・４２・ 数学教育研究 ２００８年第１期 一堂《平均变化率》探究课 高金花 （江苏省太仓高级中学２１５４００） 著名科学家钱学森院士曾精辟指出：“教育工作的 段温度上升的多，为什么ＢＣ曲线段较ＡＢ曲线段反而 最终机理在于人脑的思维过程”．作为思维性最强的学 科——数学，则理所当然地承载起了挖掘和开发学生 潜藏智慧，提高和优化学生思维能力的重任． 然而，现实中我们很多学生觉得数学枯燥乏味，甚 至令人生厌．原因何在呢？我们的教学没能做到引人 人胜！事实上引人人胜，并不是肤浅的花哨，主要取决 于课堂上思维的探索流畅，内容的丰富严谨，氛围的生 动和谐．当学生能在老师的引导下自主建构知识，获得 广泛的数学技能，真正理解和掌握数学思想方法的时 候，他们便会对数学刮目相看，而他们的数学思维活动 也会变得十分活跃． 现就《平均变化率》（出自苏教版选修２—１）这一节 课实录展示给大家，旨在与同行们共同探讨，共同提高． １创设情境。引人入胜 （１）情境一：青蛙的反应 师：如果你把一只青蛙放进２Ｏ度的温水里，不去 惊吓它，而后加温至８Ｏ度，青蛙会有怎样的反应？ （学生讨论） 生１：青蛙会立刻跳出来． 生２：青蛙会留守呆着不动，显得若无其事… 师：两种反应是否都有可能发生？（是）；为什么 会有不ｌ口］的反应？ 生：条件不同，前者加温时间短，后者加温时间长． 师：是啊！当加温时间短，温度一下子上升至８Ｏ 度，变化非常快的时候，青蛙容易感知就会跳出来．而 当加温时间长，温度慢慢变化，青蛙不易感知便会留守 不动．所以温度变化的快慢会带来不一样的感受． （板书：变化快慢） （２）情境二：温度的变化１ 师：事实上，不仅青蛙如此，我们人也一样．我们 来看苏州市２００４年３月１８日至４月２０日部分日最高 气温表： 日期 ３／１８ ３／２３ ３／２８ ４／２ ４／７ ４／１ ２ ４／１７ ４／１８ ４／１９ ４／２Ｏ 晟高 气温 ３．５ ６．１ ９．３ ８．９ １０．２ １３．９ １ ６．６ １８．６ ２４．４ ３３．４ 师：还记得你在２００４年４月２Ｏ目那天有什么感 觉或是感叹吗？ 生ｉ热，热得太快了． 师：天气太热了，天气热得太快了．我们一起来直 观看一下这个过程的气温变化图： 师ｉ其中３月１８日作为第一天，即Ａ点，Ｂ点ｃ点分 别为４月１８日和４月２０目．结合刚才的感受从图象上 看到ＢＣ曲线段较ＡＢ曲线段有什么特点呢？ 生：比较陡峭． 师：明明ＡＢ曲线段温度上升的度数比ＢＣ曲线 来得更为陡峭呢？ 生：ＢＣ段时间短，变化快． 师：气温变化快的ＢＣ曲线段，相对比较陡峭．因 此，从直观图上曲线变化的快慢可以由什么来刻画？ 生：变化的快慢可以由曲线的陡峭程度来刻画． （板书：变化快慢——曲线的陡峭程度） 师：利用上面的知识，一起来看探究题１． 探究题１ 如图，直线 和圆Ｃ，当ｚ从ｚ。开始在 平面上绕点０匀速旋转（旋转角度不超过９０。）时，它扫 过的圆内阴影部分的面积ｓ是时间ｆ的函数，它的图 象大致是（ ）． Ｄ ０ ０ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 生：ｌ绕点。匀速旋转时，Ｓ的变化是先慢后快再 慢，结合选项ＡＢＣＤ，我们要选出的对应图像应该是先 平后陡再平，所以是选项Ｄ． 