专题04充分条件与必要条件
一.充分条件与必要条件
命题真假 推出关系 条件关系 q是p的必要条件
二.充要条件
1．如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q． 2．如果p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件． 3．如果p⇒q且q⇒/ p，则称p是q的充分不必要条件． 4．如果p⇒/ q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．
5．设与命题p对应的集合为A＝{x|p(x)}，与命题q对应的集合为B＝{x|q(x)}， 若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件．
6．p是q的充要条件是说，有了p成立，就一定有q成立．p不成立时，一定有q不成立．
q不是p的不必要条件 “若p，则q”是真命题 p⇒q p是q的充分条件 “若p，则q”是假命题 p⇒/ q p不是q的不充分条件 典型题型与解题方法 重要考点一：充分条件
【典型例题】“𝑥2>2017”是“𝑥2>2016”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【题型强化】1.若“𝑥>3”是“𝑥>𝑎 “的充分不必要条件，则实数𝑎的取值范围是_____.
2.𝑝：二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与𝑥轴有交点；𝑞：判别式𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐>0，则𝑞是p的什么条件__________.（充分条件、必要条件） 【名师点睛】
1.判断p是q的充分条件，就是判断命题“若p，则q”为真命题．
2．p是q的充分条件说明：有了条件p成立，就一定能得出结论q成立．但条件p不成立时，结论q未必
不成立．
例如，当x＝2时，x2＝4成立，但当x≠2时，x2＝4也可能成立，即当x＝－2时，x2＝4也可以成立，所以“x＝2”是“x2＝4”成立的充分条件，“x＝－2”也是“x2＝4”成立的充分条件．
重要考点二：必要条件
【典型例题】已知𝑎、𝑏∈𝑹，下列条件中，使ab成立的必要条件是（ ） A．𝑎>𝑏−1
B．𝑎>𝑏+1
C．|𝑎|>|𝑏|
D．𝑎2>𝑏2
“𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)有实根”是“𝑎𝑐<0”1.从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：【题型强化】的________．
“有志者，“坚持就是胜利”等熟语来勉励自己和他人保持信心、2.生活中，我们还常用“水滴石穿”、事竟成”、坚持不懈地努力在这些熟语里，“石穿”、“事成”、“胜利”分别是“水滴”、“有志”、“坚持”的______条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步。（填“充分不必要、必要不充分、充要或者既不充分也不必要”） 【名师点睛】
1.判断p是q的必要条件，就是判断命题“若q，则p”成立； 2．p是q的必要条件理解要点：
①有了条件p，结论q未必会成立，但是没有条件p，结论q一定不成立． ②如果p是q的充分条件，则q一定是p的必要条件．
真命题的条件是结论的充分条件；真命题的结论是条件的必要条件．假命题的条件不是结论的充分条件，但是有可能是必要条件．例如：命题“若p：x2＝4，则q：x＝－2”是假命题．p不是q的充分条件，但q⇒p成立，所以p是q的必要条件． 3．推出符号“⇒”
只有当命题“若p，则q”为真命题时，才能记作“p⇒q”．
重要考点三：充分条件与必要条件的应用
【典型例题】已知集合𝐴={𝑥∈𝑹|−1<𝑥<3}，𝐵={𝑥∈𝑹|𝑥<𝑚+1}，若𝑥∈𝐵成立的一个充分不必要条件是𝑥∈𝐴，则实数𝑚的取值范围是（ ） A．{𝑚|𝑚≥2}
B．{𝑚|𝑚≤2}
C．{𝑚|𝑚>2}
D．{𝑚|−2<𝑚<2}
【题型强化】1.已知𝑝:4𝑥−𝑚<0，𝑞:1≤3−𝑥≤4，若p是𝑞的一个必要不充分条件，则实数𝑚的取值范围为（ ）．
A．{𝑚|𝑚≥8} C．{𝑚|𝑚>−4}
B．{𝑚|𝑚>8} D．{𝑚|𝑚≥−4}
2.若𝑝:𝑥2+𝑥−6=0是𝑞:𝑎𝑥+1=0的必要不充分条件，且𝑎≠0，则实数a的值为______. 【名师点睛】
充分条件与必要条件的应用技巧：
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
重要考点四：充要条件的判断
【典型例题】a，b中至少有一个不为零的充要条件是（ ） A．ab＝0 C．a2＋b2＝0
B．ab>0 D．a2＋b2>0
