人教版八年级数学上册第十二章《全等三角形》全章教案

教学目标： 1 了解全等形及全等三角形的的概念；

2 理解全等三角形的性质

3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学 生的几何直觉，

4 学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的 体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣

重点：探究全等三角形的性质

难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角 教学过程：

观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形

问题：你还能举出生活中一些实际例子吗？

这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形 叫做全等形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改 变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。

“全等”用 表示，读作“全等于”

两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如

ABC 和 DEF 全等时，点 A 和点 D，点 B 和点 E，点 C 和点 F 是对应顶点，记

作 ABC

DEF

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对 应边，重合 的角叫做对应角

思考：如上图， 12。1-1 ABC 全等三角形性质：

全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等。 思考：

（1）下面是两个全等的三角形， 按下列图形的位置摆放， 指出它们的对应顶点、 对应边、对应角

B

DEF ，对应边有什么关系？对应角呢？

C

A

o

O

C

A D

A

B

D

C

D

C

B

D

A

B

（2）将 ABC 沿直线 BC 平移，得到

A

DEF ，说出你得到的结论，说明理由？

D

B E

C

F

（3）如图， ABE 求 ADC 的大小。

A

ACD , AB 与 AC，AD 与 AE 是对应边，已知： A 43 , B 30 ，

D

E

C

B

小结：

作业： P33—1，2，3

12．2 三角形全等的判定 (1)

教学目标

①经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程． ②掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性． ③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神． 教学难点

三角形全等条件的探索过程． 一、 复习过程，引入新知

多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论： 全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等．反之，这六个元素分别相

等，这样的两个三角形一定全等．

二、创设情境，提出问题

根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢 如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢

?

?

组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流 予以汇总归纳．

三、建立模型，探索发现

出示探究 1，先任意画一个△ ABC，再画一个△ A'B'C' ，使△ ABC 与△ A'B'C' ， 满足上述条件中的一个或两个．你画出的△ A'B'C' 与△ ABC 一定全等吗 ?

让学生按照下面给出的条件作出三角形． (1) (2) (3)

三角形的两个角分别是 30°、 50°． 三角形的两条边分别是 4cm，6cm． 三角形的一个角为 30°，—条边为 3cm．

再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：只给出一个或两个条 件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．

出示探究 2，先任意画出一个△ A'B'C' ，使 A'B' ＝AB，B'C' ＝BC，C'A' ＝ CA，把画好的△ A'B'C' 剪下，放到△ ABC 上，它们全等吗 ?

让学生充分交流后，在教师的引导下作出△ 三边对应相等的两个三角形全等． 四、应用新知，体验成功

实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定 不变的．

鼓励学生举出生活中的实例．

给出例 l ，如下图△ ABC 是一个钢架， AB＝AC，AD 是连接点 A 与 BC 中点 D 的支架，求证△ ABD≌△ ACD．

A'B'C' ，并通过比较得出结论：

A

B

D

C

让学生思考后口头表达理由，由教师板演推理过程． 例 2

如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下：

①以 A 为圆心画弧，分别交角的两边于点 B 和点 C；

②分别以点 B、C 为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点 D；③ 画射线 AD．

AD 就是∠ BAC 的平分线．你能说明该画法正确的理由吗 ?

例 3 如图四边形 ABCD 中， AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形 ABCD 分成两个相 互全等的三角形吗 ?你有几种方法 ?你能证明你的方法吗 ?试一试．

A

D C

B

五、巩固练习

教科书第 37 页的思考及练习． 六、反思小结

回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思

想，掌握数学规律． 七、布置作业

1．必做题：教科书第 43 页习题 12．2 中的第 1、2 题． 2．选做题：教科书第 44 页第 9 题．

12.2 三角形全等的判定 (2)

教学目标

①经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力． ②在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简 单的推理．

③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神． 教学难点

指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件． 知识重点

应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等． 教学过程（师生活动） 一、 创设情境，引入课题

多媒体出示探究 3：已知任意△ ABC，画△ A'B'C' ，使 A'B' ＝AB，A'C' ＝AC， ∠A' ＝∠ A．

教帅点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的△ 上，观察这两个三角形是否全等． 二、交流对话，探求新知

根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律： 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．

(SAS)

A'B'C' ，剪下放在△ ABC

补充强调：角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对 边．

三、 应用新知，体验成功

出示例 2，如图，有—池塘，要测池塘两端

A、B 的距离，可先在平地上取一个

可以直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CD＝ CA，连接 BC 并延长 到 E，使 CE＝CB．连接 DE，那么量出 DE 的长就是 A、B 的距离，为什么 ?

