广东六校2011高三第三次联考 数学(理 科)试卷

数 学（理 科）试卷

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：1．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息

点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的． 1．已知集合M0,1,2，Nxx2a,aM，则集合MN A．{0}

2．设a是实数，且A．

3．已知函数f(x)2sin(x)（其中0，f(0)3，则

aB．{0,1}

1i2 C．{1,2} D．{0,2}

1i是实数，则a

C．

3212 B．1 D．2

2）的最小正周期是，且

A．12，6

B．12，3

C．2，6D．2，3

4．下列四个命题中，真命题的个数为

（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； （2）两条直线可以确定一个平面；

（3）若M，M，l，则Ml； （4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A．1 B．2 C．3 5．已知f(x)A．2

cosxf(x1)1,x0,x0

43 D．4

，则f()f(34)的值为

B．1 C．1 D．2

6．设f'(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf'(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是

A．

B．

C．

D．

7．设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足PF1PF20，则A．

8．已知f(1,1)1，f(m,n)N*（m、nN*)，且对任意m、nN*都有： ①f(m,n1)f(m,n)2；②f(m1,1)2f(m,1)．

给出以下三个结论：（1）f(1,5)9；（2）f(5,1)16；（3）f(5,6)26． 其中正确的个数为 A．3

B．2

C．1

D．0

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生

只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分． 9．圆心为(1,1)且与直线xy4相切的圆的方程是_______________． 10．向量a、b满足a3，b5，ab7，则a、b的夹角为________． 11．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．

12．如右图，一个空间几何体的主视图、左视图是周长为4一个内

角为60的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为________．

13．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线

cos()2 与圆2的公共点个数是________．

4主视图左视图0e1e2(e1e2)222的值为

12 B．1 C．2 D．不确定

俯视图

14．（不等式选讲选做题）x、y0，xy1，则(x

1x)(y1y)的最小值为______．

ABCO15．（几何证明选讲选做题）如图所示，等腰三角形ABC的底边AC长

为6 , 其外接圆的半径长为5, 则三角形ABC的面积是________．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

设集合Axx4，Bx12． x34（1）求集合AB；

（2）若不等式2xaxb0的解集为B，求a，b的值． 17．（本小题满分12分）

已知函数f(x)cos(x（1）求f(x)的最值； （2）求f(x)的单调增区间．

18．（本小题满分14分）

如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点．

（1）求证：CDAE； （2）求证：PD面ABE；

（3）求二面角APDC的平面角的正弦值． 19．（本小题满分14分）

22212)12sin2x．

PEACBD已知抛物线C:yax（a为非零常数）的焦点为F，点P为抛物线C上一个动点，过点P且与抛物线C相切的直线记为L． （1）求F的坐标；

（2）当点P在何处时，点F到直线L的距离最小？ 20．（本小题满分14分）

数列an是以a为首项，q为公比的等比数列．令bn1a1a2an，

cn2b1b2bn，nN*．

（1）试用a、q表示bn和cn；

（2）若a0，q0且q1，试比较cn与cn1的大小；

（3）是否存在实数对(a,q)，其中q1，使cn成等比数列．若存在，求出实数对(a,q)和cn；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分14分）

设函数f(x)(x1)2blnx，其中b为常数． （1）当b12时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；

（2）若函数f(x)的有极值点，求b的取值范围及f(x)的极值点； （3）求证对任意不小于3的正整数n，不等式

1n2ln(n1)lnn1n都成立．

广东六校2011高三第三次联考

数 学（理 科）参

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的． 1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．C 8．A

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生

只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分． 9．(x1)(y1)2 12．

22

10．120（或）

32

11．11 14．

25413．1

15．3

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 解：Axx4x2x2，……………………………………………… 3分

24x1Bx1x0x3x1，………………………

x3x33分

（1）ABx2x1；……………………………………………………. 2分 （2）因为2xaxb0的解集为Bx3x1，

2所以3和1为2xaxb0的两根，……………………………………… 2分

a312故，所以a4，b6．……………………………………. 2分 b3122

17．（本小题满分12分） 解： f(x)121[1cos(2x6)]12sin2x………………………………………… 2分

212[1(cos2xcos326sin2xsin126)sin2x]

(1cos2xsin2x)………………………………………… 2分 2分

12sin(2x3)12…………………………………………………….

