2017届山西省高三3月高考考前适应性测试(一模)数学(文)试卷(带解析)

2017届山西省高三3月高考考前适应性测试（一模）数学（文）

试卷（带解析）

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号 得分 一 二 三 总分 注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题

1．设全集𝑈={1,3,5,7}，集合𝐴={1,5}，则𝐶𝑈𝐴的子集的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

是复数𝑧的共轭复数，若𝑧=𝑖+，则𝑧•𝑧 =（ ） 2．设𝑧1−𝑖A.

5 2

1

B. C.

2

5

10 2

D. −

10 2

3．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人

均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”（即乙领取的钱数不少于其他任何人）的概率是（ ）

A. 4 B. 3 C. 10 D. 5 =(1,2)，𝑏 =(3,4)，则(𝑏 −𝑎 )•𝑏 =（ ） 4．已知向量𝑎A. -6 B. 6 C. 14 D. -14

5．在𝛥𝐴𝐵𝐶中，𝐷为边𝐴𝐵上一点，且𝐷𝐴=𝐷𝐶，𝐵=，𝐵𝐶=2，𝛥𝐵𝐶𝐷的面积为 3，则

3

3

1

3

2

𝜋边𝐴𝐶的长是（ ）

A. 2 B. 2 3 C. 4 D. 4 3 6．过抛物线𝐶:𝑦=𝑥2的焦点且垂直于𝑦轴的直线与𝐶交于𝐴,𝐵两点.关于抛物线𝐶在𝐴,𝐵两点处的切线，有下列四个命题，其中的真命题有（ ） ①两切线互相垂直；②两切线关于𝑦轴对称；

③过两切点的直线方程为𝑦=4；④两切线方程为𝑦=±𝑥−1.

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

1

试卷第1页，总6页

A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 8．已知𝑃是圆𝑥2+𝑦2=𝑅2上的一个动点，过点𝑃作曲线𝐶的两条互相垂直的切线，

𝑥2

𝑦2

1

4

8

10

切点分别为𝑀,𝑁，𝑀𝑁的中点为𝐸.若曲线𝐶:𝑎2+𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，且𝑅2=𝑎2+𝑏2，则

𝑥2点𝐸的轨迹方程为𝑎2𝑦2+2𝑏=

𝑥2+𝑦2𝑥2

.若曲线𝐶:𝑎2 𝑎2+𝑏2𝑦2−2𝑏=1(𝑎>𝑏>0)，且𝑅2=𝑎2−𝑏2，则

点𝐸的轨迹方程是（ ）

A. 𝑎2−𝑏2=C. 𝑎2+𝑏2=

𝑥2

𝑦2

𝑥2

𝑦2

𝑥2+𝑦2 𝑎2+𝑏 B. 𝑎2−𝑏2=2𝑥2

𝑦2

𝑥2𝑦2 𝑥2+𝑦2 𝑎2−𝑏2 𝑥2+𝑦2 𝑎2−𝑏2 𝑥2+𝑦2 𝑎2+𝑏 D. 𝑎2+𝑏2=23

9．已知cos(𝛼+6)+sin𝛼=5，则cos(3−2𝛼)的值是（ ） A. −25 B. −25 C. 25 D. 25

10．运行如图所示的程序框图，输出的数称为“水仙花数”.（算术符号𝑀𝑂𝐷表示

取余数，如11 𝑀𝑂𝐷 2=1）.下列数中的“水仙花数”是

7

23

7

23

𝜋𝜋

A. 100 B. 153 C. 551 D. 900

11．已知函数𝑦=𝑎+2ln𝑥(𝑥∈[𝑒,𝑒])的图象上存在点𝑃.函数𝑦=−𝑥2−2的图象上存

1

在点𝑄，且𝑃,𝑄关于原点对称，则𝑎的取值范围是（ ）

A. [3,𝑒2] B. [𝑒2,+∞) C. [4+𝑒2,𝑒2] D. [3,4+𝑒]

试卷第2页，总6页

1

1

12．如图，在𝛥𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶= 6，∠𝐴𝐵𝐶=90°，点𝐷为𝐴𝐶的中点，将𝛥𝐴𝐵𝐷沿𝐵𝐷折起到𝛥𝑃𝐵𝐷的位置，使𝑃𝐶=𝑃𝐷，连接𝑃𝐶，得到三棱锥𝑃−𝐵𝐶𝐷.若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）

