广东省六校2019届高三第一次联考(理数)

广东省六校2019届高三第一次联考

数学（理科）

本试卷共6页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条

形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选项出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目定区域内相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

21．已知集合Ax|1，B{x|2x1}，则(∁RA)B

x1 A．[1,0) B．(1,0) C．(,0)

2．若复数z满足zi12i，则z的共轭复数的虚部为

A．2i

B．i

C．1

D．2

D．(,1)

3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S52S4，a2a48，则a5

A．6

B．7

C．8

D．10

4．在区间[π,π]上随机取两个实数a,b，记向量OA(a,4b)，OB(4a,b)，则OAOB4π2的 概率为 A．1π 8B．1π 4C．1π 2D．13π 4x2y25．已知直线l的倾斜角为45，直线l与双曲线C:221（a0,b0）的左、右两支分别交

ab于M、N两点，且MF1、NF2都垂直于x轴（其中F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为 A．3 B．5 C．51

D．51 26．在△ABC中，D为AB的中点，点E满足EB4EC，则ED

54ABAC 6354C．ABAC

63A．

45ABAC 35D．ABAC

36B．

1

7．某几何体的三视图如右图所示，数量单位为cm，它的体积是

2733A．cm

2933C．cm

2

9

B．cm3

227D．cm3

2233348．已知A是函数f(x)sin2018xcos2018x的最大值，

63π 2018π 10092π 1009若存在实数x1,x2使得对任意实数x总有f(x1)f(x)f(x2)成立，则A|x1x2|的最小值为 A．

B．

C．

D．

π 40369．定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(2x)及f(x)f(x)，且在[0,1]上有f(x)x2， 则f(2019)

A．

129 4B．

1 4C．

94D．

1410．抛物线y2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为

A．

11 8B．

5 4C．

3 2D．1

11．已知三棱锥PABC中，ABBC，AB22，BC3，PAPB32，且二面角 PABC的大小为150，则三棱锥PABC外接球的表面积为

A．100π

B．108π

C．110π

D．111π

12．已知数列{an}满足a12a23a3nan(2n1)3n．设bn4n，Sn为数列{bn}的前n项anD．

和．若Sn（常数），nN*，则的最小值是 A．

3 2B．

9 4C．

31 1231 18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x2y50,13．若x,y满足约束条件x3y50, 则zx2y2的最大值为 ．

2xy50.14．若a(2sinxcosx)dx，则(x)6的展开式中常数项为 ．

0ax15．已知点P(1,2)及圆(x3)2(y4)24，一光线从点P出发，经x轴上一点Q反射后与圆相

切于点T，则|PQ||QT|的值为 ．

16．已知函数f(x)xaxbx满足f(1x)f(1x)220，则f(x)的单调递减区间是

．

2

32

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。 17．（12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2c2b2abcosAa2cosB． （1）求角B； （2）若b27，tanC

18．（12分）

如图甲，设正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在AB、CD上，且满足AE2EB，

3，求△ABC的面积． 2CF2FD．如图乙，将直角梯形AEFD沿EF折到A1EFD1的位置，使得点A1在平面BEFC上的

射影G恰好在BC上． （1）证明：A1E平面CD1F；

（2）求平面BEFC与平面A1EFD1所成二面角的余弦值．

ADFA1D1EB图甲FECCBG图乙 3

19．（12分）

某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程R的行业标准，予以地方财政补贴．其补贴标准如下表：

出厂续驶里程R(公里) 补贴（万元/辆）

3 4 4.5

0.006频率组距0.0050.0040.0030.0020.0010(公里)150200250300350400450持续里程R150R250 250R350 R350 2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R，得到频率分布直方图如上图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题： （1）求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；

（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：

辆数 天数 [5500,6500) 20 [6500,7500) 30 [7500,8500) 40 [8500,9500) 10 （同一组数据用该区间的中点值作代表）

2018年2月，国家出台，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来．该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台； 交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．

该企业现有两种购置方案：

方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩； 方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．

假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）．

4

20．（12分）

已知圆C:(x1)2y236与定点M(1,0)，动圆I过M点且与圆C相切． （1）求动圆圆心I的轨迹E的方程；

（2）若过定点N(0,2)的直线l交轨迹E于不同的两点A、B，求弦长|AB|的最大值．

21．（12分）

已知函数f(x)lnx2． x（1）求函数f(x)在[1,)上的值域；

（2）若x[1,)，lnx(lnx4)2ax4恒成立，求实数a的取值范围．

5

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做

的第一题计分。

22．[选修4 ― 4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，将曲线C1向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保

