1．1 导数的概念1.1.1 平均变化率
1．通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率．(重点)
2．了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的情境中，说明平均变化率的实际意义．(难点)
3．平均变化率的正负．(易混点)
[基础·初探]
教材整理 函数的平均变化率阅读教材P5～P7，完成下列问题．1．函数平均变化
一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.2．平均变化率的意义
平均变化率的几何意义是经过曲线y＝f(x)上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线PQ的斜率．因此平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．1．判断正误：
1
(1)函数的平均变化率为零，说明函数没有发生变化．( )
(2)自变量的改变量x2－x1取值越小，越能准确体现函数的变化率．( )(3)对山坡的上、下两点A，B中，可以近似刻画弯曲山路的陡峭程度．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
2．函数y＝2x＋2在[1,2]上的平均变化率是________.
【导学号：01580000】
【解析】 ＝2.【答案】 2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
求函数的平均变化率 (1)已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，f(x＋Δx)－f(x)
的值为________．
(2)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
【精彩点拨】 (1)由f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)可得．(2)求x2－x1→求f(x2)－f(x1)→计算
【自主解答】 (1)f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.【答案】 0.41
2
(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.
因为<，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．
1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量x2－x1；第二步，求函数值的增量f(x2)－f(x1)；第三步，求平均变化率.2．求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用的形式．[再练一题]
1．如图1-1-1，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．
图1-1-1
【解析】 ∵kAB＝＝＝－1，
由平均变化率的意义知y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率为－1.【答案】 －1
实际问题中的平均变化率 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后
的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率；(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．
【精彩点拨】 (1)求函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在区间[0,0.5]上的平均变化率；(2)求函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在区间[1,2]上的平均变化率．
3
【自主解答】 (1)运动员在第一个0.5 ＝4.05(m/s)．
s内高度h的平均变化率为
(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为＝－8.2 (m/s)．
实际问题中的平均变化率与函数在某一区间上的平均变化率类似，首先求f(x2)－f(x1)，再求比值，当函数解析式没有给定时，先根据实际问题求出函数解析式，再重复上述步骤即可．
[再练一题]
2．一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在2到2＋Δt(”t>0)之间的平均速度不大于5，则Δt的取值范围是________．
【解析】 质点在2到2＋Δt之间的平均速度为＝＝＝4＋Δt，
又≤5，则4＋Δt≤5，所以Δt≤1，又Δt>0，所以Δt的取值范围是(0,1]．【答案】 (0,1]
[探究共研型]
平均变化率的应用探究1 函数y＝f(x)由x1变化到x2时的平均变化率是什么？【提示】
探究2 平均变化率的大小说明什么意义？
【提示】 平均变化率的绝对值越大，表示函数值变化的越快，若平均变化率为负，则表示函数值在减小，若平均变化率为正，表示函数值在增加．
已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系
是V(r)＝Àr3.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V)；
(2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？
【精彩点拨】 (1)由体积V和半径r的关系反解即可．(2)分别求函数r(V)在区间[0,1]和[1,2]上的平均变化率，然后比较说明．
【自主解答】 (1)∵V＝Àr3，∴r3＝，r＝，即r(V)＝.
4
(2)函数r(V)在区间[0,1]上的平均变化率约为＝≈0.62(dm/L)，函数r(V)在区间[1,2]上的平均变化率约为＝－≈0.16(dm/L)．
显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化快，这说明气球刚开始膨胀的比较快，随着体积的增大，半径增加的越来越慢．
平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．
平均变化率为正值，表示函数值在增加；平均变化率为负值，表示函数值在减小．
[再练一题]
3．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s到0 m/s花了5 s，乙车从18 m/s到0 m/s花了4 s，试比较两辆车的刹车性能．
【解】 甲车速度的平均变化率为＝－5(m/s2)，乙车速度的平均变化率为＝－4.5(m/s2)，
平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．
[构建·体系]
1．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为________.
【导学号：01580001】
【解析】 ＝＝4＋2”x.
5
【答案】 4＋2”x
2．质点运动规律s＝2t2＋5，则在时间(2,2＋Δt)中，相应的平均速度等于________．
【解析】 s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2＋5－(2×22＋5)＝2(”t)2＋8”t.∴＝＝8＋2”t.【答案】 8＋2”t
3．函数y＝x2－2x在x＝2附近的平均变化率是______________________．【解析】 f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)－(4－4)＝(”x)2＋2”x，∴＝＝Δx＋2.【答案】 ”x＋2
4．质点运动规律s＝gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于________．(g＝10 m/s2)
【解析】 g×(3＋Δt)2－g×32＝×10×[9＋6”t＋(”t)2]－45＝30”t＋5(”t)2，＝＝30＋5”t.
【答案】 30＋5”t
5．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为，则m的值为________．
【解析】 ∵m3－×13＝(m3－1)，∴＝＝，
即m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3(舍去)．【答案】 2
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________
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