广东省2010届高三六校第二次联考
数 学（理科）试 题
命题：广州二中 高三数学备课组
2009-11-2
本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A． 2．若
，则下列结论不正确的是 ．．．
，B．
C．
，则集合
D．
A． 3．函数A．
B． C． D．
，已知
B．
的两个极值点为C．
，，则D．
4．设，，则函数的最大值为
A．
B． C． D．
5．函数对于任意实数满足条件，若，则
A． B． C． D．
6．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝ A．2 B．5 C．4 D．1
7．在平面直角坐标系中，不等式组
的最小值为
（为常数）表示的平面区域的面积是4，则
A．
B． C． D．
8．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2009个数是 A．3948
B．3953
C．3955
D．3958
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9．已知数列 10．在
为等差数列，且，则____________．
中，角，则
，，所对的边分别是，，，若，且
的面积等于____________．
11．方程
12．设曲线
，则
在点（1，1）处的切线与
的值为____________．
轴的交点的横坐标为
，令
在
上有解，则的取值范围是____________．
13．设函数
值域是____________．
14．若定义在区间
，[]表示不超过的最大整数， 则函数[]的
上的函数对上的任意个值，，„，，总满足
≤
知函数
在区间
，则称为中，
上的凸函数．已
上是“凸函数”，则在△
的最大值是____________．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）
已知向量（1）求函数（2）在且
，求
，
的最小正周期和值域； 中，的值．
分别是角
的对边，且
，
，
，
，函数
．
16．（本小题满分12分）
数列（1）求（2）设
的前项和为，
的表达式；
，求数列
的前项和
．
，数列
满足
，且
，
．
17．（本小题满分14分）
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（为
）的管理费，预计当每件产品的售价为万件．
元（）时，一年的销售量
（1）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式； 最大，并求出
的最大值
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润．
18．（本小题满分14分）
已知，令（1）求（2）判断
，若
．
的函数表达式； 的单调性，并求出
在区间上的最大值为，最小值为
的最小值．
19．（本小题满分14分）
已知函数（1）当（2）要使函数
时，判断函数
，其中是否有极值；
，为参数，且．
的极小值大于零，求参数的取值范围；
在区间
内都
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数是增函数，求实数的取值范围．
20．（本小题满分14分）
已知（1）若
，
恒成立，求
（2）若广东省
．
的取值范围；
2010届高三六校第二次联考
数学（理科）参及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A 2．C 3．D 4．D 5．D 6．B 7．D 8．C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9． 10． 11．
12．
13． 14．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分） 解：（1）
………………3分
∴函数的最小周期,值域为 ………………5分
（2）
是三角形内角
………………6分
∴分
， ∴ 即： ………………8
∴ 即：
………………10分
将可得： 解之得：
∴
∴
，
………………12分
16．（本小题满分12分）
解：（1）
当
时，
，所以
，
………………2分 ………………3分 ………………4分 ………………5分 ………………6分 ………………7分
成等比数列,且首项
,
（2）
令记
，
,公比
则相减，故
故
………………10分 ………………12分
17．（本小题满分14分） 解：（1）分公司一年的利润 （2）
（万元）与售价的函数关系式为：
………………5分
………………4分
分
令得或（不合题意，舍去）． ………………6
，．
在两侧的值由正变负． ………………8分
所以（a）当即时， ．
………………10分
（b）当即时，
，……12分
所以 ………………13分
答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值
（万元）；若
，则当每件售价为元时，分公司一年
的利润分
最大，最大值（万元）． ………………14
18．（本小题满分14分）
19．（本小题满分14分）
解：（I）当分)
（II）
时则在内是增函数，故无极值。(2
令得 4分
由及（I），只需考虑
的符号及 0 的情况。 的变化情况如下表：
当变化时，
＋ 增 0 极大值 － 减 0 极小值 ＋ 增 6分
因此，函数在处取得极小值且
要使必有可得所以 8分
（III）解：由（II）知，函数由题设，函数
在
在区间与内都是增函数。
内是增函数，则须满足不等式组
或 12分
由（II），参数时，要使不等式关于参数
恒成立，必有
分
综上，解得或所以的取值范围是 14
20．（本小题满分14分）
(2)解法二（用数学归纳法证明）：
i) 当n=2时，
ii) 假设n=k(k>1)时，不等式成立，即
成立
则n=k+1时，不等式左边＝
（只需证<0即）
，且
，求证：．
