考研数学三 真题答案详解2016-2018

2016全国研究生入学考试考研数学三试题

本试卷满分150，考试时间180分钟

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）设函数yf(x)在

+-，内连续，其导数的图像，如图所示，则

（A）函数f(x)有2个极值点，曲线yf(x)有2个拐点 （B）函数f(x)有2个极值点，曲线yf(x)有3个拐点 （C）函数f(x)有3个极值点，曲线yf(x)有1个拐点 （D）函数f(x)有3个极值点，曲线yf(x)有2个拐点

ex（2）已知函数fx,y，则

xy（A）fxfy0 （B）fx+fy0 （C） fxfyf （D） fxfyf

（3）设Ji=''''''''Di3xydxdyi1,2,3,其中

D1x,y|0x1,0y1,D2=x,y|0x1,0yx，D3x,y|0x1,x2y1（A）J1J2J3 （B）J3J1J2

（C）J2J3J1（D）J2J1J3

 1

（4）级数

11sinnk，k为常数 nn1n1（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）收敛性与k有关 （5）设A,B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（ ）

AAT与BT相似 B A1与B1相似 C AAT与BBT相似 DAA1与BB1相似

（6）设二次型fx1,x2,x3ax1x2x32x1x22x2x32x1x3的正负惯性指数分别为1,2，

222则

（A）a1 （B） a2 （C）-2a1 （D）a1或a2 （7）设A,B为两个随机事件，且0P(A)1,0P(B)1,如果PA|B1,则 （A）PB|A1 （B）PA|B0 （C） PAÈB=1 （D） PB|A1

()，2,Y~N1，4,则DXY （8）设随机变量X与Y相互，且X~N1（A） 6 （B） 8 （C） 14 （D）15

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）已知函数f(x)满足limx01f(x)sin2x12，则limf(x)_________. 3xx0e1

nnsin____________.

n（10）极限lim112sin2sinnn2nn（11）设函数fu,v可微，zzx,y由方程x1zy2x2fxz,y确定，则

dz0,1______

（12）设D=x,y||x|y1,1x1，则xeD2y2dxdy=_____________

（13）行列式

1004030100121______

（14）设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取

2

到时停止，则取球次数恰好为4的概率为_______________.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分) 求极限limcos2x2xsinx1x4x0

（16）(本题满分10分)

设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数QQp，p120p0，p为单价（万元）

（Ⅰ）求需求函数的表达式

（Ⅱ）求p100万元时的边际收益，并说明其经济意义。

（17）(本题满分10分) 设函数fx1220txdtx0，求fx，并求fx的最小值。

3

需求弹性

（18）(本题满分10分) 设函数fx连续，且满足

（19）(本题满分10分)

x0fxtdtxtftdtex10x，求fx

x2n2求幂级数的收敛域及和函数。

n0n12n1

11a100a，1，且方程组Ax无解. （20）（本题满分11分)设矩阵A12a2a11a1（1）求a的值. （2）求方程组AAxA

TT的通解.

4

011（21） (本题满分11分)已知矩阵A230. 000（1）求A99.

（2）设三阶矩阵B(1,2,3)满足BBA，记B2100(1,2,3)，将1,2,3分别表示为

1,2,3的线性组合。

（22） (本题满分11分)设二维随机变量(X,Y)在区域D{(x,y)|0x1,xy匀分布，令U2x}服从均

10XY XY（1）写出(X,Y)的概率密度.

（2）问U与X是否相互，说明理由。 （3）求ZUX的分布函数F(Z).

5

ì23xï,0ïî0,其中(0,)为未知参数，X1,X2,X3为来自总体X的简单随机样本, 令Tmax{X1,X2,X3} （1）求T的概率密度。 （2）确定a，使得E(aT).

