课题 相似三角形的判定(一)
【学习目标】
1．初步掌握两个三角形相似的判定条件，能够运用三角形相似的条件解决简单的问题；
2．经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，以及动手、动脑、手脑协调一致的习惯；
3．发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识，体会数学思维的价值． 【学习重点】
掌握有两个角相等的相似三角形判定定理． 【学习难点】
应用三角形相似的判定定理．
一、情景导入 生成问题
问题：1.根据相似多边形的定义，你知道什么样的两个三角形相似吗？ 2．还有判断两个三角形相似的方法吗？
3．思考：有没有其他简单的办法判断两个三角形相似？
二、自学互研 生成能力 知识模块一 两角对应相等的两个三角形相似 阅读教材P～P67的内容．
问题：已知：如右图，在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1.求证：△ABC∽△A1B1C1.
证明：在边AB或它的延长线上截取AD＝A1B1，过点D作BC的平行线交AC于点E，则△ADE∽△ABC.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.在△ADE与△A1B1C1中，∵∠A＝∠A1，∠ADE＝∠B＝∠B1，AD＝A1B1，∴△ADE≌△A1B1C1，∴△ABC∽△A1B1C1.
问题：如果两个三角形仅有一个角对应相等，那么这两个三角形相似吗？ 归纳：三角形相似的判定定理1：两个角对应相等的两个三角形相似．
知识模块二 两角对应相等的两个三角形相似的应用
范例：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C与∠C′都是直角，∠A＝∠A′，求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′.∴△ABC∽△A′B′C′(两角分别相等的两个三角形相似)． 仿例1：如右图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.求证：△ADE∽△EFC.
证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.又∵EF∥AB，∴∠EFC＝∠B，∴∠ADE＝∠EFC，∴△ADE∽△EFC(两角分别相等的两个三角形相似)．
仿例2：如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂线交BC于D，交AC于E，交BA的延长线于F，
求证：BD·DC＝DE·DF. 证明：∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠C＝90°，∵FD⊥BC，∴∠BDF＝∠CDE＝90°，∠B＋∠F＝BDDF90°，∴∠F＝∠C，∴△BDF∽△EDC，∴DE＝DC，∴BD·DC＝DE·DF
三、交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 两角对应相等的两个三角形相似
知识模块二 两角对应相等的两个三角形相似的应用 仿例(方法二)还可利用对顶角相等：∠AEF＝∠CED
四、检测反馈 达成目标 见《名师测控》学生用书．
五、课后反思 查漏补缺
1．收获：____________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________
课题 相似三角形的判定(二)
【学习目标】
1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
2．掌握“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”及“三边对应成比例，两个三角形相似”的判定方法．
3．能够灵活运用三角形相似的条件解决简单的问题． 【学习重点】
三角形相似的判定方法． 【学习难点】
三角形相似的判定方法的灵活运用．
一、情景导入 生成问题 到目前为止，我们学会了哪些判定三角形相似的方法？
二、自学互研 生成能力 知识模块一 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 阅读教材P67～P69的内容．
问题：1.观察右图，如果有一点E在边AC上移动，那么点E在什么位置时能使△ADE与△ABC相似呢？
1
2．图中△ADE与△ABC的一组对应边AD与AB的长度的比值为3，将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE等于AC的三分之一时，△ADE与△ABC似乎相似，此时AD∶AB＝__1∶3__．
猜想：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
下面我们来证明上述猜想．
ABAC
已知：如图，在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1，AB＝AC.求证：△ABC∽△A1B1C1.
1111
证明：在边AB或它的延长线上截取AD＝A1B1，过点D作BC的平行线交AC于点E，则ABACABAC
△ADE∽△ABC，∴AD＝AE，∵AB＝AC，AD＝A1B1，∴AE＝A1C1，在△ADE和△A1B1C1
1111中，∵AD＝A1B1，∠A＝∠A1，AE＝A1C1，∴△ADE≌△A1B1C1，∴△ABC∽△A1B1C1.