让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据． ( 若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析： 要想证 AB＝DE， 只需证△ ABC≌△ DEC

△ABC 与△ DEC 全等的条件现有 还需要

)

明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题， 这两个三角形全等来解决． 补充例题：

A

1、已知：如图 AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE

求证： △ABD≌△ ACE B

证明 : ∵∠ BAC=∠DAE（已知）

C E

D

∠ BAC+ ∠ CAD= ∠ DAE+ ∠ CAD

∴∠ BAD=∠CAE 在△ ABD 与△ ACE AB=AC

（已知）

∠BAD= ∠CAE （已证） AD=AE

（已知）

∴△ ABD≌△ ACE（SAS)

思考：

常常通过证明求证： 1.BD=CE

2. ∠B= ∠C

B

3. ∠ADB= ∠AEC

变式 1：已知：如图， AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE. ⑴ △DAC≌△EAB

F M

A

求证：

C

1. BE=DC

D

E

2. ∠B= ∠ C 3. ∠ D= ∠ E 4. BE⊥CD

四、再次探究，释解疑惑

出示探究 4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．由“两 边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗

?为什么 ?

让学生模仿前面的探究方法，得出结论：两边及其中一边的对角对应相等 的两个三角形不一定全等．

教师演示：方法 ( 一) 教科书 39 页图 12.2-7 ．

方法 (二)通过画图，让学生更直观地获得结论．

五、巩固练习

教科书第 39 页，练习 (1)(2)． 六、小结提高

1．判定三角形全等的方法；

2．证明线段、角相等常见的方法有哪些 ?让学生自由表述，其他学生补充， 让学生自己将知识系统化，以自己的方式进行建构． 七、布置作业

1．必做题：教科书第 43 页，习题 12．2 第 3、4 题． 2．选做题：教科书第 44 页第 10 题． 3．备选题：

(1) 小明做了一个如图所示的风筝，测得 DE＝DF，EH＝FH，你能发现哪些结沦 ?

并说明理由．

(2) 如图，∠ 1＝∠ 2，AB＝AD，AE＝AC，求证 BC＝DE．

12.2 三角形全等的判定 (3)

教学目标

①探索并掌握两个三角形全等的条件： “ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三

角形是否全等．

②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推 理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维． ③敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难． 教学重点

理解，掌握三角形全等的条件： “ASA”“AAS”． 教学难点

探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用．

教学过程（师生活动） 创设情境 复习：

师：我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些 生：“SSS”“SAS”

师：那除了这两个条件， 满足另一些条件的两个三角 也可能全等呢 ?今天我们就来探究三角形全等的 探究新知：

一张教学用的三角形硬纸板不小心

被撕坏了，如图，你能制作一张与原来 同样大小的新教具？能恢复原来三角形 的原貌吗？

1．师：我们先来探究第一种情况． ( 课件出示“探究 5 ” ) (1) 探究 5

先任意画出一个△ ABC，再画一个△ A'B'C' ，使 A'B' ＝AB，∠ A' ＝∠ A，∠ B' ＝∠B( 即使两角和它们的夹边对应相等 ) ．把画好的△ A'B'C' 剪下，放到△ ABC 上，它们全等吗 ?

师：怎样画出△ A'B'C'? 先自己思考，动手画一画。 在画的过程中若遇到不能解决的问题．可小组合作交流解决． 生：探究，试着画△ A'B'C' ，( 有问题的，可以小组内交流解决 (2) 全班讨论交流

师：画好之后，我们看这儿有一种画法： 你是这样画的吗 ?

师：把画好的△ A'B'C' 剪下，放到△ ABC 上，看看它们是否全等．

( 课件出示画法，出现一步，画一步 )

)

形是否 另一些条件。

?