师：正确！由此我们体会到变化的快慢的确可以 由曲线的陡峭程度来刻画． （３）情境三：温度的变化２ 师：但是是否所有的变化快慢都可以由曲线的陡 峭程度来解决呢？来看苏州市２００６年４月份日最高 气温表即相应的气温变化图： 日期 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ｌ０ 最高 ２１ ７ ２１７ ２４．０ ２５．０ ｌ７．４ １７．０ ２４ ５ ２７．３ ２１．９ ２０．５ ．气温 日期 １］ 】２ 】３ ｌ ４ １ ５ １ ６ １ ７ １８ １９ ２Ｏ 最高 ２１气温 ６ 】６．２ ｉ０．ｊ １１ ３ １ ７．１ １８．１ ２３．１ ２ｊ．４ ２４．３ ２０．０ 日期 ２１ ２Ｚ ２３ ２｛ ２５ ２６ ２７ ２８ ２９ ３０ 最高 ２０气温 ．７ ｌ ６．５ ２１．３ ２２．８ Ｚ３．１ ｌ６．８ ２１．３ ２５．３ ２８．９ ３１．３ ２００８年第１期 ３５ 数学教育研究 ・ ４３ ・ ３０ ２５ ●Ｆ 大的，曲线就一定陡峭？（不一定！）还与什么量有 关系？ ＾Ｂ 。Ｄ ， ２０ Ｉ５ ｌＯ ５ ０ ＼．， ／ ～一 生：ｚｃ—ｚＢ的大小 师：曲线段的陡峭程度与函数值的增量、自变量 的增量同时有关系，这让人联想起什么？ 生：直线． 师：图上嗌线ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ都呈上升趋势，能马上 （２）曲线段的陡峭程度与曲线段两端点连线的倾 斜程度的近似对应关系 师：于是，将Ｂ点Ｃ点以及Ａ点Ｂ点都连结起 回答哪一段气温变化得最快吗？（没法回答） 师：在这张图上三段曲线的陡峭程度用眼睛一下 子根本看不出来．就像三个差不多高的人一样，眼睛看 不出谁最高时，我们会想什么办法来最终比较出他们 的高矮？ 生：用尺量． 师：同样地，当陡峭程度不明显时，我们该怎么办 呢？用什么可以来量化陡峭程度呢？ 学生的学习兴趣从何而来？靠老师的培养．假如 我们照奉宣科．学生们一定会兴趣索然．也许有些老师 会这样处理：简单而直接地给出平均变化率的公式，然 后配以不同种类的题型进行应用，最终让学生达到熟 能生巧．可是在这样的过程中，学生学到了什么？学会 了被动地传承先人留下来的宝贵财富，学会了站在巨 人的肩膀上进行“灵活应用”．在不断地传承中学生会 慢慢感到财富太多太重了，无力背负，以至于讨厌 数学． 哈尔莫斯曾说：“问题是数学的心脏．”因此，我创 设了三个内容紧扣、层层递进的情景．通过情景一的提 出，学生的讨论，让学生初次体验世界上存在着变化的 快慢，所以我们有必要来研究它．然后引导学生如何来 刻画它，在“为什么”中学生找到了办法：通过曲线的陡 峭程度来刻画．在探究１的实践下，学生更加信心百 倍．但是情景三的出现又让学生陷入了思考中，必须要 找到曲线陡峭程度的量化方法．在这样的情景创设、探 索思考中，学生感受问题、分析问题的思维能力就在这 潜移默化中得到了提高． ２建构数学，提升认识 （１）回到情境二：温度的变化１ 师：这图上暂时无法分析，那么我们回到刚才那 张陡峭程度明显的气温变化图去． 