广东省六校2013届高三第二次联考数学(理)试题

2013届 广东省六校第二次联考 理科数学试题

命题：中山纪念中学

六校分别为：广州二中、中山纪中、东莞中学、珠海一中、深圳实验、惠州一中

一．选择填空（本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有

一项是符合题目要求的） 1.复数

i212i （ ）

C. 4535i

A. i

B. i D. 4535i

2．“a1”是“(a1)(a2)0”成立的 （ ）

A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件

C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.OAB，点P在边AB上，AB3AP，

设OAa,OBb，则OP （ ）

1221A.ab B.ab 3333ObBPaA C.12ab D.3321ab 334．2log510log50.25 （ ） A.0 B.1 C.2 D.4 5.把函数ysin(x3)图象上所有点向右平移

3个单位，再将所得图象的横坐标变为原来的

12倍

（纵坐标不变），得图象的解析式是ysin(x)(0,)，则（ ） A.12,3 B.2,43 C.2,0 D.2,23

6. 在ABC中，b5,B,tanA2，则a 的值是 （ ） 10 C.10 2

7. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(3,4)，将向量OA绕点O按逆时针

2方向旋转后得向量OB，则点B的坐标是 （ ）

33333y3) B.(23,23) A.(23,22222

BO1A.102 B.2Ax

C.(

3223,2323) D.(4,3)

8. 已知实数a、b满足等式2a3b,下列五个关系式：① 0ba ② ab0 ③ 0ab ④ ba0 ⑤ ab0, 其中有可能成立的关系式有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）

9．已知命题p:xR,x2x10, 则命题p是______________________.

310. 已知函数f(x)xlogx3(x3)(0x3若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的

取值范围是__________________. 11. 等比数列{an}中，若a1,a44，则a1a2an____________.

212. 如图，在边长为2的菱形ABCD EDC中，BAD60，E为CD的中点， 则AEBD___________.

1A

3B13. 已知函数yx3xc的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c__________.

3214．对于三次函数f(x)axbxcxd(a0),给出定义:设f(x)是函数yf(x)的导数，

若方程f(x)0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数yf(x)的f(x)函数f(x)的导数，

“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数f(x)果，解答以下问题： （1）函数f(x) （2）计算f(1200313x313x312x3x2512，请你根据上面探究结

12x3x2)f(25123的对称中心坐标为 ______ ；

)f(20122013)= __________ .

)f(20132013

三．解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. （本小题满分12分）

已知函数f(x)cos2xsin2xsin2x （1）求f(x)的最大值和最小正周期；

2（2）设,[0,

]，f(28)52,f(2)2，求sin()的值

16. （本小题满分12分）

已知a(sin,cos)、b(3,1)

（1）若a//b，求tan的值；

（2）若f()ab， ABC的三个内角A,B,C对应的三条边分别为a、b、c，且af(0)，

bf(6)，cf(3)，求ABAC。

17. （本小题满分14分）

设an的公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5,a3,a4成等差数列． （1）求数列an的公比； （2）证明：对任意kN，Sk2,

Sk,Sk1成等差数列．

18. （本小题满分14分）

已知函数fxx2,gxx1.

（1）若xR，使fxbgx,求实数b的取值范围;

（2）设Fxfxmgx1mm2,且Fx在0,1上单调递增,求实数m的取值范围.

19．（本小题满分14分）

已知三次函数f(x)ax3bx2cxd (a、b、c、dR)为奇函数，且在点(1,f(1)) 的切线方程为y2x2. (1) 求函数f(x)的表达式.

(2) 求曲线yf(x)在点M(x0，f(x0))处的切线方程，并求曲线yf(x)在点M(x0，f(x0))处的切线与曲线yf(x)围成封闭图形的面积.

(3) 如果过点(2，t)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数t的取值范围；

20. （本小题满分14分）

设a0,函数f(x)1xa2.

1a)，使f(x0)x0；

（1）证明：存在唯一实数x0(0,*（2）定义数列{xn}:x10,xn1f(xn), nN

① 对（1）中的x0，求证:对任意正整数n都有x2n1x0x2n;