1，得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立2极坐标系，C1的极坐标方程为4cos．

持不变，纵坐标缩短为原来的（1）求曲线C2的参数方程；

（2）已知点M在第一象限，四边形MNPQ是曲线C2的内接矩形，求内接矩形MNPQ周长的最大值，并求周长最大时点M的坐标．

23．[选修4 ― 5：不等式选讲]（10分） 已知f(x)|x2a||2xa|，g(x)2x3．

（1）当a1时，求不等式f(x)4的解集；

a（2）若0a3，且当x[,1)时，f(x)g(x)恒成立，求a的取值范围．

2 6

数学（理科）参

一、选择题

1．A 2．C 3．D 4．B 5．D 二、填空题 13．25 三、解答题

17．解析：（1）因为a2c2b2abcosAa2cosB，由余弦定理，得

2accosBabcosAa2cosB，所以 …………………………………………………… 2分 2ccosBbcosAacosB，由正弦定理，得

2sinCcosBsinBcosAsinAcosBsin(AB)sinC， …………………………… 4分 又C(0,)，sinC0，所以

14．240

15．43

16．(1,3)（注意：写闭区间也给分）

6．A 7．C 8．B 9．D 10．A 11．D 12．C

1cosB，B(0,)， …………………………………………………… 5分

2所以B ． …………………………………………………… 6分

332127（2）由tanC，C(0,)，得sinC，cosC， …………………… 7分

277327121321所以sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC， ……… 8分 272714bsinA27321ab6， …………………………… 10分 由正弦定理，得asinB314sinAsinB2112163． …………………………… 12分 所以△ABC的面积为absinC627227

18．解析：（1）在图甲中，易知AE//DF，从而在图乙中有A1E//D1F，

A1E平面CD1F，D1F平面CD1F，

A1E平面CD1F． …………………………………………………… 4分

（2）法一：（传统几何法）略解如下： 过点G作GHEF于H，连接A1H，

易证（略），A1HG即为所求二面角的平面角， 易求得：BG1，AG10，AH310， 5GHAGAH210， 52． 3…………………………………………………… 12分 法二：（向量法）

如图，在图乙中作GHEF,垂足为H,

平面EBCF，则AG连接A1H,由于AGEF, 11EF平面A1GH,则EFA1H，图甲中有EFAH， 又EFGH，则A、G、H三点共线．

设CF的中点为M,则MF1,可证ABGEMF，

在RtAGH中，cosA1HG1丙图

7

BGMF1，则AG10， 又由ABGAHE，得，A1HAH410， ABAE6， AG10于是, HGAGAH在RtAGH中, AGA1H2HG22， ……………………………………………… 8分 11作GT//BE交EF于点T，则TGGC． 以点G为原点,分别以GC、GT、GA1所在直线为x、y、z轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系， 则G(0,0,0),E(1,1,0) , F(2,2,0) , A1(0,0,2) ， 则EF(1,3,0),EA1(1,1,2) ,GA1是平面BEFC的一个法向量， 易求得平面A1EFD1的一个法向量n(3,1,22), ………………………………………… 10分 设平面BEFC与平面A1EFD1所成二面角为，可以看出，为锐角， 2cos|cosn,GA1|， 3所以，平面BEFC与平面A1EFD1所成二面角的余弦值为2．……………………………… 12分 3

19．解析：（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：

3 4 4.5 补贴（万元/辆） 0.2 0.5 0.3 概 率 …………………………………………………… 3分

纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为30.240.54.50.33.95(万元)．

…………………………………………………… 4分

（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列： 6000 7000 8000 9000 辆 数 0.2 0.3 0.4 0.1 概 率 若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为

3010049006600(辆）； …………………………………………………… 6分 可得实际充电车辆数的分布列如下表： 6000 6600 实际充电辆数 0.2 0.8 概 率 于是方案一下新设备产生的日利润均值为 25(60000.266000.8)5001008090040000(元）；…………………………… 8分 若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为 3020044007600(辆）； …………………………………………………… 10分 可得实际充电车辆数的分布列如下表： 6000 7000 7600 实际充电辆数 0.2 0.3 0.5 概 率 于是方案二下新设备产生的日利润均值为 25(60000.270000.376000.5)5002008040045500(元)．……………… 12分