6

2016全国研究生入学考试考研数学三解析

本试卷满分150，考试时间180分钟

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）设函数yf(x)在

+-，内连续，其导数的图像，如图所示，则

（A）函数f(x)有2个极值点，曲线yf(x)有2个拐点 （B）函数f(x)有2个极值点，曲线yf(x)有3个拐点 （C）函数f(x)有3个极值点，曲线yf(x)有1个拐点 （D）函数f(x)有3个极值点，曲线yf(x)有2个拐点

【答案】：（B） 【解析】由图可知曲线有两个点左右两边导数符号不一样，有三个点左右两边导函数单调性不一样，故有2个极值点，3个拐点.

ex（2）已知函数fx,y，则

xy（A）fxfy0 （B）fx+fy0 （C） fxfyf （D） fxfyf 【答案】： （D）

''''''''exexex'【解析】f,fy,fx'fy'f. 22xyxyxy'x（3）设Ji=Di3xydxdyi1,2,3,其中

1

D1x,y|0x1,0y1,D2=x,y|0x1,0yx，D3x,y|0x1,x2y1（A）J1J2J3 （B）J3J1J2【答案】：（B）

【解析】D1，D2，D3如图

（C）J2J3J1（D）J2J1J3



易知在D1D2中3xy0，在 D1D3中3xy0，可知J1J2，J1J3，故选B （4）级数

11sinnk，k为常数 nn1n1（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）收敛性与k有关

【答案】 ： （A） 【解析】

111n1n111sinnk=~3n1nn1nn1nn1n1nn2n2

由于级数

n112n是收敛的，故原级数绝对收敛.

32（5）设A,B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（ ）

AAT与BT相似 B A1与B1相似 C AAT与BBT相似 DAA1与BB1相似

【答案】：C

【解析】：因为A与B相似，所以存在可逆矩阵P，使得PAPB,两端取转置与逆可得：

1PTATPTBT,P1A1PB1,P1AA1PBB1,可知A、B、D均正确，故

1选择C。

（6）设二次型fx1,x2,x3ax1x2x32x1x22x2x32x1x3的正负惯性指数分别为1,2，

222 2

则

（A）a1 （B） a2 （C）-2a1 （D）a1或a2 【答案】（C）

a11【解析】二次型矩阵为1a1，其特征值为a1,a1,a2，可知a10,a20，即

11a2a1，故选择（C）

（7）设A,B为两个随机事件，且0P(A)1,0P(B)1,如果PA|B1,则 （A）PB|A1 （B）PA|B0 （C） PAÈB=1 （D） PB|A1 【答案】： （A） 【解析】PA|B()PAB1,可知PABPB,PABPBPAB0

PB可知PB|APBAPA=PAPABPA1

，2,Y~N1，4,则DXY （8）设随机变量X与Y相互，且X~N1（A） 6 （B） 8 （C） 14 （D）15

【答案】： （C） 【解析】DXYEXYEXY，

222EXYEXEY1,EX2Y2EX2EY23515,则DXY=14。故选（C）

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）已知函数f(x)满足limx01f(x)sin2x12，则limf(x)_________. 3xx0e1【答案】：6 【解析】limx01f(x)sin2x12

e3x111f(x)2xf(x)sin2x2 ,lim22。因此limf(x)6 由等价无穷小替换得，lim2x0x0x03x3x

（10）极限lim112sin2sinnn2nnnnsin____________.

n【答案】 ： cos1sin1

3

112【解析】lim2sin2sinnnnn11n1ni1niinsinlim2isinlimsin

nnni1nnni1nn11xsinxdxxdcosxxcosxcosxdxcos1sin1 0000（11）设函数fu,v可微，zzx,y由方程x1zy2x2fxz,y确定，则

dz0,1______

【答案】：dz1,0dxdy2

【解析】：由一阶微分形式不变性，

zdx(x1)dz2ydy2xf(xz,y)dxx2f1'(xz,y)dxdzx2f2'(xz,y)dy将x0,y1,z1代入，dxdz2dy0,所以，dz0,1dx2dy （12）设D=【答案】： 【解析】：

x,y||x|y1,1x1，则x2eydxdy=_____________

2D12 33e222y2y2yxedxdy2xedxdy2dyxedxDD1001y2213y212yedy 0333e（其中D1为D在第一象限部分）

（13）行列式

100430320100121______

【答案】：234

4-1000-10=D4【解析】：令

00-1432+1

由展开定理地递推公式D4D34,D3D23,D22，故

（14）设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取

到时停止，则取球次数恰好为4的概率为_______________.