【题型强化】1.设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得𝐴⊆𝐶，Bð（ ） UC”是“𝐴∩𝐵=∅”的A．充分而不必要条件 C．充要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2.“方程x22xa0没有实数根”的充要条件是________. 【名师点睛】
判断p是q的充分必要条件的两种思路
(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立，若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．
(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．
重要考点五：利用充分条件和必要条件确定参数的取值范围
【典型例题】“不等式A．
B．
在上恒成立”的充要条件是（ ）
C．
D．
【题型强化】1.方程𝑎𝑥2+2𝑥+1=0至少有一个负根的充要条件是（ ） A．0<𝑎≤1
B．𝑎<1
C．𝑎≤1
D．0<𝑎≤1或𝑎<0
𝑎−1=1
2.已知两个关于x的一元二次方程{和𝑥2−4𝑚𝑥+4𝑚2−4𝑚−5=0，两方程的根都是整数的充要
𝑏−1=3条件为_______________． 【名师点睛】
充要条件中的含参数问题，往往是通过集合的包含关系解答．
重要考点六：充要条件的证明
【典型例题】已知𝑥,𝑦都是非零实数，且𝑥>𝑦，求证：𝑥<𝑦的充要条件是𝑥𝑦>0.
【题型强化】1.已知𝑎𝑏≠0，求证：𝑎+𝑏=1的充要条件是𝑎3+𝑏3+𝑎𝑏−𝑎2−𝑏2=0．
2.求证：方程
【名师点睛】
(1)充要条件的证明要确定命题中的条件和结论，要从两个方面进行证明，证充分性就是证原命题成立，证必要性就是证原命题的逆命题成立．
(2)证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件．尽管证明充要条件问题中，前者可以是后者的充分条件，也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了，一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q是该步中证明的“结论”，即p⇒q．
有两个同号且不相等的实根的充要条件是
．
1
1
重要考点七：充要条件的探求
【典型例题】下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3）𝑝:𝑥𝑦>0，𝑞:𝑥>0，𝑦>0；
（4）𝑝:𝑥=1是一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的一个根，𝑞:𝑎+𝑏+𝑐=0(𝑎≠0).
【题型强化】1.指出下列各题中，p是𝑞的什么条件，并说明原因． （1）𝑝:数𝑎能被6整除，𝑞:数𝑎能被3整除； （2）𝑝:𝑥>1，𝑞:𝑥2>1；
（3）𝑝:四边形的对角线相等，𝑞:四边形是平行四边形．
2.已知条件p：𝑥2−3𝑥−4≤0；条件q：𝑥2−6𝑥+9−𝑚2≤0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是什么？
【名师点睛】
(1)探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：①先由结论寻找使之成立的必要条件，再验证它也是使结论成立的充分条件，即保证充分性和必要性都成立．②变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件．
(2)求一个命题的充要条件时，往往要从两个方面进行求解：一是充分性，二是必要性．
课后练习 𝑥+𝑦>𝑎+b,𝑥>a,
1．若𝑎,𝑏,𝑥,𝑦∈𝑅，则 {()()>0 是 { ()
𝑦>𝑏成立的 x-ay-bA．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2
2．【必修第一册 过关斩将】设x∈R，则“|x－2|<1”是“x＋x－2>0”的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
𝐴∪𝐵”的( ) 3．【高一第一学期 新高考辅导与训练】对于集合𝐴，𝐵，“𝐴≠𝐵”是“𝐴∩𝐵⊂≠A．充要条件 C．充分非必要条件
B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
4．【高一第一学期 新高考辅导与训练】二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的值恒为正值的充要条件是( ) A．𝑏2−4𝑎𝑐>0
B．𝑏2−4𝑎𝑐⩾0