20．解析：（1）设圆I的半径为r，题意可知，点I满足：

|IC|6r，|IM|r，

所以，|IC||IM|6， …………………………………………………… 3分

由椭圆定义知点M的轨迹为以C,A 为焦点的椭圆，且a3,c1

8

x2y21． …………………………………………… 5分 进而b22，故轨迹E方程为：9（2）当直线l斜率不存在时，A(0,1)，B(0,1)或A(0,1)，B(0,1)，

此时弦长|AB|2． …………………………………………… 6分 当直线l斜率存在时，设l的方程为：ykx2，

ykx222(19k)x36kx270， 由x2 消去得：y2y191由△(36k)2108(19k2)0得k2， 设A(x1,y1)、B(x2,y2)，可得：

336k27x1x2xx，12， …………………………………………………… 7分

19k212k263(1k2)(3k21)2736k，………9分 |AB|1k|x1x2|1k422219k12k19k令19k2t，则t4，

22263(1k2)(3k21)11432110,， ，|AB|212324122t419ktttt2153211时，此时k，|AB|max． ………………………………………… 11分

2t16332综上，弦长|AB|的最大值为． …………………………………………………… 12分

2当

21．解析：（1）易知f(x)1lnx0 (x1)，………………………………………… 1分 x2f(x)在[1,)上单调递减，f(x)max2， ………………………………………… 3分 x1时，f(x)0， ………………………………………… 4分 f(x)在[1,)上的值域为(0,2]． ………………………………………… 5分

lnx2a，…………………… 6分

x（2）令g(x)lnxlnx42ax4，

则g(x)2①若a0，则由（1）可知，g(x)0，g(x)在[1,)上单调递增，

g(e)12ae>0，与题设矛盾，a0不符合要求； ……………… 7分

②若a2，则由（1）可知，g(x)0，g(x)在[1,)上单调递减，

g(x)g12a40，a2符合要求； ………………………………… 8分

lnx02a， ③若0a2，则x0(1,)，使得

x0且g(x)在(1,x0)上单调递增，在(x0,)上单调递减，

gxmaxgx0lnx0lnx042ax04，………………………………………… 9分

lnx0ax02，

gxmaxgx0=ax02ax022ax04ax02ax04．

由题：gxmax0，即ax02ax040，2ax04，

9

2即2lnx024 1x0e． ………………………………………… 10分

alnx02lnx2，且由（1）可知y在(1,)上单调递减， x0x4a2． ………………………………………… 11分 e24综上，a2． ………………………………………… 12分

e

2222．解析：（1）4cos的普通方程为(x2)y4，………………………………… 2分

x2y21，此即为曲线C2的普通方程，…………………………… 4分 经过变换后的方程为 4x2cos曲线C2的参数方程为(为参数). …………………………………………5分

ysin（2）设四边形MNPQ的周长为l，设点M(2cos,sin（)02， ）l8cos4sin45(且cos21cossin)45sin()，……………………… 6分 5512，sin， ………………………………………………… 7分 550lmax245 ． ………………………………………… 9分

++sin()sin()1， 22且当2时，l取最大值，此时2，

所以，2cos2sin

45541,). …………… 10分 ，sincos，此时M(555523．解析：（1）当a1时，不等式f(x)4即为|x2||2x1|4， ……………1分

11①当x时，不等式化为(x2)(2x1)4，解得1x； ……………2分

2211②当x2时，不等式化为(x2)(2x1)4，解得x1； …………3分

22③当x2时，不等式化为(x2)(2x1)4，无解； ……………………4分 综上，不等式f(x)4的解集为{x|1x1}． ……………………………………5分

a（2）当x[,1)时，f(x)|x2a|2xa， ……………………………………………6分

2f(x)g(x)即为|x2a|3a， …………………………………………………… 7分

a而3a0，所以a3x2a3a在x[,1)上恒成立，

2即3a3x3a，所以，只需 …………………………………………………… 8分

a63a3，解得a， …………………………………………………… 9分

276所以a的取值范围为(0,)． ……………………………………………………10分

7

10