函数的平均变化率
北京市第六十三中学 朱萍萍
教学目标：
1.知识与技能
理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率； 2.过程与方法
通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型； 3.情感、态度与价值观
感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力。 教学重点：平均变化率的模型建立与对平均变化率的实际意义和数学意义的理解 教学难点：平均变化率的概念与生活现象中模型的形成过程并对此做出数学解释
教学关键：将学生头脑中的感性认知,通过多个事例,在不同的情境下,进行相同的计算程序。由此学生抽 象建构出函数平均变化率的概念。并突出知识产生过程中蕴含的数学思想方法,特别是数形结 合的数学能力和“以直代曲”的转化能力。 教学方法：启发式教学与探究式学习相结合。 教学过程： 教学阶段 情境创设 激发热情 教师活动 讲述美国康乃大学曾经做过的一个有名的“青蛙试验”，与学生一起分析实验得出结论:变化有快有慢之分,有些变化不被人们所察觉,有些变化却让人感叹和惊呀! 实例分析1： 北京市某年3月和4月某天日最高气温记载如下表所示： 时间t 日最高 气温T 3月18日 4月18日 4月20日 学生活动 认真聆听 感受温度“突变”与“渐变”给青蛙造成的不同结果。 学生通过观察发现4月18日至20日之间气温升高的太快了。 师生合作，共同计算出平均每天气温升高的度数；得出的比值反映了在某一时间段内气温变化的快慢程度。 不能评价。因为条件不够，比如没有时间。 设计意图 小故事引入课题既生动又能激发学生的学习欲望。 气温“陡升”这个例子比较贴近学生的生活，通过计算气温的改变量与时间的改变量之比来刻画这种变化的快慢，为概念的形成奠定一定的基础。 故意将时间因素略去，促使学生进行深刻思过程感知意义建构 3.5℃ 19℃ 33.8℃ 温度随时间变化的图象如下图： C(34,33.8) 33.8 气温曲线 19 3.5 B(32,19) A(1,3.5) 0 1 32 34 t (d) 问题：图中哪一段曲线更为“陡峭”？ 实例分析2： (1) 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，据此，你能评价甲、乙两人的经营成果吗？ T(oC) 1
(2) 甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间挣到10万元，乙用6个月时间挣到2万元，你能评价甲、乙两人的经营成果吗？ 实例分析3： 如何用数学来反映山势的平缓与陡峭程度？ 乙的经营成果更好 将弯曲山路分成许多小段，每一小段可视为平直的。再用对平直山坡0A分析的方法，可以用比值考，强化了“两个变量的比值才能刻画收入的多少”。 y近似刻画。 x 引导学生先分析平直山路OA段的斜率表示山路的陡峭程度；再进一步研究曲线的如何表示？ 建立模型抽象概括形成概念 设函数y=f(x),如何量化y在区间[x1 ，x2] 上变化的“快”与“慢”？ 学生自主抽象概括，教师适时指导，根据情况进行点评。 平均变化率的几何意义就是函数f(x)图象上两点(x1, f(x1))、(x2, f(x2))所在直线的斜率。 由特殊的三个实例分析抽象出一般的函数的平均变化率的定义，目的是充分发挥学生的学习主动性，经历和体验概念的建立过程。 从数与形两方面来理解平均变化率，更有助于学生接受和理解。也为后面可以从两方面考虑解决问题奠定了基础。 ①从图象上看， [0，x1 ]和 [x1 ，x2]内的图象，那一段更“陡峭”？ ②如何量化曲线在[x1 ，x2] 上的“陡峭”程度？ 1.定义：函数f (x)在区间[x1，x2]上平均变化率为yf(x2)f(x1) xx2x12.平均变化率的几何意义： 结论：平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度；平均变化率是曲线的陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”。 2
讲练结合运用并巩 固概念 例1：已知函数f(x)=2x+1，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数的平均变化率。 练习：若 f(x)= -2x呢？ 思考：有没有其他办法解答此题？ 追问：那么一次函数y=kx+b（k≠0）在区间[m,n]上的平均变化率有什么特点？ 例2：国家环保局在规定排污达标日期前，对甲、乙两企业进行检查，其连续检查结果如图所示（其中W(t)甲，W乙(t)分别表示甲、乙两企业的排污量） 应用概念直接计算平均变化率 不用算就可以知道答案，因为所给的函数都是一次函数，由平均变化率的几何意义就可以得出答案。 为直线的斜率k。 甲企业的治污效果好一些。(依据甲的曲线相对“陡峭”，治污速度快) 问题1：那个企业的治污效果好一些？ 问题2：在区间[t0，t1]上，哪一个企业的排污平均变化率大一些？ 对比与发现： 实例1与例2的图象对比得出结论。 52015 817512乙：1 81甲：乙的平均变化率>甲的平均变化率 分析两个例子中曲线“陡峭”程度、平均变化率、变化快慢之间的关系。 乙跑得快 快到终点时，乙跑得比较快。 结论：曲线越“陡峭”（“平缓”），平均变化率的绝对值越大（小），变化越快（慢）。 练习： （1）甲乙二人跑步路程与时间的关系如图所示，甲乙二人哪一个跑得快？ （2）甲乙二人百米赛跑路程和时间的关系如图所示，快到终点时，谁跑得比较快？ 可以运用概念计算得出结论，从“数”的角度理解“平均变化率”概念；同时从“形”的角度通过平均变化率的几何意义得出解答。 师生合作共同感悟平均变化率这个数学模型的实际意义。 找到曲线“陡峭”程度、平均变化率、变化快慢三者之间的关系。 通过几何画板演示快到终点3
2例3：如图所示，已知函数f(x)=x,计算f(x)在区间[-1，1]上的平均变化率。 学生计算： 2f(x)=x区间[-1，1]上的平均变化率为0 不准确 用平均变化率来量化曲线的陡峭程度是“粗糙不精确”的。 当区间的长度越小时，越精确。 当△x的值越来越接近于0时，所求得的平均变化率越来越接近于常数2。 问题：结合图象分析用0来表示[-1，1]上的曲线段的陡峭程度是否准确？ 在什么情况下，用平均变化率来量化曲线的陡峭程度才能比较准确呢？ 2引导学生分别计算f(x)=x在下列区间内的平均变化率。 （1）[-3，1] （2）[-2，1] （3）[0，1] （4）[0.9，1] （5）[0.99，1] （6）[1-△x，1] (其中△x>0) 问题：通过分析计算结果，发现什么规律没有？ 课后思考:为什么趋近于2呢？2的几何意义是什么？ 回顾反思 总结这节课所学知识框架，让同学们在整体上把握本节课。 时的状态，让学生体会“逼近”的感觉，为下节课做铺垫。 由区间长度的缩小，通过计算从数的角度观察相应的平均变化率变化的趋势，通过几何画板的演示，从形的角度进一步感悟变量数学的思想，通过逼近的思想方法为瞬时变化率的学习作好铺垫，达到承上启下的作用。 教师适当引导，学生完成总结。 调动学生的积极性和对一节课的归纳总结能力。 巩固课堂教学内容；为下节课做准备。 布置作业 课本 ：P5—A组2、3 B组1、2 课堂上的“课后思考” 自己完成
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