青海省西宁市高考数学二模试卷(理科)

2017年青海省西宁市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数

=（ ）

C．﹣2+i

D．﹣1+2i

A．2﹣i B．1﹣2i

2．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}则使M∩N=N成立的a的值是（ ） A．1

B．0

C．﹣1 D．1或﹣1

，且（﹣）⊥，则实数m的值

3．已知平面向量=（﹣2，m），=为（ ） A．

B．

C．

D．

4．同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线

上是增函数．”的一个函数为（ ）

A．

B．

C．

D．

对称；③在

5．某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是（ ）

A．8 B． C．4 D．

|=|

|，抛物线的准

6．抛物线y2=16x的焦点为F，点A在y轴上，且满足|线与x轴的交点是B，则

•

=（ ）

A．﹣4 B．4 C．0 D．﹣4或4

7．在△ABC中，A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的（ ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

8．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如图：

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A．①④③②

B．③④②①

C．④①②③

D．①④②③

），

9．0]上单调递减，a=fb=fc=f若偶函数f（x）在（﹣∞，（log23），（log45），（2则a，b，c满足（ ）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a

10．函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A、B分别为最高点与最低点，且|AB|=2为（ ）

，则该函数图象的一条对称轴

A．x= B．x= C．x=2 D．x=1

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，与直线y=b相切

11．设F1、F2分别是椭圆

的⊙F2交椭圆于E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，则椭圆的离心率为（ ） A．

B．

C．

D．

12．已知定义在R上的函数f（x）满足：（1）f（x）+f（2﹣x）=0，（2）f（x﹣2）

=f（﹣x），（3）在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数

f（x）与函数g（x）=A．5

B．6

C．7

D．8

的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为（ ）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．2016年夏季大美青海又迎来了旅游热，甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时， 甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海； 乙说：我没去过茶卡天空之境； 丙说：我们三人去过同一个地方． 由此可判断乙去过的地方为 ．

14．已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＜5）=0.8，则P（1＜X＜3）= ．

15．如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．

16．已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2为 ．

，那么当该棱锥的体积最大时，它的高

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足4Sn﹣1=an2+2an，n∈N*．

（1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=

，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn＜．

18．为选拔选手参加“中国汉字听写大全”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．

（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，每次抽取1人，求在第1次抽取的成绩低于90分的前提下，第2次抽取的成绩仍低于90分的概率．

19． 如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°． （1）求证：AC⊥平面BDE；

（2）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

20．心率为

（a＞b＞0）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，离，点A是椭圆上任一点，△AF1F2的周长为

．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点Q（﹣4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记若在线段MN上取一点R，使得线上运动，求该定直线的方程．

，

，则当直线l转动时，点R在某一定直

21．已知f（x）=lnx﹣x+a+1

（1）若存在 x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，求a的范围； （2）求证：当x＞1时，在（1）的条件下，

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为

（α为参成立．

数），以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标轴方程为ρcos（θ﹣

）=2

．

（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；

（2）设点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值及其对应的点P的直角坐标．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知：x、y、z是正实数，且x+2y+3z=1， （1）求

的最小值；

（2）求证：x2+y2+z2≥

．

2017年青海省西宁市高考数学二模试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数

=（ ）

C．﹣2+i

D．﹣1+2i

A．2﹣i B．1﹣2i

【考点】A7：复数代数形式的混合运算．

【分析】将分子、分母同时乘以1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i2用﹣1 代替即可． 【解答】解：故选C

2．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}则使M∩N=N成立的a的值是（ ） A．1

B．0

C．﹣1 D．1或﹣1

=﹣2+i

【考点】1E：交集及其运算．

【分析】由M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，M∩N=N，知的值．

【解答】解：∵M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，M∩N=N， ∴

，解得a=﹣1．

，由此能求出a

故选C．

3．已知平面向量=（﹣2，m），=为（ ） A．

B．

C．

D．

，且（﹣）⊥，则实数m的值

【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【分析】由向量的坐标的加减运算求出列式求出m的值． 【解答】解：由所以

