C．71元 D．72元

27．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x和L2=2x,其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ）

A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51

28．如图所示，fi（x）（i=1，2，3，4）是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中任意的x1和x2，任意λ∈［0，1］，f［λx1+（1－λ）x2］≤λf（x1）+（1－λ）f（x2）恒成立”的只有（ ）

2

f1（x） f2（x） f3（x） f4（x） A．f1（x），f3（x） B．f2（x） C．f2（x），f3（x） D．f4（x）

29．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f（x）表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f（x）的图象是（ ）

30．关于的方程

，给出下列四个命题：

①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题

31．若幂函数 32. 如果奇函数

过点

在

，则____________ 时,

, 则

在整个定

义域上的解析式为____________.

33．函数对于任意实数满足条件，若则

________.

34．设函数y＝f（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间［0，1］上的图象为如图14所示的线段AB，则在区间［1，2］上f（x）＝____________.

35．设函数立，则称

的定义域为R，若存在常数m>0，使

对一切实数x均成

为F函数．给出下列函数：

① ⑤

；②；③；④；

是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2均有

．

其中是F函数的序号为_____________________.

36．汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g（即每小时的汽油耗油量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度v（单位：km/h）之间有所示的函数关系

“汽油的使用率最高”（即每千米汽油平均消耗量最小，单位：L/km），则汽油的使用率最高时，汽车速度是____________（L/km）

37．设 38．设

则，则

__________．

的定义域为_____________ ．

2

39．已知函数f (x)是周期为2的函数，当－1f (x)的解析式是____________．

40．已知二次函数y＝f (x)满足f (2x＋3)＝4x＋8x，则f (x)在(－∞, 1]上的反函数是________.

2

三、解答题

41．已知函数

成立. （1）求实数

42．20个下岗职工开了50亩荒地，这些地可以种蔬菜、棉花、水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳力和预计的产值如下： 蔬 菜 棉 花 水 稻 每亩需劳力 每亩预计产值 1100元 750元 600元 满足

的值； （2）解不等式

且对于任意

.

, 恒有

问怎样安排，才能使每亩地都种上作物，所有职工都有工作，而且农作物的预计总产值达到最高？

43. 对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点 已知函

2

数f(x)=ax+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

（1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；

（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

44．已知函数 （1）若

且函数

的值域为

时,

,求

的表达式;

（2）在（1）的条件下, 当的取值范围; （3）设零?

,

且

是单调函数, 求实数k

为偶函数, 判断＋能否大于

45．设函数 （1）求 （2）当

46．已知二次函数

的值； ，

是奇函数（都是整数，且，.

的单调性如何？用单调性定义证明你的结论．

．

（1）若a>b>c， 且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；

（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使池f（m）=－ a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；

（3）若对个不等实根，

．

，方程有2

47．（2011江苏，17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得

四

个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？ （2）若厂商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

48．已知函数

（1）求证：函数是偶函数； （2）判断函数分别在区间

、

上的单调性， （3）若， 求证:

．

并加以证明；

49．设函数 （1）在区间 （2）设集合

之间的关

系，并给出证明； （3）当上方.

时，求证：在区间

上画出函数

.

的图像；

. 试判断集合

和

上，的图像位于函数图像的

50．设f（x）是定义在[0， 1]上的函数，若存在x∈（0，1），使得f（x）在[0， x]

**

上单调递增，在[x，1]上单调递减，则称f（x）为[0， 1]上的单峰函数，x为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法．

（1）证明：对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为

*

含峰区间；若f（x1）≤f（x2），则（x，1）为含峰区间；

（2）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈（0，1），满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r；

（3）选取x1，x2∈（0， 1），x1＜x2，由（I）可确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1），在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，x2）的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

**

参： 一、选择题：

1-10： A A C D C C B C B C 11-20：C D A B A C B B C B 21-28：B C D A A C B A 29．D．

时,阴影部分面积为

个圆减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面

解析：当

积,故此时,即点在直线y=x的下方,故应在C、D

中选；而当时,阴影部分面积为个圆加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,

即

30．B．

解析：据题意可令

,即点（）在直线y=x的上方,故选D．

①，则方程化为②，作出函数

的图象，结合函数的图象可知：

（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根； （2）当0故当t=0时，代入方程②，解得k=0，此时方程②有两个不等根t=0或t=1,故此

时原方程有5个根;当方程②有两个不等正根时，即，此时方程②有两根且均小于

1大于0，故相应的满足方程的解有8个，即原方程的解有8个；当时，方

程②有两个相等正根t＝，相应的原方程的解有4个； 故选B．

二、填空题

31. 2； 32. ； 33．； 34．x； 35．①④⑤；

36．（km/h）； 37．

2

； 38．

.

