定襄县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

定襄县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 若f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=

A．（﹣∞，1]

B．[0，1]

在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（ ）

C．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1] D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]

2． 已知f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（log35）=（ ） A．

B．﹣ C．4

B．直角三角形

D．

3． 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，则△ABC的形状为（ ） A．等腰三角形 C．等腰直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

4． 已知角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，则m等于（ ） A．﹣3 B．3

5． 直线A．

C．

D．±3

的倾斜角是（ ） B．

C．

D．

6． 函数f(x)2cos(x)（0，0）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ） A.3 2B.1 C. 2 D. 3

【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用. 7． 如图，M={x|x＞2}，N={0，1，2，3}，设全集U=R，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）

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精选高中模拟试卷

A．{3} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}

8． 若某算法框图如图所示，则输出的结果为（ ）

A．7 B．15 C．31 D．63

9． 设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

10．函数f(x)在定义域R上的导函数是f(x)，若f(x)f(2x)，且当x(,1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf(2)，cf(log28)，则（ ）

A．abc B．abc C．cab D．acb 11．若复数

''bi的实部与虚部相等，则实数b等于（ ） 2i11 （D）  32x12．已知函数f(x)esinx，其中xR，e2.71828为自然对数的底数．当x[0,]时，函数yf(x)2的图象不在直线ykx的下方，则实数k的取值范围（ ）

（A） 3 （ B ） 1 （C）

A．(,1) B．(,1] C．(,e) D．(,e]

【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及构造思想、分类讨论思想的应用．

22二、填空题

13．在极坐标系中，O是极点，设点A，B的极坐标分别是（2的距离是 ．

，

），（3，

），则O点到直线AB

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14．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是 ．

15．数列{ an}中，a1＝2，an＋1＝an＋c（c为常数），{an}的前10项和为S10＝200，则c＝________． 16．已知tanβ=，tan（α﹣β）=，其中α，β均为锐角，则α= ．

17．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得 M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN= m．

18．已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）z为纯虚数，ω=

，且|ω|=5

，则复数ω= ．

三、解答题

19．（本小题满分12分）

12x(a3)xlnx. 2（1）若函数f(x)在定义域上是单调增函数，求的最小值；

112（2）若方程f(x)(a)x(a4)x0在区间[,e]上有两个不同的实根，求的取值范围.

2e已知函数f(x)

20．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中AOB为

2，半3第 3 页，共 18 页

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径OA为1km，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由圆弧

AC、线段CD及线段BD组成．其中D在线段OB上，且CD//AO，设AOC．

（1）用表示CD的长度，并写出的取值范围； （2）当为何值时，观光道路最长？

21．（本小题满分12分）已知两点F1(1,0)及F2(1,0)，点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且PF1、F1F2、 PF2构成等差数列． （I）求椭圆C的方程；

（II）设经过F2的直线m与曲线C交于P、Q两点，若PQ=F1P+FQ，求直线m的方程． 1

22．如图所示，在边长为

的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，

K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．

222第 4 页，共 18 页

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23．我市某校某数学老师这学期分别用m，n两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如图所示． （Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？ ξ的分布列和数学期望；

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

（Ⅱ）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，用ξ表示抽到成绩为86分的人数，求（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？” 下面临界值表仅供参考： P（K2≥k） k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

2

（参考公式：K=

，其中n=a+b+c+d）

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24．已知过点P（0，2）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，O为坐标原点． （1）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；

（2）若线段AB的中垂线交x轴于点Q，求△POQ面积的取值范围．

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定襄县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】D

2

【解析】解：∵函数f（x）=﹣x+2ax的对称轴为x=a，开口向下， ∴单调间区间为[a，+∞）

又∵f（x）在区间[1，2]上是减函数，

∴a≤1

∵函数g（x）=∵g（x）=

在区间（﹣∞，﹣a）和（﹣a，+∞）上均为减函数，

在区间[1，2]上是减函数，

∴﹣a＞2，或﹣a＜1， 即a＜﹣2，或a＞﹣1，

综上得a∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]， 故选：D

【点评】本题主要考查二次函数与反比例函数的单调性的判断，以及根据所给函数单调区间，求参数的范围．

2． 【答案】B

【解析】解：∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数， ∴f（log35）=f（log35﹣2）=f（log3），

x

∵x∈（0，1）时，f（x）=3﹣1

∴f（log3）═﹣ 故选：B

3． 【答案】D

【解析】解：∵sinC+sin（B﹣A）=sin2A， ∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=sin2A， ∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA， ∴2cosA（sinA﹣sinB）=0， ∴cosA=0，或sinA=sinB， ∴A=

，或a=b，

∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A，

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∴△ABC为等腰三角形或直角三角形 故选：D． 易错题．

4． 【答案】B

【点评】本题考查三角形形状的判断，涉及三角函数公式的应用，本题易约掉cosA而导致漏解，属中档题和

【解析】解：角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=， 可得解得m=3． 故选：B．

【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．

5． 【答案】A 【解析】解：设倾斜角为α， ∵直线∴tanα=

，

的斜率为

，

，（m＞0）

∵0°＜α＜180°， ∴α=30° 故选A．

【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．

6． 【答案】D 【解析】易知周期T2(112552.由22k（k），得2k)，∴T1212126555（kZ），可得，所以f(x)2cos(2x)，则f(0)2cos()3，故选D.