再由（a﹣b）⊥b， 所以=所以m=故选B．

4．同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线

上是增函数．”的一个函数为（ ）

A．

B．

C．

D．

，然后直接利用向量垂直的坐标表示

，

=

．

．

．

对称；③在

【考点】H5：正弦函数的单调性；H1：三角函数的周期性及其求法；H6：正弦函数的对称性．

【分析】利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【解答】解：由于y=sin（+

）的最小正周期为

=4π，不满足①，故排除A．

由于y=cos（﹣由于y=cos（2x+故y=cos（2x+

）的最小正周期为），在

=4π，不满足①，故排除B．

∈[﹣

，

]，

上，2x+

）在上没有单调性，故排除C．

=π；

对称；

对于y=sin（2x﹣当

）的最小正周期为

时，函数取得最大值为1，故图象关于直线

在

是增函数，

上，2x﹣∈[﹣，]，故y=sin（2x﹣）在上

故D满足题中的三个条件， 故选：D．

5．某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是（ ）

A．8 B． C．4 D．

【考点】L!：由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图可知，几何体是一个底面是正方形的四棱锥，且一条侧棱垂直于底面．求出底面面积和高，即可求出体积．

【解答】解：由三视图可知，几何体是一个底面是正方形的四棱锥，且一条侧棱垂直于底面．

底面对角线的长为2，底面面积是S=×22=2， 四棱锥高为h=2，

所以它的体积是×2×2=， 故选：D

6．抛物线y2=16x的焦点为F，点A在y轴上，且满足|线与x轴的交点是B，则

•

=（ ）

|=|

|，抛物线的准

A．﹣4 B．4 C．0 D．﹣4或4

【考点】K8：抛物线的简单性质．

【分析】求得抛物线的焦点坐标，由条件可得A的坐标，再由抛物线的准线可得B的坐标，得到向量FA，AB的坐标，由数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．

【解答】解：抛物线y2=16x的焦点为F（4，0）， |

|=|

|，可得A（0，±4），

又B（﹣4，0）， 即有或则有

=（﹣4，4），=（﹣4，﹣4），•

=（﹣4，﹣4） =（﹣4，4）

=16﹣16=0，

故选：C．

7．在△ABC中，A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的（ ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【考点】29：充要条件．

【分析】由A，B，C成等差数列即可得到B=60°，而根据余弦定理即可得到a2+c2﹣b2=ac，这样即可求得（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac，这就说明A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的充分条件；而由（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac，便可得到a2+c2﹣b2=ac，从而根据余弦定理求出B=60°，再根据三角形内角和为180°即可说明B﹣A=C﹣B，即得到A，B，C成等差数列，这样即可找出正确选项．

【解答】解：（1）如图，若A，B，C成等差数列：2B=A+C，所以3B=180°，B=60°；

∴由余弦定理得，b2=a2+c2﹣ac； ∴a2+c2﹣b2=ac；

∴（b+a﹣c）（b﹣a+c）=b2﹣（a﹣c）2=b2﹣a2﹣c2+2ac=﹣ac+2ac=ac； 即（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac；

∴A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的充分条件； （2）若（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac，则： b2﹣（a﹣c）2=b2﹣a2﹣c2+2ac=ac； ∴a2+c2﹣b2=ac；

由余弦定理：a2+c2﹣b2=2ac•cosB； ∴

；

∴B=60°；

∴60°﹣A=180°﹣（A+60°）﹣60°； 即B﹣A=C﹣B；

∴A，B，C成等差数列；

∴A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的必要条件；

∴综上得，A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的充要条件． 故选：C．

8．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如图：

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A．①④③②

B．③④②①

C．④①②③

D．①④②③

【考点】3O：函数的图象．

【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．

【解答】解：根据①y=x•sinx为偶函数，它的图象关于y轴对称，故第一个图象即是；

根据②y=x•cosx为奇函数，它的图象关于原点对称，它在（0，数， 在（

，π）上的值为负数，故第三个图象满足；

）上的值为正

根据③y=x•|cosx|为奇函数，当x＞0时，f（x）≥0，故第四个图象满足； ④y=x•2x，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第2个图象满足， 故选：D．