（1）f(x)的最大值为1、最小值为0；……………………………………………… 2分 （2）f(x)单调增，故2x即x[k512,k3[2k2,2k2]，…………………………… 2分

12](kZ)，

512,k从而f(x)的单调增区间为[k12](kZ)．…………………… 2分

18．（本小题满分14分）

（1）证明：PA底面ABCD，CDPA

又CDAC，PAACA，故CD面PAC

AE面PAC，故CDAE………………………………………………… 4分 （2）证明：PAABBC，ABC60，故PAAC

E是PC的中点，故AEPC

由（1）知CDAE，从而AE面PCD，故AEPD

易知BAPD，故PD面ABE……………………………………………… 5分 （3）过点A作AFPD，垂足为F，连结EF．

由（2）知，AE面PCD，故AFE是二面角APDC的一个平面角．

设ACa，则AE22a，AD23a，PD73a

从而AFPAADPD27a，故sinAFEAEAF144．……………… 5分

说明：如学生用向量法解题，则建立坐标系给2分，写出相关点的坐标给2分，第（1）问

正确给2分，第（2）问正确给4分，第（3）问正确给4分。 19．（本小题满分14分） 解：（1）抛物线方程为x故焦点F的坐标为(0,14a21ay……………………………………………………… 2分

)………………………………………………………… 2分

2（2）设P(x0,y0) 则 y0ax0

y'2ax, 在P点处抛物线（二次函数切线L的方程是： yy0k(xx0) 即 yax02ax0(xx0)

即 2ax0x －yax00 ......3分

22）的切线的斜率 k2ax0 ....2分

0焦点F到切线L的距离 d14a2ax02(2ax0)(1)214a4ax012214a .....3分

当且仅当 x00 时上式取“＝” 此时P的坐标是(0,0) ......1分当P在(0,0)处时，焦点F到切线L的距离最小. ......1分

20．（本小题满分14分）

解：（1）当q1时，bn1(a1a2an)1na，

cn2(b1b2bn)2(1a)(1na)n2a2n(n2a21)n2

当q1时，bn1(a1a2an)1a1qa1qa(1q)1q

cn2(b1b2bn)2(1)n(qqq)2n2(1a1q)naq(1q)2(1q)2naq(1q)2(1a1q)naq(1q)2q

n,q11nana(1q)所以bn 1,q11qaa2n(1)n2,q122；…………………… cnaqaaqn(1)nq,q12221q(1q)(1q)aq(1q)aq(1q)224分

（2）因为cn2(1a1qa1q)naq(1q)2q，

n所以cn12(1)(n1)aq(1q)a1q2qn1

cn1cn(1a1q)aq(1q)2(qn1q)1n(1qn1)

n1当q1时，1q0，1q0

n1当0q1时，1q0，1q0

所以当a0，q0且q1时，cn1cn0，即cn1cn；………… 5分 （3）因为q1，q0，所以cn2aq(1q)2(1a1q)naq(1q)2q，

naqaq200221q1q因为cn为等比数列，则或，

aa11001q1q11aa3或a1（舍去）3.………………………… 所以，所以22q0qq335分

21．（本小题满分14分）

解：（1）由题意知，f(x)的定义域为(0,)，

2(x12)bx212 (x0) …… 1分

f'(x)2x2当bbx2x2xbx212时， f(x)0，函数f(x)在定义域(0,)上单调递增． …… 2分

12（2）①由（Ⅰ）得，当b时，函数f(x)无极值点．

②b12时，f'(x)12(2x1)2x20有两个相同的解x1212，

但当x(0,)时，f'(x)0; 当x(,)时,f'(x)0时，

b1212)上无极值点． …… 3分 时，函数f(x)在(1，③当b12时，f(x)0有两个不同解，

12b212121212b2x1, x2

i) b0时，x112b212b20(0,)，舍去，

而x21(0,),

此时 f(x)，f(x)随x在定义域上的变化情况如下表：

x f(x) f(x) (0,x2) x2 (x2，)  0  减 极小值 1212b2增 由此表可知：b0时，f(x)有惟一极小值点, x12， …… 5分

ii) 当0b时，0此时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表： x f(x) f(x) (1，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，)  0  0  增 极大值 减 极小值 增 由此表可知：0b12时，f(x)有一个极大值x11212b2和一个极小值点

x21212b2； …… 7分

综上所述： 当且仅当b12时f(x)有极值点; …… 8分

1212b2当b0时，f(x)有惟一最小值点, x；

当0b12时，f(x)有一个极大值点x1212b22和一个极小值点x1212b2

（3）由(2)可知当b1时，函数f(x)(x1)lnx，

1212b2123123此时f(x)有惟一极小值点 x

且x(0,123)时，f'(x)0, f(x)在(0,)为减函数 …… 9分

当 n3 时， 0 11恒有 f(1)f(11n1n43121n1n23，ln(11n) …… 11分

)，即恒有 02当 n3 时恒有ln(n1)lnn  成立（x0) 令函数h(x)(x1)lnx 则 h'(x)11xx1x …… 12分

x1 时，h'(x)0 ，又h(x)在x1处连续x[1,)时h(x)为增函数n3 时 111n h(11n)1n1n1nln(n1)lnn1n2)h(1) 即 1nln(11n)0ln(n1)lnnln(1综上述可知…… 14分

n3 时恒有