A. 𝜋 B. 3𝜋 C. 5𝜋 D. 7𝜋

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第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题

13．若函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3−12𝑥+𝑎的单调递减区间为(−2,2)，则𝑎=__________． 1≤𝑥+2𝑦≤3

14．已知𝑥,𝑦满足{，则𝑧=2𝑥+𝑦的最小值是__________．

−1≤𝑥−2𝑦≤115．已知函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0,|𝜑|<)的部分图象如图所示，将函数

2

𝜋𝑦=𝑓(𝑥)的图象向左平移3个单位，得到函数𝑦=𝑔(𝑥)的图象，则函数𝑦=𝑔(𝑥)在区

4𝜋间[2,2]上的最大值是__________．

𝜋5𝜋

16．已知双曲线2−

𝑥2𝑎𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1,𝐹2，且𝐹2为抛物线

𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点.设点𝑀为两曲线的一个公共点，且|𝑀𝐹1|=21，|𝑀𝐹2|=15，∠𝐹1𝐹2𝑀为钝角，则双曲线的方程为__________．

评卷人 得分 三、解答题

𝑛𝜋∗17．已知数列{𝑎𝑛}满足，𝑎𝑛=2+2cos22，𝑛∈𝑁，等差数列{𝑏𝑛}满足𝑎1=2𝑏1，𝑎2=𝑏2.

（1）求𝑏𝑛；

（2）记𝑐𝑛=𝑎2𝑛+1𝑏2𝑛+1+𝑎2𝑛𝑏2𝑛，求𝑐𝑛； （3）求数列{𝑎𝑛𝑏𝑛}前200项的和𝑆200.

18．在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，∠𝐴𝐶𝐵=120°，𝐷为𝐴1𝐵1的中点.

（1）证明：𝐴1𝐶//平面𝐵𝐶1𝐷；

（2）若𝐴1𝐴=𝐴1𝐶，点𝐴1在平面𝐴𝐵𝐶的射影在𝐴𝐶上，且侧面𝐴1𝐴𝐵𝐵1的面积为2 3，求三棱锥𝐴1−𝐵𝐶1𝐷的体积.

19．某种多面体玩具共有12个面，在其十二个面上分别标有数字1,2,3，„，12.若该玩具质地均匀，则抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等.

为检验某批玩具是否合格，制定检验标准为：多次抛掷该玩具，并记录朝上的

试卷第4页，总6页

面上标记的数字，若各数字出现的频率的极差不超过0.05.则认为该玩具合格.

（1）对某批玩具中随机抽取20件进行检验，将每个玩具各面数字出现频率的极差绘制成茎叶图（如图所示），试估计这批玩具的合格率；

（2）现有该种类玩具一个，将其抛掷100次，并记录朝上的一面标记的数字，得到如下数据： 朝上面的数1 字 次数 2 7 3 8 4 6 5 10 6 9 7 9 8 8 9 10 10 9 11 7 12 8 9 1）试判定该玩具是否合格；

2）将该玩具抛掷一次，记事件𝐴：向上的面标记数字是完全平方数（能写成整数的平方形式的数，如9=32，9为完全平方数）；事件𝐵：向上的面标记的数字

表示𝐴的对立事件）不超过4.试根据上表中的数据，完成以下列联表（其中𝐴，并

回答在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能否认为事件𝐴与事件𝐵有关. 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴合计 合计 100 （参考公式及数据：𝐾2=(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，𝑃(𝐾2≥6.635)=0.01）

20．已知椭圆𝐸:

𝑥2

𝑎2𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2

+

𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)过点𝑃(1,)，且𝐸的离心率为.

22 22

（1）求𝐸的方程；

（2）过𝐸的顶点𝐴(0,𝑏)作两条互相垂直的直线与椭圆分别相交于𝐵,𝐶两点.若∠𝐵𝐴𝐶的角平分线方程为𝑦=−3𝑥+1，求𝛥𝐴𝐵𝐶的面积及直线𝐵𝐶的方程.