9．0]上单调递减，a=fb=fc=f若偶函数f（x）在（﹣∞，（log23），（log45），（2则a，b，c满足（ ）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a

【考点】3F：函数单调性的性质；4M：对数值大小的比较．

【分析】由偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，可得f（x）在{0，+∞）上单调递增，比较三个自变量的大小，可得答案．

【解答】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减， ∴f（x）在{0，+∞）上单调递增， ∵2＞log23=log49＞log45，2

＞2，

），

），

∴f（log45）＜f（log23）＜f（2∴b＜a＜c， 故选：B．

10．函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A、B分别为最高点与最低点，且|AB|=2为（ ）

，则该函数图象的一条对称轴

A．x= B．x= C．x=2 D．x=1

【考点】HB：余弦函数的对称性．

【分析】根据y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数求得φ的值，根据|AB|=2

，利用勾股定理求得ω的值，可得函数的解析式，从而得到函数图象

的一条对称轴．

【解答】解：由函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，可得φ=kπ+k∈z．

再结合0＜φ＜π，可得φ=再根据AB2=8=4+

．

，∴函数y=cos（

x+

）=﹣sin

x，故

，

，求得ω=

它的一条对称轴方程为x=1， 故选：D．

11．设F1、F2分别是椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，与直线y=b相切

的⊙F2交椭圆于E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，则椭圆的离心率为（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K4：椭圆的简单性质．

【分析】由题设知EF2=b，且EF1⊥EF2，再由E在椭圆上，知EF1+EF2=2a．由F1F2=2c，知4c2=（2a﹣b）2+b2．由此能求出椭圆的离心率． 【解答】解：∵F1、F2分别是椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，

与直线y=b相切的⊙F2交椭圆于E，且E是直线EF1与⊙F2的切点， ∴EF2=b，且EF1⊥EF2， ∵E在椭圆上，∴EF1+EF2=2a．

又∵F1F2=2c，∴F1F22=EF12+EF22，即4c2=（2a﹣b）2+b2．将c2=a2﹣b2代入得b=a． e2=

=

=1﹣（）2=．

∴椭圆的离心率e=故选D．

．

12．已知定义在R上的函数f（x）满足：（1）f（x）+f（2﹣x）=0，（2）f（x﹣2）=f（﹣x），（3）在[﹣1，1]上表达式为f（x）=

，则函数

f（x）与函数g（x）=A．5

B．6

C．7

D．8

的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为（ ）

【考点】54：根的存在性及根的个数判断．

【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称，又关于直线x=﹣1对称；再结合g（x）的解析式画出这2个函数区间[﹣3，3]上的图象，数形结合可得它们的图象区间[﹣3，3]上的交点个数．

【解答】解：由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象 关于点M（1，0）对称．

由f（x﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象 关于直线x=﹣1对称．

又f（x）在[﹣1，1]上表达式为

f（x）=，

可得函数f（x）在[﹣3，3]上的图象以及函数g（x）=上的图象，

在[﹣3，3]

数形结合可得函数f（x）的图象与函数g（x）的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为6， 故选：B．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．2016年夏季大美青海又迎来了旅游热，甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时， 甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海； 乙说：我没去过茶卡天空之境； 丙说：我们三人去过同一个地方．

由此可判断乙去过的地方为 陆心之海青海湖 ． 【考点】F4：进行简单的合情推理．

【分析】可先由乙推出，可能去过陆心之海青海湖或茶卡天空之境，再由甲推出乙只能是去过陆心之海青海湖，茶卡天空之境中的任一个，再由丙即可推出结论 【解答】解：由乙说：我没去过茶卡天空之境，则乙可能去过陆心之海青海湖或茶卡天空之境，

但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过海北百里油菜花海，则乙只能是去过陆心之海青海湖，茶卡天空之境中的任一个， 再由丙说：我们三人去过同一个地方，

则由此可判断乙去过的地方为陆心之海青海湖． 故答案为：陆心之海青海湖

14．已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＜5）=0.8，则P（1＜X＜3）= 0.3 ．