师：根据之前的分析，ＢＣ段变化快，对应的曲线 段也相对陡峭．由点Ｂ上升到点ｃ，陡峭程度与哪个量 肯定有关系？ 生： 一一 的大小． 师：也就是函数值的增量．那么是否函数值增量 来．在这张图上，发现什么？ 生：发现曲线段陡峭的，相应端点连线也陡峭；曲 线段平缓的，相应端点连线也平缓． 师：也就是说曲线的陡峭程度与曲线段两端点连 线的倾斜程度似乎有这么一种对应关系．是吗？（是） （板书：变化快慢—一曲线的陡峭程度～曲线两端 点连线的倾斜程度） 师：而直线的倾斜程度之前我们是怎样来量化 的呢？ 生：斜率． （板书：变化快慢——曲线的陡峭程度～曲线两端 点连线的倾斜程度一～斜率） 师：于是将它借鉴过来，曲线段ＢＣ的陡峭程度就 由直线ＢＣ的斜率来近似量化，并称之为在该区间上 的平均变化率． （板书：变化快慢一——曲线的陡峭程度～曲线两端 点连线的倾斜程度——斜率一一平均变化率） 师：这就是本节课我们要研究的内容． （３）定义：函数厂（ ）在区间［ｚ ， 。］上的平均变 化率为 墨 二 ２一Ｚ１ （４）小结：解决变化快慢的两种办法 师：也就是说，到目前为止，我们解决变化快慢问 题就有两种办法，分别是什么？ 生：曲线的陡峭程度和平均变化率． 师：非常好！曲线的陡峭程度是变化快慢的“视 觉化”，函数的平均变化率是变化快慢的“数量化”，是 曲线段两端点连线的斜率． 这是本堂课的重点和难点．沿着思路：变化快 慢一一曲线的陡峭程度～曲线两端点连线的倾斜程 度——斜率——平均变化率，学生在自主的探究过程 中得到了曲线陡峭程度的量化办法，并且在这过程中 体会到了曲线的陡峭程度不仅与函数值增量有关，还 与自变量增量有关，也就是“平均变化率”中“平均”的 来由与实质．这就是在知识的形成过程中学习知识． 事实上，“过程”本身就是一个课程目标，即首先必 须让学生在数学的活动中去“经历…过程”．依据建构 主义观点，数学知识不是游离于认知个体之外而存在 的实体，也不是认知个体生来就有的，而是认知个体与 客观世界的相互作用过程中的思维产物．在探究的过 程中，学生在思考，在联系旧知，在拓展新知，在优化思 维能力１ ３应用探究，形成能力 探究题２ 计算情境三中的函数在［６，８］，［１３， ・ ４４・ 数学教育研究 ２００８年第１期 １８］，Ｅ２６，３ｏ３￣的平均变化率，并说明哪段变化最快． 解：在［６，８］上的平均变化率为５．１ ５，在［１３，１８］ 上的平均变化率为２．９８，在［２６，３ｏ］上的平均变化率 为３．６２５．Ｉ－６，８］段变化最快． 将刚才未能解决的问题设计成例题，让学生充满 探究成就感，深刻体会到曲线陡峭程度近似量化所带 来的价值，同时也让学生学会计算，学会比较．“平均变 化率”中有三部分：变化、平均，还有率． 探究题３汽车刹车性能 甲、乙两辆车检 ｆ 测刹车性能，其测试 过程如图所示，甲从 ２５ｍ／ｓ到刹停花了５ 秒钟，乙从１８ｍ／ｓ到 刹停花了４秒钟，试 比较两辆车的刹车 性能． 解：甲车的速度 从Ｆｌａｓｈ动画和上述两张直观曲线图形，引导学生 探索发现平均变化率的“缺陷”，它只与曲线段两端点 有关，并不能体现曲线段中间过程的变化，因此只是 “近似量化”，是“粗糙不精确的”．至此学生对平均变化 率的理解便全面而清晰了．