𝑎𝑒𝑥,𝑥≥0,

21．已知函数𝑓(𝑥)={曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程为

𝑓′(−𝑥),𝑥<0,

𝑒𝑏𝑥−𝑦+𝑎−2=0. （1）求𝑎,𝑏；

（2）若存在实数𝑚，对任意的𝑥∈[1,𝑘](𝑘>1)，都有𝑓(𝑥+𝑚)≤2𝑒𝑥，求整数𝑘的最小值.

22．选修4-4：坐标系与参数方程

𝑥=𝑎cos𝜃已知曲线𝐶1的参数方程为{（𝑎>𝑏>0，𝜃为参数），以坐标原点𝑂为极点，

𝑦=𝑏sin𝜃𝑥轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝐶2的极坐标方程为𝜌=𝑟(𝑟>0).

试卷第5页，总6页

（1）求曲线𝐶1的普通方程与曲线𝐶2的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数；

（2）若𝑏<𝑟<𝑎，求由两曲线𝐶1与𝐶2交点围成的四边形面积的最大值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知关于𝑥的不等式𝑥|𝑥−𝑚|−2≥𝑚. （1）当𝑚=0时，求该不等式的解集； （2）当𝑥∈[2,3]时，该不等式恒成立，求𝑚的取值范围.

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参

1．A

【解析】𝐶𝑈𝐴={3,7}，故子集有4个.

点睛：集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.子集的个数是2𝑛个，真子集的个数是2𝑛−1. 2．B

【解析】𝑧=i+

1+i(1−i)(1+i)

=|𝑧|2=+=. =+i，故𝑧⋅𝑧2

2

4

4

2

13195

3．D

【解析】6元分成3份，可能性有(1,1,4),(1,2,3),(2,2,2)，第一个分法有3种，第二个分法有6种，第三个分法有1种，其中符合“最佳手气”的有4种，故概率为=.

10

54

2

4．C

【解析】(2,2)⋅(3,4)=6+8=14. 5．B

【解析】依题意有 3=2⋅2⋅𝐵𝐷⋅sin3,𝐵𝐷=2，故三角形𝐵𝐶𝐷为等边三角形，所以

1

π

𝐷𝐴=𝐷𝐶=2,∠𝐴𝐷𝐶=120∘，所以𝐴𝐶=2 3.

6．C

【解析】焦点(0,4).令𝑦=4，解得𝑥=±2，𝑦′=2𝑥，故斜率为𝑓′(±2)=±1，两切线垂直，由点斜式得到切线方程为𝑦−4=±(𝑥∓2)，即𝑦=±𝑥−4.所以前三个正确，第四个错误. 7．D

【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截去一个角所得，故体积为4−3⋅2⋅2⋅2⋅1=4−3=3.

2

10

1

1

1

1

1

1

1

1

1

8．B

【解析】由于椭圆与双曲线定义中的运算互为逆运算，所以猜想与双曲线对应的点𝐸的轨迹

𝑥2

方程为𝑎2𝑦2−𝑏2=

𝑥2+𝑦2 𝑎2−𝑏2.

9．A

【解析】依题意有cos(𝛼+6)+sin𝛼=cos(6−𝛼)=5，所以cos(3−2𝛼)=2cos2(6−𝛼)−1=−25.

7

π

π

3

π

π

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10．B

【解析】本程序的含义是：𝑎表示一个数的个位数，𝑏表示其十位数，𝑐表示其百位数.100≠13+03+03，故A不正确153=13+53+33，所以B正确，依此类推可知C,D不正确. 11．A

【解析】由题知𝑎=𝑥2−2ln𝑥+2有解，令𝑓(𝑥)=𝑥2−2ln𝑥+2，𝑓′(𝑥)=2𝑥−𝑥，故函数在[𝑒,1]递减，在[1,𝑒]递增，所以𝑓(1)≤𝑎≤𝑓(𝑒)，解得𝑎∈[3,𝑒2].