C．𝑎>0,𝑏2−4𝑎𝑐<0 D．𝑎⩽0,𝑏2−4𝑎𝑐<0
5．【高一第一学期 新高考辅导与训练】“𝑏2−4𝑎𝑐<0”是“一元二次不等式ax2bxc0的解集为𝑅”的（ ）
A．充分非必要条件 C．充要条件
B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
6．【必修第一册 逆袭之路】xR，则“𝑥=−1”是 “𝑥2−5𝑥−6=0”的（ ）条件 A．充分必要
B．充分而不必要
C．必要而不充分
D．既不充分也不必要
27． 【福建省莆田第一中学2019-2020学年第一次月考】不等式2x-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．𝑥<−1或𝑥>4 B．𝑥⩾0或𝑥⩽−2 C．x0或𝑥>2
3 D．𝑥⩽−或x…2
1
8．【必修第一册 逆袭之路】“𝑚≥0”是“𝑥2+2𝑥+𝑚≥0对任意𝑥∈𝑅恒成立”的( ) A．充分不必要条件 C．必要不充分条件
B．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．【安徽省合肥七中、合肥十中2018-2019学年联考】集合𝐴={𝑥||𝑥|≤4,𝑥∈𝑅}，B{x|xa}，则“𝐴⊆𝐵”是“𝑎>5”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
10．【高一第一学期 新高考辅导与训练】|𝑥|>3是𝑥>3的（ ） A．充分非必要条件 C．充要条件
B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
11．设𝑎,𝑏∈𝑅，则“ab”是“𝑎2>𝑏2”的（ ） A．充分必要条件 C．充分不必要条件
B．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件
12．【必修第一册 必杀技】设𝑎，bR，则“𝑎|𝑎|>𝑏|𝑏|”是“ab”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
13．【江苏省南京市江宁区2019-2020学年期中联考】若𝑥，𝑦为实数，则“𝑥𝑦>0”是“|𝑥+𝑦|=|𝑥|+|𝑦|”的______ 条件.（在“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要”中选一个填写）
14．【江苏省苏州中学2019-2020学年10月月考】“𝑥>1”是“𝑥2>𝑥”的____________条件（填“充分必要”、
“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）
15．【江苏省南通市如皋市2018-2019学年高二下学期第一次质量调研】已知𝐴={𝑥|𝑥2−𝑥−2<0}，𝐵={𝑥|𝑥≥−1}，则“𝑥∈𝐴”是“𝑥∈𝐵”的______条件.
16．【安徽省滁州市明光中学2019-2020学年高二下学期开学考试】“𝑥≠1或𝑦≠2”是“𝑥+𝑦≠3”的__________条件（填写“充分非必要、必要非充分、充要、既不充分也非必要”）
17．已知s是𝑟的充分条件，𝑟是p的充分条件，p是s 充分条件，则s是p的____条件． 18．【河北省安平中学2020届高三上学期第一次月考】已知“命题𝑝:(𝑥−𝑚)2>3(𝑥−𝑚)”是“命题𝑞:𝑥2+3𝑥−4<0”成立的必要不充分条件，则实数𝑚的取值范围为________.
19．【四川省自贡市田家炳中学2019-2020学年高二下学期期中】已知命题𝑝:|4−𝑥|≤6,𝑞:𝑥2−2𝑥+1−𝑎2≥0(𝑎>0)若非
20．【江苏省南京市第二十九中学、宁海中学2019-2020学年高二下学期期中】已知𝐴={𝑥|𝑥2−8𝑥−20≤0}，𝐵={𝑥||𝑥−𝑚|≤2}
（1）若“∃x∈A，使得x∈B”为真命题，求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使“x∈A”是“X∈B”必要不充分条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
21．【天津市和平区第二南开中学2019-2020学年高一上学期第一次月考】已知𝑝:𝑥2≤5𝑥−4，𝑞:𝑥2−(𝑎+2)𝑥+2𝑎≤0．
（1）求p中对应x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
22．【山东省滕州一中2019-2020学年高一上学期期末】已知非空集合𝐴={𝑥|𝑥2−(3𝑎−1)𝑥+2𝑎2−𝑎<0}，集合𝐵={𝑥|𝑥2−4𝑥+3<0}．
是的充分不必要条件，求的取值范围.
（1）当𝑎=2时，求𝐴∩𝐵；
（2）命题𝑝:𝑥∈𝐴，命题𝑞:𝑥∈𝐵，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