39．f (x)＝ (x－20)＋1； 40．

三、解答题

41．解析：

（1）由 又 故

知, 恒成立, 有

．

…① ，∴…②

恒成立,

将①式代入上式得: 即 （2） ∴

∴不等式的解集为

, 代入②得

解得:

．

即, ．

, 即故．

42．解析：

设种蔬菜、棉花、水稻分别为x亩，y亩，z亩，总产值为u，

依题意得x+y+z=50，

，则u=1100x+750y+600z=43500+50x.

∴ x0,y=90－3x0,z=wx－400,得20x30, ∴当x=30时，u取得大值43500，此时y=0,z=20.

∴安排15个职工种30亩蔬菜，5个职工种20亩水稻，可使产值高达45000元． 43.解析：

2

（1）当a=1,b=–2时，f(x)=x–x–3

2

由题意可知x=x–x–3，得x1=–1,x2=3

故当a=1,b=–2时，f(x)的两个不动点为–1,3

2

（2）∵f(x)=ax+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有两个不动点，

22

∴x=ax+(b+1)x+(b–1)，即ax+bx+(b–1)=0恒有两相异实根

2

∴Δ=b–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立

2

于是Δ′=(4a)–16a＜0，解得0＜a＜1

故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1 44．解析：

, ∴

恒成立,

（1）∵ 又

∴ ∴

, ∴

.

,

∴

（

2

）

, 当

是单调函数.

或时, 即或时,

（3）∵ ∵ 又 ∴ ∴

＋

是偶函数，∴

设

则

＋能大于零.

.

,

,

45．解析：

（1）由是奇函数，得对定义域内x恒成立，

则

．（或由定义域关于原点对称得

）

对对定义域内x恒成立，即

又

由①得 又

，代入②得

是整数，得

．

，

（2）由（１）知， 当

，

在

，

上单调递增，在

上单调递减.

下用定义证明之. 设

，

则，

因为 ∴ 同理可证

46．解析： （1） ∴

在

，

，故

，在

， 上单调递增．

上单调递减.

的图象与x轴有两个交点.

（2）的一个根，由韦达定理知另一根为

则，

在（1，+∞）单调递增，

，

即存在这样的m使

（3）令

，则是二次函数.

的根必有一个属于

.

47．解析： （1）

（0（2） 所以， 当

时，

，

，

所以，当x=20时，V最大。

此时，包装盒的高与底面边长的比值为

48．解析： （1）当

时，

，

则 ∴

当

时，

，

则 ∴

综上所述，对于 ∴函数

，都有

，

，

是偶函数。

（2）当时，

设 当 当

，则时，

时，

；

，

．

∴函数在上是减函数，函数

时，是偶函数，

， ，则，即

在，

上是增函数。

（3）由（2）知， 当 又由（1）知，函数 ∴当 ∴若 ∴

49．解析： （1）在区间

上函数时，，

，.

，

的图像如图：

（2）方程 由于 在 因此 由于 （3）解法一： 当

时， 在和

的解分别是

和

和

上单调递减，

，

上单调递增，

.

.

.

，

又

，

.

①当，即时，取，

. ，则

.

②当，即时，取时，上，

，，

＝.

.

由①、②可知，当 因此，在区间 解法二： 当

时，

的图像位于函数图像的上方.

.

由 令 在区间点

；

时，

得

，解得

上，当

时，

或

， ， 的图像与函数

的图像只交于一

当的图像与函数

过点是由直线

的图像没有交点. ，

绕点

逆时针方向旋转

如图可知，由于直线 当得到.

因此，在区间

上，

时，直线

的图像位于函数图像的上方.

50．解析：

*

（1）证明：设x为f（x） 的峰点，则由单峰函数定义可知，

f（x）在[0， x]上单调递增，在[x， 1]上单调递减． 当f（x1）≥f（x2）时，假设x（0，x2），则x1*

从而f（x）≥f（x2）>f（x1），这与f（x1）≥f（x2）矛盾，

*

所以x∈（0，x2），即（0，x2）是含峰区间.