点睛：本题主要考查图像的对称性，考查函数导数与单调区间、极值的求解.题目论述两个函数图像上存在点𝑃,𝑄关于原点对称，即其中一个函数对称之后和另一个函数有交点，将𝑎分离常数后利用导数，即可求得𝑎的取值范围.在利用导数求单调区间的过程中，要注意定义域的范围. 12．D

【解析】由题意可得该三棱锥的面𝑃𝐶𝐷是边长为 3的正三角形，且𝐵𝐷⊥平面𝑃𝐶𝐷，设三棱锥𝑃−𝐵𝐶𝐷的外接球球心为𝑂，𝛥𝑃𝐶𝐷的外接圆的圆心为𝑂1，则𝑂𝑂1⊥平面𝑃𝐶𝐷，所以四边形𝑂𝑂1𝐷𝐵为直角梯形.由𝐵𝐷= 3,𝑂1𝐷=1及𝑂𝐵=𝑂𝐷，可得𝑂𝐵=

7，即为外接球半径，故其表面积为7π. 2

2

1

点睛：设几何体底面外接圆半径为𝑥,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心

可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为

𝑎,𝑏,𝑐则其体对角线长为 𝑎2+𝑏2+𝑐2;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外

接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心 13．1

【解析】𝑓′(𝑥)=3𝑎𝑥2−12，由题知𝑥=±2是方程3𝑎𝑥2−12=0的解，故𝑎=1. 14．2

【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点(0,)取得最小值为.

2

2

1

1

1

15．

3 22

12

π3

32

【解析】由图可知，函数的周期为4π，所以𝜔=，将点(,0),(0,−)代入函数表达式，解得

𝜑=−6,𝐴=3，所以𝑓(𝑥)=3sin(2𝑥−6).所以𝑔(𝑥)=3sin[2(𝑥+3)−6]=3cos2𝑥，由于𝑥∈[2,2]，可得2𝑥∈[4,4]，所以3cos2𝑥∈[−3,

16．9−27=1

𝑥2

𝑦2

π5π

1

π5π

1

3 22

π1π14ππ1

].故最大值为

3 22

.

答案第2页，总7页

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【解析】过𝑀作𝑀𝐸垂直于抛物线的准线，垂足为𝐸，过𝑀作𝑀𝐻垂直于𝑥轴，垂足为𝐻，则|𝑀𝐸|=|𝑀𝐹2|=15.所以|𝐸𝐹1|=|𝑀𝐻|=6 6.在𝑅𝑡𝛥𝑀𝐹2𝐻中，|𝐹2𝐻|=3，所以𝑝=2𝑐=12.又2𝑎=6,𝑏=27，故双曲线的方程为−

9

2

𝑥2𝑦227

=1.

点睛：本题主要考查、双曲线的定义、双曲线的几何性质及抛物线的定义与性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 17．（1）𝑏𝑛=1+(𝑛−1)3=3𝑛−2;（2）𝑐𝑛=36𝑛−18;（3）𝑆200=180000. 【解析】试题分析：（1）利用降次公式化简𝑎𝑛=3+cos𝑛π，得到𝑎𝑛的表达式，求得𝑏1,𝑏2的值，利用基本元的思想列方程组求得𝑏𝑛=3𝑛−2.（2）将（1）的结论代入，可求得𝑐𝑛=36𝑛−18.（3）根据（2）可知，𝑐𝑛为等差数列，要求的数列前200项和等价于𝑐𝑛的前100项和，利用等差数列前𝑛项和公式可求得𝑆200的值. 试题解析：

2,𝑛为奇数，（1）由题意知，𝑎𝑛=3+cos𝑛𝜋={

4，𝑛为偶数.于是𝑏1=2𝑎1=1，𝑏2=𝑎2=4，故数列{𝑏𝑛}的公差为3， 故𝑏𝑛=1+(𝑛−1)3=3𝑛−2.

（2）𝑐𝑛=2[3(2𝑛−1)−2]+ 4[3(2𝑛−2)]=36𝑛−18. （3）由（2）知，数列{𝑐𝑛}为等差数列， 故𝑆200=𝑐1+𝑐2+⋯+𝑐100 =18．（1）见解析;（2）.

41

1

𝑐1+𝑐100

2

×

2002

=180000.

