第三章《直线与方程》单元检测试题之高陈
檩檀创作
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知点A(1，3)，B(－1，33)，则直线AB的倾斜角是( )
A．60°B．30° C．120°D．150° [答案] C
2．直线l过点P(－1,2)，倾斜角为45°，则直线l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C．x－y－3＝0 D．x－y＋3＝0 [答案] D
3．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则
a的值为( )
A．－3 B．－6 32C．D．
23[答案] B
xy
4．直线－＝1在y轴上的截距为( )
a2b2A．|b| B．－b C．bD．±b [答案] B
5．已知点A(3,2)，B(－2，a)，C(8,12)在同一条直线上，则a的值是( )
A．0 B．－4 C．－8 D．4 [答案] C
6．如果AB<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案] D
7．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )
A．－2 B．－7 C．3 D．1 [答案] C
8．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＝5＝0的交点，而且经过原点的直线方程是( )
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0 C．3x＋19y＝0 D．19x－3y＝0
2
2
[答案] C
9．已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变更时，所有直线都通过定点( )
12
A．(0,0) B．(，)
772111C．(，) D．(，)
77714[答案] C
10．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 [答案] D
11．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点
A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0
与直线l1平行，则a＋b等于( )
A．－4 B．－2 C．0 D．2 [答案] B
12．等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B的坐标可能是( )
A．(2,0)或(4,6) B．(2,0)或(6,4) C．(4,6) D．(0,2) [答案] A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为_________.
2
[答案] －
3
y1＋y2
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－1，又y1
2＝1，∴y2＝－3，代入方程x－y－7＝0，得x2＝4，即B(4，－x1＋x2
3)，又＝1，∴x1＝－2，即A(－2,1)，∴kAB＝
2－3－12
＝－.
4－－23
14．点A(3，－4)与点B(5,8)关于直线l对称，则直线l的方程为_________.
[答案] x＋6y－16＝0
[解析] 直线l就是线段AB的垂直平分线，AB的中点为11(4,2)，kAB＝6，所以kl＝－，所以直线l的方程为y－2＝－
66(x－4)，即x＋6y－16＝0.
15．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为_________.
[答案] 32
[解析] 依题意，知l1∥l2，故点M所在直线平行于l1和
l2，可设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间
|m＋7||m＋5|
的距离公式，得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，
22即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的|－6|
距离的最小值为＝32.
2
16．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°，其中正确答案的序号是_________.(写出所有正确答案的序号)
[答案] ①⑤
[解析] 两平行线间的距离为 |3－1|d＝＝2，
1＋1
由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°， 所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.
[点评] 本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．是高考在直线知识命题中未几见的较为复杂的题目，但是只要基础扎实、方法灵活、思想深刻，这一问题还是不难解决的．所以在学习中知识是基础、方法是骨架、思想是灵魂，只有以思想方法统领知识才干在考试中以不变应万变．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步调)
17．(本小题满分10分)(2015·河南省郑州市高一上学期3
期末试题)已知直线l经过点P(－2,5)且斜率为－，
4
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
3
[解析] (1)直线l的方程为：y－5＝－(x＋2)整理得
43x＋4y－14＝0.
(2)设直线m的方程为3x＋4y＋n＝0，
d＝
|3×
－2＋4×5＋n|
＝3，
32＋42
解得n＝1或－29.
∴直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0. 18．(本小题满分12分)求经过两直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0的直线方程．
[解析] 解法一：设所求直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋(1＋4λ)＝0.
由所求直线垂直于直线x＋3y＋4＝0，得 13＋λ－·(－)＝－1. 33λ－23解得λ＝.
10
故所求直线方程是3x－y＋2＝0.
解法二：设所求直线方程为3x－y＋m＝0.
3x－2y＋1＝0，由x＋3y＋4＝0，
x＝－1，
解得
y＝－1，
即两已知直线的交点为(－1，－1)． 又3x－y＋m＝0过点(－1，－1)， 故－3＋1＋m＝0，m＝2.
故所求直线方程为3x－y＋2＝0.
19．(本小题满分12分)已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线
l的距离等于2.