6667． 【答案】C

【解析】解：由图可知图中阴影部分所表示的集合∁M∩N， ∵全集U=R，M={x|x＞2}，N={0，1，2，3}， ∴∁M={x|x≤2}， ∴∁M∩N={0，1，2}， 故选：C

【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件确定集合的基本关系是解决本题的关键．

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8． 【答案】 D

【解析】解：模拟执行算法框图，可得 A=1，B=1

满足条件A≤5，B=3，A=2 满足条件A≤5，B=7，A=3 满足条件A≤5，B=15，A=4 满足条件A≤5，B=31，A=5 满足条件A≤5，B=63，A=6

不满足条件A≤5，退出循环，输出B的值为63． 故选：D．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A，B的值是解题的关键，属于基础题．

9． 【答案】A

【解析】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，

2

由x+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，

2

即“|x﹣2|＜1”是“x+x﹣2＞0”的充分不必要条件，

故选：A．

10．【答案】C 【解析】

考点：函数的对称性，导数与单调性．

可或缺的重要一环，因此掌握函数的图象的性质是我们在平常学习中要重点注意的，如函数f(x)满足：

【名师点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要工具，通过函数的图象研究问题是数形结合思想应用的不

f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)，则其图象关于直线xa对称，如满足f(2mx)2nf(x)，

则其图象关于点(m,n)对称． 11．【答案】C

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【解析】

b＋i(b＋i)(2－i)2b＋12－b1

＝＝＋i，因为实部与虚部相等，所以2b＋1＝2－b，即b＝.故选C.

5532＋i(2＋i)(2－i)12．【答案】B

【解析】由题意设g(x)f(x)kxexsinxkx，且g(x)0在x[0,]时恒成立，而

2xosx0，所以h(x)在[0,]上递g'(x)ex(sinxcosx)k．令h(x)ex(sinxcosx)，则h'(x)2ec2增，所以1h(x)e2．当k1时，g'(x)0，g(x)在[0,]上递增，g(x)g(0)0，符合题意；当ke22时，g'(x)0，g(x)在[0,]上递减，g(x)g(0)0，与题意不合；当1ke2时，g(x)为一个递增

2函数，而g'(0)1k0，g'()e2k0，由零点存在性定理，必存在一个零点x0，使得g'(x0)0，

2当x[0,x0)时，g'(x)0，从而g(x)在x[0,x0)上单调递减，从而g(x)g(0)0，与题意不合，综上

所述：k的取值范围为(,1]，故选B．

二、填空题

13．【答案】

【解析】解：根据点A，B的极坐标分别是（2）、（﹣，故AB的斜率为﹣

），

，故直线AB的方程为 y﹣

=

，

=﹣

（x﹣3），即x+3

y﹣12=0，

，

），（3，

），可得A、B的直角坐标分别是（3，

．

所以O点到直线AB的距离是故答案为：

．

【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．

14．【答案】

．

3

【解析】解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有2种，所以总共有2=8种方案， 而甲胜出的情况有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2种，

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所以甲胜出的概率为故答案为．

【点评】本题考查等可能事件的概率，关键是分清甲在游戏中胜出的情况数目．

15．【答案】

【解析】解析：由a1＝2，an＋1＝an＋c，知数列{an}是以2为首项，公差为c的等差数列，由S10＝200得 10×9

10×2＋×c＝200，∴c＝4.

2答案：4 16．【答案】

．

【解析】解：∵tanβ=，α，β均为锐角， ∴tan（α﹣β）=∴α=

．

．

=

=，解得：tanα=1，

故答案为：

【点评】本题考查了两角差的正切公式，掌握公式是关键，属于基础题．

17．【答案】 150

【解析】解：在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=100m，所以AC=100m． 在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°， 由正弦定理得，

在RT△MNA中，AM=100得MN=100

×

，因此AM=100

m，∠MAN=60°，由

m．

=150m．

故答案为：150．

18．【答案】 ±（7﹣i） ．

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【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴ 又ω=

=．

=

，|ω|=

，∴

．

2

把a=3b代入化为b=25，解得b=±5，∴a=±15．

∴ω=±

故答案为±（7﹣i）．

=±（7﹣i）．

【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．

三、解答题

19．【答案】（1）；（2）0a1.1111] 【解析】

则

1f'(x)0对x0恒成立，即a(x)3对x0恒成立，

x1而当x0时，(x)3231，

x∴a1.