【解析】试题分析：（1）连接𝐵1𝐶交𝐵𝐶1于点𝐸，连接𝐷𝐸.利用中点可得𝐷𝐸//𝐴1𝐶，所以𝐴1𝐶//平面𝐵𝐶1𝐷.（2）取𝐴𝐶中点𝑂，连接𝐴1𝑂，过点𝑂作𝑂𝐹⊥𝐴𝐵于𝐹，连接𝐴1𝐹,利用等腰三角形和射影的概念可知𝐴1𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶，所以𝐴1𝑂⊥𝐴𝐵，所以𝐴𝐵⊥平面𝐴1𝑂𝐹，所以𝐴𝐵⊥𝐴1𝐹.利用侧面𝐴1𝐴𝐵𝐵1的面积可计算得三棱锥的高，由此可计算得三棱锥的体积. 试题解析：

（1）证明：连接𝐵1𝐶交𝐵𝐶1于点𝐸，连接𝐷𝐸. 则𝐸为𝐵1𝐶的中点，又𝐷为𝐴1𝐵1的中点，所以𝐷𝐸//𝐴1𝐶，且𝐷𝐸⊂平面𝐵𝐶1𝐷，𝐴1𝐶⊄平面𝐵𝐶1𝐷，则𝐴1𝐶//平面𝐵𝐶1𝐷.

（2）解：取𝐴𝐶的中点𝑂，连接𝐴1𝑂，过点𝑂作𝑂𝐹⊥𝐴𝐵于点𝐹，连接𝐴1𝐹. 因为点𝐴1在平面𝐴𝐵𝐶的射影𝑂在𝐴𝐶上，且𝐴1𝐴=𝐴1𝐶，

所以𝐴1𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶，∴𝐴1𝑂⊥𝐴𝐵，𝐴1𝑂∩𝑂𝐹=𝑂，∴𝐴𝐵⊥平面𝐴1𝑂𝐹， 则𝐴1𝐹⊥𝐴𝐵.

设𝐴1𝑂=𝑕，在𝛥𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，∠𝐴𝐶𝐵=120°， ∴𝐴𝐵=2 3，𝑂𝐹=2，𝐴1𝐹= 4+𝑕2，

由𝑆𝐴1𝐴𝐵𝐵1= 4+𝑕2×2 3=2 3，可得𝐴1𝑂=𝑕=则𝑉𝐴1−𝐵𝐶1𝐷=𝑉𝐵−𝐴1𝐶1𝐷 =3×𝐴1𝑂×𝑆𝐵𝐴1𝐶1𝐷

答案第3页，总7页

1

1

3. 2

1

1

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=×

3

1

32

×××2 ×2×sin120°=.

2

2

4

14

111

所以三棱锥𝐴1−𝐵𝐶1𝐷的体积为.

19．（1）85%;（2）1）该玩具合格;2）见解析.

【解析】试题分析：（1）依题意可得有三个玩具不合格，故合格率为=0.85.（2）由数据

2017

可知，5点或9点的的最大频率为0.10，4点对应最小频率为0.06，极差0.04<0.05，故玩具合格.根据数据填好联表，计算𝐾2的值，由此判断出在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为事件𝐴与事件𝐵有关. 试题解析：

（1）由题意知，20个样本中，极差为0.052,0.071,0.073的三个玩具不合格，故合格率可估计为20=0.85，即这批玩具的合格率约为85%.

（2）1）由数据可知，5点或9点对应最大频率0.10,4点对应最小频率0.06，故频率极差为0.04≤0.05，故该玩具合格.

2）根据统计数据，可得以下列联表：

17

于是𝐾的观测值𝑘=

2

100×(15×60−15×10)2

30×70×25×75

=

1007

≈14.2857>6.635=𝑘0，

故在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为事件𝐴与事件𝐵有关. 20．（1）+𝑦2=1;（2）3𝑥−6𝑦−2=0.

2

𝑥2

【解析】试题分析：（1）根据椭圆离心率和椭圆上一点𝑃的坐标，列方程组，解方程组可求得椭圆的标准方程.（2）设出过𝐴点的直线方程，联立直线的方程和椭圆的方程，求得𝐵点的横坐标，由此得到|𝐴𝐵|，利用角平分线上的点到两边的距离相等建立方程，可求得斜率，由此求得三角形面积和直线方程. 试题解析：

（1）把点𝑃(1,2)代入𝐸中，得𝑎2+2𝑏2=1，又𝑎=解得𝑎2=2，𝑏2=1， ∴椭圆𝐸的方程为2+𝑦2=1.