[分析] 解决此题可有两种思路，一是代数法，由“|PA|＝|PB|”和“到直线的距离为2”列方程求解；二是几何法，利用点P在AB的垂直平分线上及距离为2求解．
[解析] 解法1：设点P(x，y)．因为|PA|＝|PB|， 所以①
又点P到直线l的距离等于2， |4x＋3y－2|
所以＝2.②
5
278
由①②联立方程组，解得P(1，－4)或P(，－)．
77解法2：设点P(x，y)．因为|PA|＝|PB|， 所以点P在线段AB的垂直平分线上．
x－4
2＋y＋3
2＝
x－2
2＋y＋1
2.
由题意知kAB＝－1，线段AB的中点为(3，－2)，所以线段
AB的垂直平分线的方程是y＝x－5.
所以设点P(x，x－5)．
因为点P到直线l的距离等于2，所以|4x＋3
x－55
－2|
＝2.
27
解得x＝1或x＝.
7
278
所以P(1，－4)或P(，－)．
77
[点评] 解决解析几何问题的主要方法就是利用点的坐标反映图形的位置，所以只要将题目中的几何条件用坐标暗示出来，即可转化为方程的问题．其中解法2是利用了点P的几何特征发生的结果，所以解题时注意多发现，多思考．
20．(本小题满分12分)△ABC中，A(0,1)，AB边上的高
CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线BE所在直
线的方程为2x＋y－3＝0.
(1)求直线AB的方程； (2)求直线BC的方程； (3)求△BDE的面积．
[解析] (1)由已知得直线AB的斜率为2， ∴AB边所在的直线方程为y－1＝2(x－0)， 即2x－y＋1＝0.
2x－y＋1＝0，(2)由
2x＋y－3＝0
1x＝，
得2y＝2.
1
即直线AB与直线BE的交点为B(，2)．
2设C(m，n)，
m＋2n－4＝0，
则由已知条件得mn＋1
2·＋－3＝0，22
m＝2，
解得
n＝1，
∴C(2,1)．
y－1x－2∴BC边所在直线的方程为＝，即2x＋3y－7＝0.
2－11
－22(3)∵E是线段AC的中点，∴E(1,1)． ∴|BE|＝
1－12
2＋
5
2－12＝，
22x＝，
5
2x－y＋1＝0，由x＋2y－4＝0
得9
y＝，5
29
∴D(，)，
55
29
|2×＋－3|
552
∴D到BE的距离为d＝＝，
22＋1255
11
∴S△BDE＝·d·|BE|＝.
210
4
21．(本小题满分12分)直线过点P(，2)且与x轴、y轴
3的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：
(1)△AOB的周长为12； (2)△AOB的面积为6.
若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由． xy
[解析] 设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
ab若满足条件(1)，则a＋b＋a2＋b2＝12，① 442
又∵直线过点P(，2)，∵＋＝1.②
33ab由①②可得5a－32a＋48＝0，
2
a＝4，
解得
b＝3，
或9b＝2，12a＝，
5
xy5x2y
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
43129即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. 若满足条件(2)，则ab＝12，③ 42
由题意得，＋＝1，④
3ab由③④整理得a－6a＋8＝0，
2
a＝4，解得
b＝3
a＝2，
或b＝6，
xyxy
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
4326即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0.
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知矩形
ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴
上，A点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A点落在线段DC上．
(1)若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；
(2)当－2＋3≤k≤0时，求折痕长的最大值．
[解析] (1)①当k＝0时，A点与D点重合，折痕所在的1
直线方程为y＝.
2
②当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为
G(a,1)，
∴A与G关于折痕所在的直线对称， 1
有kOG·k＝－1⇒·k＝－1⇒a＝－k.
a故G点坐标为(－k,1)，
从而折痕所在直线与OG的交点坐标(即线段OG的中点)为
k1M(－，)．
22
1kk2
故折痕所在的直线方程为y－＝k(x＋)，即y＝kx＋＋2221
. 2
k21
由①②得折痕所在的直线方程为y＝kx＋＋.
22(2)当k＝0时，折痕的长为2.
当－2＋3≤k＜0时，折痕所在直线交直线BC于点k21
E(2,2k＋＋)，
22
k2＋1
交y轴于点N(0，)．
2
k2＋1k2122
则|NE|＝2＋[－(2k＋＋)]＝4＋4k≤4＋4(7－
222
2
2
43)＝32－163.
此时，折痕长度的最大值为32－163＝2(6－2)． 而2(6－2)＞2，
故折痕长度的最大值为2(6－2)．