② 当a2时,若0xkxmkxk134k112*(k2,3,4,),证明:对任意mN都有

2013届高三六校第二次联考（理科）数学试题

参及评分标准

命题： 中山纪念中学 纪希刚 审题：梁世峰

第Ⅰ卷选择题（满分30分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

1．A 2．A 3．B 4．C 5. C 6．B 7．B 8．C

第Ⅱ卷非选择题（满分100分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. xR,x2x10

10. (0, 1) 11. 2n112

12. 1

13. c2 （答对一个不得分）

14. 对称中心(,1)……3分； 2012………2分

21三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分12分）

解：（1）f(x)cos2xsin2x42(22cos2x22sin2x)…………………1分

2sin(2x)………………………3分

且xRf(x)的最大值为2…………………………4分 最小正周期T222……………………………………5分

（2）f(8)2sin(2(28)4)2sin(2)…………………6分

22cos52，cos104 …………………7分

又[0,2]，sin…………………8分 42sin(f()2sin(2(2))42)…………………9分

2sin(4)2…………………10分

又[0,2],4[34,4],424…………………11分

345sin()sin(4)sincos4cossin4…………………12分

16. （本小题满分12分） 解：（1）a//b,sin3cos0…………………2分

sin3costan3…………………4分

（2）ab(sin3,cos1)…………………5分

ab(sin3)(cos1)…………………6分

22523sin2cos54sin(6)…………………7分

af(0)54sin67…………………8分

bf(6)54sin05…………………9分

cf(3)54sin23…………………10分

bca2bc222由余弦定理可知：cosA7530…………………11分

7ABACABACcosAbccosA…………………12分（其它方法酌情给分）

217. （本小题满分14分）

解：（1）设数列an的公比为q（q0，q1）.

243由a5，a3，a4成等差数列，得2a3a5a4，即2a1qa1qa1q. „„„3分

2由a10，q0得qq20，解得q12，q21（舍去），所以q2.„7分

（2）证法一：对任意kN，

Sk2Sk12SkSk2SkSk1Skak1ak2ak1

2ak1ak120，

所以，对任意kN，Sk2,Sk,Sk1成等差数列. „„„14分

k证法二：对任意kN，2Ska11q1qk22a11q1qk1， „„„9分

k2k1Sk2Sk1a11q1qa12qq1q， „„„12分

2SkSk2Sk12a11q1qa1ka12qk2qk11q

21qk2qk2qk1

1qa1qk 1qq2q20，

Sk,Sk1成等差数列。 „„„„„14分

因此，对任意kN，Sk2,

18. （本小题满分14分） 解（1）解：由xR,f2xbgx，得xR,使x2bxb0，„„„3分

所以，b4b0b0或b4； „„„7分

（2）解：由题设得Fxxmx1m „„„10分

22mm01或2 „„„ 13分 2f(0)1m20f(0)1m20

1m0或m2 „„„14分

19. （本小题满分14分）

（1）解：f(x)f(x)0bx2d0恒成立bd0f(x)ax3cx 又f(x)3ax2c在点(1,f(1))的切线方程为y(3ac)(x1)ac，即

3ac2a13y(3ac)x2af(x)xx ……… 5分

2a2c1（2）解：设切点为(x0,f(x0))，f(x)3x21则切线方程是：

y(3x01)(xx0)(x0x0)， „„„„7分

23323令x3x(3x01)(xx0)(x0x0)得x3x0x2x00

2 (xx0)(x2x0)0所以曲线与切线的另一公共点的横坐标是2x0 „9分

23x00时Sx02x0(x3x0x2x0)dx(32332314xx02x0432x0x2x0x)223x02x0274274x0 x0

44x00时S2x0x0(x3x0x2x0)dx323(x3x0x2x0)dxx00时，切线与曲线恰有一个公共点，S0274x0 （此步不扣分）综上：曲线yf(x)在点

4M(x0，f(x0))处的切线与曲线yf(x)围成封闭图形的面积

S274x0 (x0R). ……… 10分

4（3）解： 令切线过(2,t)，代入整理得：

2x06x0t20 关于x0有三个不同的解；

32设g(x)2x6xt2即g(x)有三个不同的零点； …„„ 2分

32又g(x)6x(x2)x(0,2)时g(x)0g(x)递减；x(,0)(2,)

g(0)t20 g(x)0,g(x)在区间(,0)、(2,)上分别递增，故g(2)t60

2t6 „„„ 14分

20. （本小题满分14分） (1)解：有f(x)1xa22xxax10令g(x)xax1

1a1a333由g(x)3xa0,g(0)10,g()0所以有且只有一个实数x0(0,1a)，使

f(x0)x0； „„„„„„5分

(1) （Ⅰ）(数学归纳法)先证： x2n1x0x2n 证明: ① x10,x21ax0(x1,x2);

1xa2② 假设x2k1x0x2k(k1) 由f(x)递减性得：

f(x2k1)f(x0)f(x2k),(k1)即x2kx0x2k1(k1) 又f(x2k)f(x0)f(x2k1)x2k1x0x2k2

*所以nk1时命题成立 所以x2n1x0x2n对nN成立.„„„„ 9分

(2)(Ⅱ)解：当a2时, f(x) x2x112,x3x1221181x22为减函数，且x10,x212,x349

1xk22由0xk(k2,3,4,) xk1xk11xk122(xkxk1)xkxk1(xk2)(xk12)22

xk1xk1k21k211kxkxk1()x3x2()() 444184xmkxkxmkxmk1xmk1xmk2xk1xk

1k1k11km11 „„„„„„14分 ()()()k144434