𝑥2 21

1

𝑐𝑏2 2，∴2𝑎2=2，

1

答案第4页，总7页

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（2）设过𝐴斜率为𝑘(𝑘≠0)的直线为𝑦=𝑘𝑥+1，代入椭圆方程𝑥2+2𝑦2−2=0得 (2𝑘2+1)𝑥2+4𝑘𝑥=0，① 则𝑥𝐵=−

4𝑘2𝑘2+1

，

4|𝑘|2𝑘2+1

1

∴|𝐴𝐵|= 1+𝑘2|𝑥𝐵+0| =

1+𝑘2，②

|𝑘+1|

13在直线𝑦=−3𝑥+1上取一点𝑄(3,0)，则𝑄到直线𝑦=𝑘𝑥+1的距离为点𝑄到直线𝑦=−𝑥+1的距离为𝑘1

|−𝑘|

13 𝑘2+1，

𝑘2+1，

1

由已知条件|𝑘+1|

13 𝑘2+1=

|−𝑘|

13 𝑘2+1，解得𝑘=2或−2.

2 53

代入②得|𝐴𝐵|=

8 59

，|𝐴𝐶|=，

1

8 59

∴𝛥𝐴𝐵𝐶的面积𝑆=2|𝐴𝐵|×|𝐴𝐶|= 2×由①得𝐵(−9,−9)，𝐶(3,3).

8

7

41

1

×

2 53

=27.

40

∴𝐵𝐶的方程为𝑦−3=2(𝑥−3)，即3𝑥−6𝑦−2=0.

点睛：本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系.考查化归与转化的数学思想方法和角平分线的几何性质.第一问求椭圆的标准方程，需要两个条件，一个是椭圆的离心率，另一个是椭圆上一点的坐标，根据这两个条件列方程组即可求得椭圆方程.第二问需要用到角平分线上的点到两边距离相等这一性质来建立方程.

21．（1）𝑎=𝑏=2;（2）2. 【解析】试题分析：（1）利用切点和斜率，求得曲线在𝑥=1处的切线方程，通过对比系数可求得𝑎=𝑏=2.（2）由（1）可判断函数为偶函数，将原不等式两边取对数，可得|𝑥+𝑚|≤ln𝑥+1，去绝对值后利用分离常数法，并利用导数可求得𝑚的取值范围，进而求得𝑘的取值和取值的最小值. 试题解析：

（1）𝑥>0时，𝑓′(𝑥)=𝑎𝑒𝑥，𝑓′(1)=𝑎𝑒，𝑓(1)=𝑎𝑒.

所以曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程为𝑦−𝑓(1)=𝑓′(1)(𝑥−1)，即𝑦=𝑎𝑒𝑥. 又曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程为𝑒𝑏𝑥−𝑦+𝑎−2=0， 所以𝑎=𝑏=2.

2𝑒𝑥,𝑥≥0

（2）由（1）知𝑓(𝑥)={−𝑥，显然𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)对于任意𝑥∈𝑅恒成立，

2𝑒,𝑥<0所以𝑓(𝑥)为偶函数，𝑓(𝑥)=2𝑒|𝑥|.

|

由𝑓(𝑥+𝑚)≤2𝑒𝑥得2𝑒|𝑥+𝑚≤2𝑒𝑥， 两边取以𝑒为底的对数得|𝑥+𝑚|≤ln𝑥+1，

所以−𝑥−ln𝑥−1≤𝑚≤−𝑥+ln𝑥+1在[1,𝑘]上恒成立. 设𝑔(𝑥)=−𝑥+ln𝑥+1， 则𝑔′(𝑥)=−1+𝑥=

1

1−𝑥114

𝑥≤0（因为𝑥∈[1,𝑘]），

所以𝑔(𝑥)min=𝑔(𝑘) =−𝑘+ln𝑘+1.

答案第5页，总7页

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设𝑕(𝑥)=−𝑥−ln𝑥−1，易知𝑕(𝑥)在[1,𝑘]上单调递减， 所以𝑕(𝑥)max=𝑕(1)=−2，故−2≤𝑚≤−𝑘+ln𝑘+1， 要此不等式有解必有−𝑘+ln𝑘≥−3，又𝑘>1， 所以𝑘=2满足要求，故所求的最小正整数𝑘为2.