当f（x1）≤f（x2）时，假设x（ x2， 1），则x<≤x1*

从而f（x）≥f（x1）>f（x2），这与f（x1）≤f（x2）矛盾，

*

所以x∈（x1， 1），即（x1， 1）是含峰区间. （2）证明：由（I）的结论可知：

当f（x1）≥f（x2）时，含峰区间的长度为l1＝x2； 当f（x1）≤f（x2）时，含峰区间的长度为l2=1－x1； 对于上述两种情况，由题意得

*

*

*

*

**

⑤

①

由①得 1＋x2－x1≤1+2r，即x1－x1≤2r. 又因为x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r， ②

将②代入①得x1≤0.5－r， x2≥0.5－r， ③ 由①和③解得 x1＝0.5－r， x2＝0.5＋r． 所以这时含峰区间的长度l1＝l1＝0.5＋r，

即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r． （3）解：对先选择的x1、x2，x1在第一次确定的含峰区间为（0， x2）的情况下，x3的取值应满足x3＋x1＝x2，

由④与⑤可得 x3=0.32．

，

当x1>x3时，含峰区间的长度为x1．

由条件x1－x3≥0.02，得x1－（1－2x1）≥0.02， 从而x1≥0.34．

因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x1＝0.34，x2＝0.66，

一、选择题

1．函数y＝f（x）的图象与直线x＝－2的公共点数目是（ ） A．0或1 B．1或2 C．1 D．0

2．设集合U ={(x,y)｜x∈R,y∈R},A={(x,y)｜2x-y+m>0},B={(x,y)｜x+y-n ≤0}，那么点

P(2，3)∈A ∩(CUB)的充要条件是( )

A．m>-1且n<5 B．m<-1且n<5 C．m>-1且n>5 D．m<-1且n>5

3．函数f (x)是偶函数，定义域是R，且在[0, ＋∞)上是减函数，则下列各式中正确的是（ ）

A． B．

C．

D．

4．若a＝log 0.70.8，b＝log 0.10.9， c＝1.1，那么 ( ) A．b5．函数

的增区间为（ ）.

0.9

A.

B． C. D.

6．设函数f(x)=，则f(log23)=( )

A．

B． C． D．

7．对于定义在实数集R上的函数，如果存在实数，使，那么叫

做函数的一

不存在好点，那么的取值范围是（ ）

个好点。已知函数

A．

B． C． D．

8．设偶函数

，则

对任意，都有，且当时，

的值是（ ）

A．

B． C． D．

9. 已知命题P：关于的不等式 值范围是( )

的解集为；命题Q：

的取

是减函数.若P或Q为真命题，P且Q为假命题，则实数

A．（1，2） B．1，2） C．（－

10. 为了得到函数

，1 D．（－，1）

的图象，只需把函数上所有点( )

A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

11．函数

的图象大致是( )

A B C D

12. 已知函数对称，记

的图象与函数

（

且

）的图象关于直线

取值范围是( )

．若在区间上是增函数，则实数的

A．

B． C． D．

二、填空题

13. 函数y＝

的定义域是_____.

14. 已知x∈N，f(x)= 14，27，65，

*

，其值域设为D，给出下列数值：-26，-1，9，

则其中属于集合D的元素是_____________.(写出所有可能的数值)

15．函数f (x)＝|x＋3|＋|x－1|＋|x－2|的最小值是_____。

16. 函数范围是_____。

为单调递减的奇函数，若则的取值

17．方程f(x)=x的根称为f(x)的不动点，若函数有唯一不动点，则

_____。

18．若存在常数期为_____。

，使得函数

满足

，则

的一个正周

三、解答题：

=

，方程

两实根的差的绝对值等于

19．已知二次函数2，求实数的值。

20. 设f (x)＝lg(ax－2x＋a) ．

(1) 如果f (x)的定义域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范围； (2) 如果f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范围。

21．已知定义在R上的函数

,f(1)=－2。

（1）求证： （2）求

22. (2011湖北，17)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流速度x的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当次函数． (Ⅰ)当

时，求函数

的表达式；

时，车流速度v是车流密度x的一

在

是奇函数；

上的最大值和最小值。

，满足

，且

时，

2

(Ⅱ)当车流密度为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/每小时)