对问题探索的思维严谨性、 深刻性、批判性将使学生终身受益！ 探究题５一次函数的平均变化率 已知函数厂（ ）一２ｘ＋１，ｇ（ ）一一２ｘ，ｈ（ ）一１， 分别计算在区间［一３，一１］，［Ｏ，５］上函数，（ｚ）、ｇ（ｚ） 及ｈ（ｚ）的平均变化率． 师：函数ｆ（ｘ）一 Ｈ－６在区间［ ，ｎ］上的平均变 化率有何特点？ 平均变化率为一５，乙车的速度平均变化率为一４．５． 师：发现平均变化率可为正，可为负，甚至可为０， 平均变化率的符号表示什么呢？ 生：平均变化率的符号表示变化是增加还是 减少． 师：本题中，甲乙都是减速，那么到底哪辆车的刹 生：平均变化率恒为 ，因为 二 竺土 ＝ｋ ｆｌ—Ｈｔ 让学生在计算和直观图上先猜想一次函数的平均 变化率的特点，然后加以证明，并且远瞩地看待这 车性能好呢？为什么？ 生：甲．因为甲的平均变化率的绝对值较大，也就 个问题：一般而言，平均变化率是“近似量化”，然而对 于直线这一特殊的退化曲线而言，这种量化却是精确 恒定的． 探究题６二次函数的平均变化率 已知函数厂（ｚ）—ｚ ，分别计算函数，（ｚ）在下列 是两端点连线的倾斜程度较大，于是相应曲线的陡峭 程度也较大，也即变化较快．所以甲车刹车性能较好． 师：因此增加或是减少的快慢看什么？ 生：平均变化率的绝对值大小． 通过计算让学生自己发现平均变化率可为正，可 区间上的平均变化率．（１）［１，３］；（２）［１，２］；（３）［１， １．１］；（４）［１，１．００１］；（５）［１，１＋△ｚ］ （演示：几何画板） 探究体会：当区间越来越小时，两端点连线的倾 斜程度和曲线陡峭程度的近似度将越来越精确． 师：平均变化率只是近似地量化了曲线在某一区间 上的变化趋势，那么当区间无限小时，它的这种量化效果 为负，可为０，并引导他们思考平均变化率符号的意义． 由此更进一步理解平均变化率的本质．小小例题的设 计，却是思维缜密性培养的很好载体． 探究题４龟兔赛跑： （１）这次比赛中，哪个跑得快？ （２）快到终点时，哪个跑得快？ （播放多媒体动画：龟兔赛跑．全程记录比赛过程， Ｓ－ｔ函数图像如图所示） 的庐山真面目究竟是什么呢？我们下节课继续研究． 引导学生对计算所得的结果做进一步的猜测，利 用几何画板的直观演示，激发起学生进一步的探索欲 望和学习兴趣，这便是我们每个教师心中所追求的． ［责任编校董仲华］ ｆ上接第６０页） 平面内有三种情况，如图中展开图①②③，根据已知条 件和勾股定理容易分别求出ＡＣ 的长度， 在展开图①中，ＡＣ一￣／ＡＢ２＋Ｂ（７＝ （５十４）。＋３ ＝ ｖ／ 一３、／， 在展开图②中，ＡＣ，一ｖｒＡ１ｘｃ．．ＣＣ＝、／， 干 干 一 一４ 展开图② 展开图③ 一 分析：要找到在长方体中从Ａ点到Ｃ 点的最短距 离，就要让Ａ、ｃ 在同一平面内，运用勾股定理来进行计 算，要想让Ａ、Ｃ 在同一平面内，就要将长方体的两个相 邻的面展开成平面图形而构成一个长方形，由于长方 体的三对面的长、宽都是不同的，因此让Ａ、ｃ 在同一个 在展开图③中，Ａ —Ｊ—ＡＢ２－＋—－Ｂ（Ｙ＝￣／—５２￣（４—￣３）２ 所以小虫从Ａ点沿长方体的表面爬到Ｃ 点的最短 距离是￣／７４． ［责任编校董仲华］