生： ( 剪△ A'B'C' ，与△ ABC 作比较 师：全等吗 ? 生：全等．

)

师：这个探究结果反映了什么规律 ?试着说说你的发现． 生 1：我发现 生 2：

生 3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全

A

A'

等． 此，

别应

E

D

师：这条件可以简写成“角边角”或“ ASA”．至 我们又增加了—种判别三角形全等的方法．特 注意，“边”必须是“两角的夹边” ．

练习：已知：如图， AB=A’C，∠ A=∠A’，∠ B=∠C 求证：△ ABE≌ △A’CD

B

C

A

例 1. 已知：点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上， BE

和

D

O

E

CD

相交于点 O，AB=AC，∠ B=∠C。 求证： BD=CE

B

C

2．探究 6

师：我们再看看下面的条件：

在△ ABC 和△ DEF 中，∠ A＝∠ D，∠ B＝∠ E，BC＝EF，△ ABC 与△ DEF 全等

吗?能利用角边角条件证明你的结论吗 ?

A

B

C E

D F

师：看已知条什，能否用“角边角”条件证明． 生思考，探究 再小组合作完成．

师：你是怎么证明的 ?( 让小组派代表上台汇报 ) 小组 1： ．

小组 2： 投影仪展示学生证明过程

( 根据学生的不同探究结果，进行不同的引导 )

师：从这可以看出，从这些已知条件中能得出两个三角形全等．这又反映了一 个什么规律 ?

生 l ：两个角和其中一条边对应相等的两个三角形全等．

生 2：在\"ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”，而这里，“边”可以是 “其中一个角的对边”．

师：非常好，这里的“边”是“其中一个角的对边” ．那怎样更完整的表述 这一规律 ?

生 1：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． 师：生 1 很好，这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS”，又增加了判 定两个三角形全等的一个条件．

强调“AAS”中的边是“其中一个角的对边” ．

多让几个学生描述，进一步培养归纳、表达的能力． 例 2．教材 40 页 1 题。

师：从这道例题中，我们又得出了证明线段相等的又一方法，先证两线段 所在的三角形全等，这样，对应边也就相等了． 探究 7： (1)

三角对应相等的两个三角形全等吗 ?( 课件出示题目 )

师：想想，怎样来探究这个问题 ? 生 1： 生 2： ．

引导学生通过“画两个三角对应相等的三角形” ，看是否一定全等，或“用两个 同一形状但大小不同的三角板”等等方法来探究说明．

师：这一规律我们可以怎样表达 ? 生 1： ．

生 2：三个角对应相等的两个三角形不一定全等． (2)

师：说得非常好．现在我们来小结一下；判定两个三角形全等我们已有

了哪些方法 ?

生： SSS SAS ASA AAS 小结提高

师：这节课通过对两个三角形全等条件的进一步探究，你有什么收获 巩固练习

教科书第 41 页，练习 2． 布置作业

1。必做题：教科书第 44 页习题 12.2 第 6、11 题

2．如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块

碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢

?如果可以，带哪块去合

?

适?为什么 ?

⑵

⑴

12.2 三角形全等的判定 (4)

教学目标

①探索并掌握两个直角三角形全等的条件：

HL，并能应用它判别两个直角三角

形是否全等．

②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推 理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维． ③提高应用数学的意识． 教学重点

理解，掌握三角形全等的条件： HL． 教学过程 : 提问：

1、判定两个三角形全等方法有： 创设情境：

（显示图片），舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角 三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量 （1）你能帮他想个办法吗？

方法一：测量斜边和一个对应的锐角 . (AAS) 方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角 ⑵ 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相 等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的” 下面让我们一起来验证这个结论。 新课：

. 你相信他的结论吗？

.

(ASA)

或(AAS) .

，

，

，

。

已知线段 a、c(a ﹤c) 和一个直角 α，利用尺规作一个 CB=a，AB=c. 想一想，怎样画呢？ 按照下面的步骤做一做： ⑴ 作∠ MCN=∠α=90°;

⑵ 在射线 CM 上截取线段 CB=a

⑶ 以 B 为圆心 ,C 为半径画弧，交射线 CN 于点 A; ⑷ 连接 AB.

⑴ △ABC 就是所求作的三角形吗？

Rt△ABC,使∠ C= ∠ α ，

⑵ 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？ 直角三角形全等的条件

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

简写成“斜边、直角边”或“ HL”.

想一想

你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般 三角形判定全等的方法 :SAS、ASA、AAS、SSS， 还有直角三角形特殊的判定方法——“ HL”.