【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

【分析】根据随机变量X服从正态分布N（3，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3，根据正态曲线的特点，即可得到结果．

【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2）， ∴对称轴是x=3． ∵P（X＜5）=0.8， ∴P（X≥5）=0.2，

∴PP（1＜X＜3）=0.5﹣0.2=0.3． 故答案为0.3．

15．如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于

．

【考点】69：定积分的简单应用；CF：几何概型．

【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答． 【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4， 阴影部分的面积为

=（4x﹣

）|

=， ；

由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于故答案为：

16．已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2为 2 ．

．

，那么当该棱锥的体积最大时，它的高

【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．

【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．

【解答】解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=

a2h=

，

设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大， 此时h=故答案为：2．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足4Sn﹣1=an2+2an，n∈N*． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=

，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn＜．

=2，

【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．

【分析】（1）通过4Sn﹣1=an2+2an，令n=1可得首项，当n≥2时，利用4an=an2+2an﹣（an﹣12+2an﹣1）可得公差，进而可得结论． （2）由bn=明≤Tn＜．

【解答】（1）解：当n=1时，4a1=4S1=解得a1=1．

当n≥2时，4Sn=an2+2an+1，4Sn﹣1=an﹣12+2an﹣1+1，

相减得4an=an2+2an﹣（an﹣12+2an﹣1），即an2﹣an﹣12=2（an+an﹣1）， 又an＞0，∴an+an﹣1≠0，则an﹣an﹣1=2， ∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．

+2a1+1，

=

=

，利用裂项求和法能证

（2）bn===，

∴数列{bn}的前n项和： Tn==

（Tn）min=T1=∴≤Tn＜．

18．为选拔选手参加“中国汉字听写大全”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．

，

=，

（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，每次抽取1人，求在第1次抽取的成绩低于90分的前提下，第2次抽取的成绩仍低于90分的概率．

【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．

【分析】（Ⅰ）由样本容量和频数频率的关系易得答案；

（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有：0.010×10×50=5人，分数在[90，100）内的学生有2人，利用条件概率公式可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量

，

，

x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030．

（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有：0.010×10×50=5人，分数在[90，100）内的学生有2人；

设A={第1次抽取的成绩低于90分}，B={第2次抽取的成绩仍低于90分}， 则∴

19． 如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°． （1）求证：AC⊥平面BDE；

（2）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

，

．

，

【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．

【分析】（1）根据DE⊥平面ABCD，由线面垂直的判定定理可知DE⊥AC，由ABCD是正方形可知AC⊥BD，而DE∩BD=D，满足线面垂直的判定所需条件，从而证得结论；

（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM=BD时，AM∥平面BEF．取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，则DE∥MN，且DE=3MN，而AF∥DE，且DE=3AF，则四边形AMNF是平行四边形，从而AM∥FN，AM⊄平面BEF，FN⊂平面BEF，满足线面平行的判定定理，从而证得结论． 【解答】（1）证明：因为DE⊥平面ABCD， 所以DE⊥AC．… 因为ABCD是正方形，

所以AC⊥BD，因为DE∩BD=D… 从而AC⊥平面BDE．…

（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM=BD时，AM∥平面BEF． … 取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，则DE∥MN，且DE=3MN， 因为AF∥DE，且DE=3AF，所以AF∥MN，且AF=MN， 故四边形AMNF是平行四边形． … 所以AM∥FN，

因为AM⊄平面BEF，FN⊂平面BEF，…

所以AM∥平面BEF． … 20．心率为

（a＞b＞0）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，离，点A是椭圆上任一点，△AF1F2的周长为

．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点Q（﹣4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记若在线段MN上取一点R，使得线上运动，求该定直线的方程．

，

，则当直线l转动时，点R在某一定直

【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的简单性质．

【分析】（I）利用椭圆的定义、

及b2=a2﹣c2即可解出；

（II）由题意知，直线l的斜率必存在，设其方程为y=k（x+4），M（x1，y1），N（x2，y2）．把直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，再利用向量