若函数f(x)在(0,)上递减，

1则f'(x)0对x0恒成立，即a(x)3对x0恒成立，

x这是不可能的. 综上，a1. 的最小值为1. 1

（2）由f(x)(a)x(a2)x2lnx0，

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得(a)x(2a)x2lnx，

1221(1)x22x(lnxx)lnxxlnxx1x2lnxx即a，令，， r(x)r'(x)2233xxxx得1x2lnx0的根为1，

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点问题及不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数af(x)恒成立（af(x)min即可）或af(x)恒成（af(x)max即可）；②数形结合；③讨论最值f(x)min0或f(x)max0恒成立；④讨论参数.本题（2）就是先将问题转化为不等式恒成立问题后再利用①求得的最小值的.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 20．【答案】（1）CDcos时，观光道路最长.

3sin,0,;（2）设当时，L取得最大值，即当6633CDODCO sinCODsinDCOsinCDO232332sin CDsincossin，OD3333233ODOBsin1sin0

3233CDcossin,0,

33【解析】试题分析：（1）在OCD中，由正弦定理得：

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（2）设观光道路长度为L，

则LBDCD弧AC的长 = 12333sincossin= cossin1，0, 33333cos1 3Lsin由L0得：sin列表：

3，又 0,3662 0, 6 + ↗  6 0 极大值 , 63 - ↘ L L 当6时，L取得最大值，即当6时，观光道路最长.

考点：本题考查了三角函数的实际运用

点评：对三角函数的考试问题通常有：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。 另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题 21．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力．

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xy3331得y，即P(1 , )，Q(1 , ) 43222252222直接计算知PQ=9，|F1P|2|F1Q|2，PQ?F1P，x1不符合题意 ； FQ12②若直线m的斜率为k，直线m的方程为y=k(x-1)

（II）①若m为直线x1，代入

22

x2y21(34k2)x28k2x(4k212)0由4得 3yk(x1)8k24k212设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1x2，x1x2

34k234k2222由PQ=F1P+FQ得，F0 11P?FQ1即(x11)(x21)y1y20，(x11)(x21)k(x11)k(x21)0

4k2128k2221)(1k)0代入得(1k)(，即7k90 2234k34k3737(x1) 解得k，直线m的方程为y772(1k2)x1x2(1k2)(x1x2)(1k2)0

22．【答案】

【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，

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由已知条件解得

，

，

， ，

2

∴S=πrl+πr=10π，

∴

23．【答案】

【解析】

【专题】综合题；概率与统计．

【分析】（Ⅰ）依据茎叶图，确定甲、乙班数学成绩集中的范围，即可得到结论； ξ的分布列和数学期望；

（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2，求出概率，可得

2

（Ⅲ）根据成绩不低于85分的为优秀，可得2×2列联表，计算K，从而与临界值比较，即可得到结论．

【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知甲班数学成绩集中于60﹣9之间，而乙班数学成绩集中于80﹣100分之间，所

以乙班的平均分高┉┉┉┉┉┉

（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2 P（ξ=0）=

=

，P（ξ=1）=

=

，P（ξ=2）=

1

+1×

乙班 10 10 20

合计 13 27 40

≈5.584＞5.024

+2×

2

=

┉┉┉┉┉┉

则随机变量ξ的分布列为

0 ξ P

数学期望Eξ=0×=人﹣┉┉┉┉┉┉┉┉

（Ⅲ）2×2列联表为 优秀 不优秀

甲班 3 17

20 合计

┉┉┉┉┉ K2=

因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关．┉┉

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【点评】本题考查概率的计算，考查性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题． 24．【答案】

【解析】解：（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0）， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由

，得k2x2+（4k﹣4）x+4=0，

则由△=（4k﹣4）2﹣16k2=﹣32k+16＞0，得k＜，

=

，

，

所以y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=， 因为以AB为直径的圆经过原点O， 所以∠AOB=90°， 即所以

解得k=﹣，

即所求直线l的方程为y=﹣

．

，

，

（2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0）， 则由（1）得

所以线段AB的中垂线方程为令y=0，得

=

=或

，

，

，

， ，

又由（1）知k＜，且k≠0，得所以所以

=，

，

所以△POQ面积的取值范围为（2，+∞）．

【点评】本题考查直线l的方程的求法和求△POQ面积的取值范围．考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．

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