.

例 如图， AC BC, BD AD, AC BD 求证：BC AD.

练一练：

1. 如图，两根长度为 12 米的绳子，一端系在旗杆上， 另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗 杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。

2. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾 斜角∠ ABC 和∠ DFE 的大小有什么关系？ 解：∠ ABC+∠DFE=90°. 理由如下： 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中, 则

BC=EF, AC=DF .

∴ Rt △ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠ ABC=∠DEF

( 全等三角形对应角相等 ). 又 ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ ABC+∠DFE=90°.

小结：这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流 作业： 44 页 7、8。

§12． 3 角的平分线的性质

§12．3．1 角的平分线的性质（一）

教学目标

（一）教学知识点 角平分线的画法． （二）能力训练要求

1 ．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理． 2 ．会用尺规作一个已知角的平分线． （三）情感与价值观要求

在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．

教学重点

利用尺规作已知角的平分线． 教学难点

角的平分线的作图方法的提炼． 教学方法 讲练结合法． 教具准备

多媒体课件（或投影）． 教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

问题 1：三角形中有哪些重要线段． 问题 2：你能作出这些线段吗？

[ 生甲 ] 三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中 线，三角形的角的平分线．

过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线，交对边于一点，顶点与垂足的 连线就是这个三角形的高．

取三角形一边的中点，此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中线．

用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度线与这个角的一边重合，这 个角一半所对应的线就是这个角的角平分线．

[ 生乙 ] 我不同意你对角平分线的描述，三角形的角平分线是一条线段，而 一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的．

[ 师] 你补充得很好．数学是一门严密性很强的学科，你的这种精神值得我 们学习．

如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方 案吗？

Ⅱ．导入新课 [

题：

在∠ AOB 的两 边

生] 我记得在学直角三角形全等的条件时做过 这样一个

OA 和

OB 上分别

OM=ON，MC

⊥ OA， NC

取

⊥OB．MC 与 NC 交 C 点． 于

求证：∠ MOC=∠NOC．

通过证明 Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠ MOC=∠NOC，所以射线 OC 就 是∠ AOB 的平分线．

受这个题的启示，我们能不能这样做：

在已知∠ AOB 的两边上分别截取 OM=ON，再分别过 M、N 作 MC⊥OA，NC⊥OB， MC?与 NC 交于 C 点，连接 OC，那么 OC 就是∠ AOB 的平分线了．

[ 师] 他这个方案可行吗？

（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）

[ 师] 这位同学不仅给了操作方法，而且还讲明了操作原理．这种学以致用， ?联想迁移的学习方法值得大家借鉴．

议一议：下图是一个平分角的仪器，其中

AB=AD，BC=DC．将点 A 放在角的

顶点， AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线．你 能说明它的道理吗？

教师活动：

播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过 生直观了解得到射线 AC 的方法．

学生活动：

观看多媒体课件，讨论操作原理．

[ 生 1] 要说明 AC 是∠ DAC 的平分线，其实就是证明∠ CAD=∠CAB．

程，使学

[ 生 2]

∠CAD 和∠ CAB 分别在△ CAD 和△ CAB 中，那么证明这两个三角形全

等

就可以了．

[ 生 3] 我们看看条件够不够．

AB AD BC DC AC AC

所以△ ABC≌△ ADC（SSS）． 所以∠ CAD=∠CAB．

即射线 AC 就是∠ DAB 的平分线．

[ 生 4] 原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来 温故是可以知新的．

老师再提出问题：

通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手 做做看．然后与同伴交流操作心得．

（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予 启发和指导，使讲评更具有针对性）

讨论结果展示：

作已知角的平分线的方法： 已知：∠ AOB．

求作：∠ AOB 的平分线． 作法：

（1）以 O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交

2

OA、OB 于 M、 N．

（2）分别以 M、N 为圆心，大于 1 MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交 于点 C．

（3）作射线 OC，射线 OC 即为所求．

（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法， 提高学习数学的兴趣）．

议一议：

1 MN 的长”这个条件行

吗？

1 ．在上面作法的第二步中，去掉“大于

2

2 ．第二步中所作的两弧交点一定在∠ AOB 的内部吗？

（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学 严密性的良好学习习惯）

学生讨论结果总结：