23. 已知f(x)=ax+bx+cx+d(a≠0)是定义在R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点，若点B的坐标为(2，0)且f(x)在[-1,0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，

3

2

可以达到最大，并求最大值(精确到1辆/每小时)

5]上有相反的单调性 （Ⅰ）求实数c的值；

（Ⅱ）在函数f(x)图象上是否存在一点M(x0,y0)，使f(x)在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐

标；不存在说明理由。

24．已知集合 ①

是同时满足下列两个性质的函数

的全体：

的定义域内存在区间

在其定义域上是单调增函数或单调减函数；②在

，使得在上的值域是是否属于集合

．

？并说明理由．若是，请找出区间

；

（Ⅰ）判断函数 （Ⅱ）若函数

，求实数的取值范围．

参：一、选择题题号 答案 1 A 2 A

3 A 4 A 5 C 6 D 7 A 8 D 9 B 10 A 11 D 12 B 二、填空题

13. x∈；

解析：

≥0，，∴ x∈.

14. -26，14，65；

15．5；

解析：当x≥2时, y=3x, y≥6；

当1≤x<2时, y=x＋4, 5≤y<6； 当－3≤x<1时, y=－x＋6, 59, ∴ 函数的最小值是5.

16．；

解析：

且为奇函数，∴，

上为减函数，

∴

，解之得。

17.

18.

解析：令成立，

则，依题意有，此式对任意都

而

且为常数，因此，说明是一个周期函数，为最小正周期。

三、解答题：

19．解析：

，

∴ 由已知

有两个不等实根

∴

、，且

，

.

∴.

20．解析：

(1) ∵f (x)的定义域是(－∞, ＋∞),

2

∴当x∈(－∞, ＋∞)时,都有ax－2x＋a>0,

即满足条件a>0, 且△=4－4a<0， ∴a>1.

(2) ∵f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，即当x在定义域内取值时，可以使y∈(－∞, ＋∞).

2

必须使ax－2x＋a可以取到大于零的一切值，

2

∴ a>0且△=4－4a≥0，或a＝0, 解得0≤a≤1.

21．解析： （1） 令

则

2

令x=y=0,则f(0)=2f(0), ∴f(0)=0 ∴ ∴ （2）

为奇函数。

，

∴

，

设x122. 解析： (Ⅰ)由题意：当

时，

；当

时，设

．

在

上的最大值为6，最小值为

在

在R上是单调递减的。

上最大值是

，而最小值是

， 。

。

，

再由已知得，解得．

故函数的表达式为

(Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 当

时，

为增函数，故当

时，其最大值为

；

当 当且仅当

时，

，即

时，等号成立．

，

所以，当时，在区间上取得最大值．

综上，当

时，在区间上取得最大值≈3333．

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大， 最大值约为3333辆/小时．

23．解析：

(1)因为f(x)在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性， 所以x=0是f(x)的一个极值点 ∴f′(0)=0,∴c=0

(2)因为f(x)交x轴于点B(2,0)， 所以8a+4b+d=0即d=-4(b+2a)

令f′(x)=0得3ax+2bx=0,解得x1=0,

因为f(x)在[0，2]和[4，5]上有相反单调性，

2

所以-且

即有

假设存在点M(x0,y0),使得f(x)在点M的切线率为3b，则f′(x0)=3b

即3ax0+2bx0-3b=0 所以

2

∵, ∴

故不存在点M(x0，y0),使得f(x)在点M的切钱斜率为3b

24．解析： （Ⅰ） 则

在的定义域是

，

在

上是单调减函数．

．

，∴上的值域是

由 解得或（舍去）或（舍去）

∴ 函数 （Ⅱ）设

属于集合，且这个区间是

是定义域

． 上的增函数．

，则易知

，∴存在区间，满足，．

即方程 法一：

在内有两个不等实根．

方程在内有两个不等实根，

等价于方程 即方程

在

在

内有两个不等实根．

内有两个不等实根．

根据一元二次方程根的分布有

解得．

因此，实数的取值范围是 法二：

．

要使方程在内有两个不等实根，

即使方程 如图：

在内有两个不等实根．

当直线经过点时，，

当直线 得 由

，得

与曲线

，

．

相切时，方程两边平方，

因此，利用数形结合得实数的取值范围是．