点睛：本题主要考查导数与曲线的切线方程求解，考查导数与恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法.第一问由于题目设计到曲线的切线方程，故利用导数，求出切点对应的斜率，再利用点斜式得出切线的方程，通过对比系数可得出参数的值.恒成立问题主要解法是分离常数法，分离常熟后往往利用导数来求得最值，进而求出常数的取值范围. 22．（1）当𝑟=𝑎或𝑏时，两曲线有两个公共点； 当𝑏<𝑟<𝑎时，两曲线有四个公共点； 当0<𝑟<𝑏或𝑟>𝑎时，两曲线无公共点. （2）见解析.

【解析】试题分析：（1）利用sin2𝜃+cos2𝜃=1消去参数，求得椭圆的普通方程为𝑎2+𝑏2=1，将圆的极坐标方程两边平方，可求得圆的直角坐标方程为𝑥2+𝑦2=𝑟2(𝑟>0).故当𝑟=𝑎或𝑏时，两曲线有两个公共点；当𝑏<𝑟<𝑎时，两曲线有四个公共点；当0<𝑟<𝑏或𝑟>𝑎时，两曲线无公共点.（2）根据椭圆和圆的对称性可知，四边形也关系𝑥,𝑦轴和原点对称，设四边形第一象限的点为(𝑎cos𝜃,𝑏sin𝜃)，利用面积公式可求得最大面积为2𝑎𝑏. 试题解析： （1）𝐶1:

𝑥2𝑎2𝑥2

𝑦2

+

𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，𝐶2:𝑥2+𝑦2=𝑟2(𝑟>0).

当𝑟=𝑎或𝑏时，两曲线有两个公共点； 当𝑏<𝑟<𝑎时，两曲线有四个公共点； 当0<𝑟<𝑏或𝑟>𝑎时，两曲线无公共点.

（2）由于曲线𝐶1与曲线𝐶2关于𝑥轴、𝑦轴以及原点对称， 所以四边形也关于𝑥轴、𝑦轴以及原点对称. 设四边形位于第一象限的点为(𝑎cos𝜃,𝑏sin𝜃)， 则四边形的面积为

𝑆=4𝑎cos𝜃•𝑏sin𝜃= 2𝑎𝑏sin𝜃≤2𝑎𝑏. 当且仅当sin2𝜃=1，即𝜃=时，等号成立.

4

𝜋23．（1）{𝑥|𝑥≥ 2};（2）{𝑚|𝑚≤3或𝑚≥6}.

【解析】试题分析：（1）当𝑚=0时，原不等式为𝑥|𝑥|−2≥0，利用零点分段法可求得解集为{𝑥|𝑥≥ 2}.（2）当𝑥∈[2,3]时，原不等式可化为|𝑥−𝑚|≥去绝对值，利用分离常数法可求得𝑚的取值范围. 试题解析：

（1）当𝑚=0时，原不等式化为𝑥|𝑥|−2≥0， 等价于{

𝑚+2

.对𝑚分成𝑚≤𝑥2

−2,𝑚>−2两类，

𝑥≥0𝑥<0

或{2，解得𝑥≥ 2. 2

𝑥≥2−𝑥≥2

𝑚+2

①. 𝑥所以所求的不等式的解集为{𝑥|𝑥≥ 2}.

（2）∵𝑥∈[2,3]，∴𝑥>0，∴原不等式化为|𝑥−𝑚|≥

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当𝑚≤−2，即𝑚+2≤0时，①式恒成立，所以𝑚≤−2. 当𝑚>−2，即𝑚+2>0时，①式化为

𝑥−𝑚≥

𝑚+2

，或𝑥−𝑚≤𝑥−

𝑚+2

. 𝑥化简得𝑥2−2≥𝑚(𝑥+1)，或𝑥2+2≤𝑚(𝑥−1). ∵𝑥∈[2,3]，∴𝑥+1>0，𝑥−1>0， ∴𝑚≤

𝑥2−2又𝑥+1

𝑥2−2𝑥2+2

或𝑚≥. 𝑥+1𝑥−1

=

𝑥2+2𝑥−𝑥+1−1，𝑥−1

1

=𝑥−1+𝑥−1+2， =

𝑥2+2，()3𝑥−1max2

3

所以当𝑥∈

23

𝑥2−2

[2,3]时，()𝑥+1min

=6，

所以𝑚≤，或𝑚≥6. 所以−2<𝑚≤，或𝑚≥6.

32

综上实数𝑚的取值范围为{𝑚|𝑚≤3或𝑚≥6}.

2

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