，

，即可得出坐标之间的关系，消去λ及k即可得出结论．

，

【解答】解（Ⅰ）∵△AF1F2的周长为

∴2a+2c=又

，即，解得a=2，

．

，b2=a2﹣c2=1． ．

∴椭圆C的方程为

（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率必存在，

设其方程为y=k（x+4），M（x1，y1），N（x2，y2）． 由

得（1+4k2）x2+32k2x+k2﹣4=0．

由题意△=（32k2）2﹣4（1+4k2）（k2﹣4）＞0，即12k2﹣1＜0． 则由

，

．

，得（﹣4﹣x1，﹣y1）=（x2+4，y2），

．

，

∴﹣4﹣x1=λ（x2+4），∴设点R的坐标为（x0，y0），由

得（x0﹣x1，y0﹣y1）=﹣λ（x2﹣x0，y2﹣y0）， ∴x0﹣x1=﹣λ（x2﹣x0），

解得==，

而2x1x2+4（x1+x2）=

=﹣，

，

∴，

故点R在定直线x=﹣1上．

21．已知f（x）=lnx﹣x+a+1

（1）若存在 x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，求a的范围； （2）求证：当x＞1时，在（1）的条件下，【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．

【分析】（1）求导数，确定函数在x=1处取得最大值f（1）=a，即可求a的范围；

成立．

（2）令g（x）=，证明g′（x）≥0，即可证明．

【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣x+a+1（x＞0）， ∴f′（x）=

∴函数在（0，1）上，f′（x）＞0，在（1，+∞）上，f′（x）＜0， ∴函数在x=1处取得最大值f（1）=a， ∵存在 x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立， ∴a≥0；

（2）证明：令g（x）=则g′（x）=x+a﹣lnx﹣1，

∵f（x）=lnx﹣x+a+1≤f（1）=a， ∴x﹣lnx﹣1≥0， ∴g′（x）≥0 ∵x＞1，

∴g（x）＞g（1）=0， ∴

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为

（α为参

成立．

，

数），以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l

的极坐标轴方程为ρcos（θ﹣）=2．

（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；

（2）设点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值及其对应的点P的直角坐标．

【考点】QH：参数方程化成普通方程．

【分析】（1）利用cos2α+sin2α=1可把曲线C的参数方程化为直角坐标方程，直线l的极坐标轴方程为ρcos（θ﹣

，利用

（2）设点P的坐标为直线l的距离d=

（α为参数））=2

，展开

即可化为直角坐标方程． ，利用点到直线的距离公式可得P到，再利用三角函数的单调性即可得出．

（α为参数），曲线C的直角

【解答】解：（1）曲线C的参数方程为坐标方程：

=1，

=2）

，展开

直线l的极坐标轴方程为ρcos（θ﹣ρcosθ+ρsinθ=4，

∴直线l的直角坐标方程为x+y=4． （2）设点P的坐标为得P到直线l的距离d=则d=k∈Z． ∴cosα=，即P

[选修4-5：不等式选讲]

．

，

，

，令sinφ=，cosφ=

．

，

=﹣1时，dmax=，显然当sin（α+φ）．此时α+φ=2kπ+

=﹣sinφ=﹣．sinα=sin=﹣cosφ=﹣

23．已知：x、y、z是正实数，且x+2y+3z=1，

（1）求的最小值；

．

（2）求证：x2+y2+z2≥

【考点】7F：基本不等式． 【分析】（1）由题意整体代入可得由基本不等式可得；

（2）由柯西不等式可得1=（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32）=14（x2+y2+z2），由不等式的性质可得．

【解答】解：（1）∵x、y、x是正实数，且x+2y+3z=1， ∴=6+=6+（≥6+2

+

=（+++）+（+2

+2=且

=6+（+）+（+）+（+），

）（x+2y+3z） ++

+）+（+）

当且仅当=且=时取等号；

（2）由柯西不等式可得1=（x+2y+3z）2 ≤（x2+y2+z2）（12+22+32）=14（x2+y2+z2）， ∴x2+y2+z2≥故x2+y2+z2≥

，当且仅当x=2y=3z即x=，y=，z=时取等号． ．

2017年6月2日