结论：相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
范例：证明如图中的△AEB和△FEC相似．
AE54BE45AEBE
证明：∵FE＝36＝1.5，CE＝30＝1.5，∴FE＝CE，又∵∠AEB＝∠FEC，∴△AEB∽△FEC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)
知识模块二 三边对应成比例的两个三角形相似
探索：三边对应相等的两个三角形全等，那么三边对应成比例的两个三角形相似吗？
在如图所示的方格图中任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形三边长的相同倍数，画完之后，用量角器度量并比较两个三角形对应角的大小，你得出了什么结论？
结论：相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．
范例：在△ABC和△A′B′C′中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm，试证明△ABC与△A′B′C′相似．
AB61BC81AC101ABBCACABBC
证明：∵A′B′＝18＝3，B′C′＝24＝3，A′C′＝30＝3，∴A′B′＝B′C′＝A′C′.∴A′B′＝B′C′＝AC
A′C′.∴△ABC∽△A′B′C′(三边成比例的两个三角形相似)．
三、交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 相似三角形的判定定理2 知识模块二 相似三角形的判定定理3
四、检测反馈 达成目标 见《名师测控》学生用书．
五、课后反思 查漏补缺
1．收获：______________________________________________________ 2．存在困惑：__________________________________________________
课题 相似三角形的性质
【学习目标】
1．掌握相似三角形的性质定理的内容及证明，使学生进一步理解相似三角形的概念； 2．能运用相似三角形的性质定理来解决有关问题；
3．通过由特殊情况猜想到一般情况，渗透由特殊到一般的数学思想，让学生感受数学的和谐美，并进一步养成严谨科学的学习品质．
【学习重点】
理解相似三角形的性质定理并能初步运用． 【学习难点】
相似三角形的性质定理的证明．
一、情景导入 生成问题
1．什么叫相似三角形？
2．如何判定两个三角形相似？
3．相似三角形的对应边有什么特征？对应角有什么特征？
二、自学互研 生成能力
知识模块一 相似三角形对应边上的高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方 阅读教材P71～P72的内容．
问题：两个三角形相似，除了对应边成比例，对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如在右图中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比是k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？这两个三角形的面积之比又是多少？
归纳：△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，且∠B＝∠B′，因为有两个角对应相等，所以这两ADAB
个三角形相似，因此A′D′＝A′B′＝k.由此可以得出结论：相似三角形对应边上的高的比等于相似1
BC2AD·S△ABCADBCADBC2
比．由A′D′＝B′C′＝k，可得＝1＝A′D′·＝k.由此可以得出结论：相似三角形面
B′C′S△A′B′C′
2A′D′·B′C′积的比等于相似比的平方．
知识模块二 相似三角形对应角的平分线之比等于相似比、对应边上的中线之比等于相似比、周长之比等于相似比
思考：如图，△ABC与△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的平分线，那么它们之间是否有与对应边上的高类似的关系？这两个三角形的周长又有什么关
系？
ABBCAC
以周长为例探究一下：∵△ABC∽△A′B′C′，∴A′B′＝B′C′＝A′C′＝k，∴AB＝kA′B′，BC＝kB′C′，AC＝kA′C′，∴
C△ABCAB＋BC＋ACkA′B′＋kB′C′＋kA′C′
＝＝＝k C△A′B′C′A′B′＋B′C′＋A′C′A′B′＋B′C′＋A′C′
结论：相似三角形对应角的平分线之比等于相似比．相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．相似三角形的周长之比等于相似比．
三、交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 相似三角形对应边上的高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方
知识模块二 相似三角形对应角的平分线之比、对应边上的中线之比、周长之比等于相似比
四、检测反馈 达成目标 见《名师测控》学生用书．
五、课后反思 查漏补缺
1．收获：__________________________________________________
2．存在困惑：______________________________________________
课题 相似三角形的应用
【学习目标】
1．通过例题教学使学生进一步理解和应用相似三角形的判定和性质，并熟练应用这些判定和性质解决实际生活中的有关问题；
2．在教学过程中，通过鼓励学生个性化学习和大胆发言，让学生能主动参与、乐于探究、勤于思考．培养其分析问题和解决问题的能力，以及合作交流自主探索的新型学习观；
3．通过对生活中数学问题的探讨，使学生经历理论与实际相结合的全过程，体验数学的实践性，知道数学来源于生活，而又服务于生活，从而激发其对数学学习的浓厚兴趣．
【学习重点】
通过建立相似三角形模型解决实际问题． 【学习难点】
如何从实际问题中抽象出相似三角形的模型．
一、情景导入 生成问题
问题：1.识别两个三角形相似的方法有哪些？ 2．相似三角形有哪些性质？
二、自学互研 生成能力
知识模块一 相似三角形的应用一 阅读教材P72～P74的内容．
范例：古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′与金字塔的影长AB垂直，即可近拟算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝1米，A′B′＝2米，AB＝274米，求金字塔的高度OB.
解：∵太阳光线是平行光线，∴∠OAB＝∠O′A′B′.∵∠ABO＝∠A′B′O′＝90°，AB×O′B′274×1OBAB
∴△OAB∽△O′A′B′(两角分别相等的两个三角形相似)．∴O′B′＝A′B′，∴OB＝A′B′＝2＝137(米)．答：金字塔的高度OB为137米．
范例：如右图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB.
BD×EC120×50ABBD
形相似)．∴EC＝CD.解得AB＝CD＝60＝100(米)．
解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABD＝∠ECD＝90°，∴△ABD∽△ECD(两角分别相等的两个三角
知识模块二 相似三角形的应用二
范例：如右图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点．且∠ADE＝∠C.求证：AD·AB＝AE·AC.
证明：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB(两角分别相等的两个三角形相ADAE
似)．∴AC＝AB，∴AD·AB＝AE·AC.
11
仿例1：如图，AE＝2EC，AD＝2DB，测得DE＝20米，求池塘宽BC是多少米？
11DEAE1
解：∵AC＝2EC，AD＝2DB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴BC＝AC＝3，∵DE＝20米，∴BC＝60米．答：池塘宽BC为60米．
仿例2：小明在打网球时，使球恰好能过网，而且落在离网5米的位置上，已知如图，求球拍击球的高度h？(设网球作直线运动)
DEAD0.8
解：∵DE⊥AB，CB⊥AB，∴DE∥BC，∴BC＝AB，∵DE＝0.8，AD＝5，AB＝15，∴BC＝5
15，∴BC＝2.4米．答：球拍击球高度为2.4米．
三、交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 相似三角形的应用一
知识模块二 相似三角形的应用二
四、检测反馈 达成目标 见《名师测控》学生用书．
五、课后反思 查漏补缺
1．收获：______________________________________________________
2．存在困惑：__________________________________________________
