【教案】4.1.1 《n次方根与分数指数幂》教案

教学设计

一、教材分析： 从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，并将幂的运算性m1； 质由整数指数幂推广到分数指数幂．通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；；∈R)含义的认识， 、实数指数幂ax(a>0，且a≠了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 教学目标 1．掌握n次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算； 2．了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化； 3．理解有理数指数幂的含义及其运算性质． 教学重难点 【教学重点】

理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 【教学难点】

能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 课前准备

引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础． 二、教学过程：

（一）自主预习——探新知： 问题导学n预习教材P104－P109，并思考以下问题：1．n次方根是怎样定义的？2．根式的定义是什么？它有哪些性质？3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？4．有理指数幂有哪些运算性质？

（二）创设情景，揭示课题

（1）以牛顿首次使用任意实数指数引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性．

（2）简单复习正整数指数幂的概念和运算，并且思考一下问题：

４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？ -27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？ 如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，

4

类似的，（±2）＝16，我们可以把±2叫做16的4次方根，（2）5＝32，2叫做32的5次方根？ 推广到一般情形，a的n次方根是一个什么概念？给出定义． （3）当n是奇数时，a的n次方根为na．当n是偶数时，若a>0，则a的n次方根为na； 若a=0，则a的n次方根为0； 若a<0，则a的n次方根不存在．即：

负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.

我们把式子na(nN,n1)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． （4）一起看 (32)3,(52)5,(42)4分别等于什么？一般地(na)n等于什么？

由n次方根的意义，可得(na)na ，

5换一下呢？ 3(2)3,25,424,4(2)4分别等于什么？一般地a 等于什么？

nn当n是奇数时nana； 当n是偶数时nan|a|，然后对a的正负分类考虑，以夏天、冬天穿衣服为例子帮助记忆。 （三）合作探究——提素养： 课本例题1、求下列各式的值：

（1） （3）

43(8)3; （2）

(10)2;

(3)4; （4）(ab)2(ab).

题型一利用根式的性质化简求值[经典例题](1)下列各式正确的是()8A.a8＝aB．a0＝145C.－44＝－4D.－55＝－5(2)计算下列各式：565①－a＝________.②3－π6＝________.1333③6－3－0.125＝________.48跟踪训练1求下列各式的值：34(1)－23；(2)－32；87822(3)3－π；(4)x－2xy＋y＋y－x7. 强调：由根式被开方数正负讨论x≥y，x5 aa105(a)aa(a)aa343252105(a0),(a0).

335574124124观察上述两个等式，能总结出什么规律？按照上述规律，根式45，7，a分别可写成什么形式？ 我们规定正数的正分数指数幂的意义：an＞1）， 那么如何规定anmnma （a>0，m，n∈N且

nm （a>0，m，n∈N，且n＞1）的含义？ 零的分数指数幂呢？

规定：amnnam(a0,m,nN*,n1)

mna1amn1nam(a0,m,nN*,n1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

（6）．有理指数幂的运算性质

（1）arasars(a0,r,sQ)； （2）(ar)sars(a0,r,sQ)；

（3）(ab)rarbr(a0,b0,rQ)． 课本例题2、 求值：(1)、8

2316(2)、8134

课本例题3、用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中a>0）：

(1)、a23a2 (2)、a3a

题型二根式与分数指数幂的互化[经典例题]34(1)将分数指数幂a(a>0)化为根式为________．510(2)化简：(a2·a3)÷(a·a9)＝________.(用分数指数幂表示)．(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．323①a·a.3②a－4b2ab2(a>0，b>0)． 跟踪训练234下列根式与分数指数幂的互化正确的是(12)A.－x＝(－x)C．x(x>0)(x>0)2B.6y＝y3(y<0)11()3＝x43D．x＝－x(x≠0)13 课本例题4、计算下列各式（式中字母均是正数）：

2132ab2(1)、1126ab31563ab6

(2)、(mn)14388 (3)、(3a2a3)4a2

题型三：分数指数幂的运算与化简计算下列各式(式中字母均是正数)：301120.52(2)2(2)(0.01)(1)5；4

方法归纳：

指数幂的运算底数是负数，先确定符号;底数是小数，先要化成分数． 底数是带分数，先化成假分数，然后表示成指数幂的形式，按照法则进行运

算．

（四）达标检测——固双基：

（五）课后作业：

课本P107:1、2、3；P109；习题4.1 ： 4、5。