4

2

【答案】

2 9【解析】：要求前三次必须恰好取到两种不同颜色的球，第四次取到剩下一种颜色的球 前三次恰好取到两种不同颜色球的概率为

C32232332，在前三次恰好取到两种不同312。故所求概率为。 39颜色的球的前提下，最后一次取到剩下一种颜色的球的概率为

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分) 求极限limcos2x2xsinxx4

x01【解析】由重要极限得，原式为

limcos2x2xsinx1x41lim111342x22x42xxx1o(x)2246x414xo(x4)3limx0x413ex0ex0ee

（16）(本题满分10分)

设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数QQp，需求弹性

p0，p为单价（万元）

120p（Ⅰ）求需求函数的表达式

（Ⅱ）求p100万元时的边际收益，并说明其经济意义。 【解析】（1）由弹性的计算公式PdQPdQP可得，。 QdPQdPP120分离变量，得

dQdP；两边同时积分，可得lnQln(120P)C，即QC(120P)（CQP120为任意常数）。由于最大需求量为1200，可知Q01200，故C10，因此Q10(120P) （Ⅱ）RQP10(120P)P

边际收益为

dRdRdP1dR(120020P)()2P120，从而dQdPdQ10dQP10080。

它的经济意义是需求量每提高1件，收益增加80万元。

5

（17）(本题满分10分) 设函数fx 10t2x2dt1x0，求fx，并求fx的最小值。

【解析】： 0x1 时，

431xx20x3311222 当x1时，f(x)xtdtx 03f(x)xtdtt2x2dt22x1432xx,0x14x22x,0x133'，从而f(x)f(x)1所以， 2x,x1x2,x134x22x,0x1由导数的定义可知f(1)2,，可知f(x) 2x,x1''易知，当x0,时，f(x)0；当x12'1,1时，f'(x)0；当x1,时，f'(x)0。2可知，f(x)的最小值为f（18）(本题满分10分) 设函数fx连续，且满足【解析】：

x11 24x0fxtdtxtftdtex10x00xx，求fx

xfxtdt做变量替换uxt，则fxtdtfudufudu

00xx则代入方程可得：

x0fuduxftdttftdtex1

00两边同时求导数可得：

fxftdtex0x1

x由于fx连续，可知

ftdt可导，从而fx也可导，故对上式两边在求导可得：

0fxfxex

由1式两边令x0可得到，f01 解微分方程可得：fx1x1xee 226

（19）(本题满分10分)

x2n2求幂级数的收敛域及和函数。

n0n12n1

x2n2【解析】：易知的收敛半径为1,且当x1与x1时，级数收敛,

(n1)(2n1)n0可知幂级数的收敛域为[1,1].

x2n22x2n1令f(x)，两边同时求导可得：f(x).

n0(n1)(2n1)n02n1两边再求导可得f(x)积分可得f(x)ln2n2xn02. 21x1xC. 1x由于f(0)0，可知f(x)ln(1x)ln(1x)， 再积分可得f(x)(1x)ln(1x)(1x)ln(1x)C. 由于f(0)0，可知f(x)(1x)ln(1x)(1x)ln(1x). 又，f(1)2ln2；f(-1)2ln2

(1x)ln(1x)(1x)ln(1x),x(1,1),. 因此，f(x)2ln2,x111a100a，1，且方程组Ax无解. （20）（本题满分11分)设矩阵A12a2a11a1（1）求a的值. （2）求方程组AAxATT的通解.

7

1a0112a10【解析】：（1）A01，方程组Ax无解，可知a0。

00a22aa23221TT（2）AA222， A2

2222322110010122220112，则通解为k12,kR ATAAT2222000010011（21） (本题满分11分)已知矩阵A230. 000（1）求A.

（2）设三阶矩阵B(1,2,3)满足BBA，记B210099(1,2,3)，将1,2,3分别表示为

1,2,3的线性组合。

112【解析】： （1）EA23032，可知A的特征值为：0,1,2。

0031030112A230011，则0的特征向量为2

20000001111101AE220001，则1的特征向量为1

001000011012112A2E210001，则2的特征向量为2

0002000

8

3110111令P212，则PAP,APP,

2002则有

1009999311022212100100A99P99P121212122212992000210112（2）BBA可知 B210022982299 0BA99，即

29921299321002121000022982299， 012312则122992110022，212991121002，32298122992

2（22） (本题满分11分)设二维随机变量(X,Y)在区域D{(x,y)|0x1,xyx}服从均

1匀分布，令U0XY XY（1）写出(X,Y)的概率密度.

（2）问U与X是否相互，说明理由。 （3）求ZUX的分布函数F(Z).

3(x,y)D1【解析】：（1）D的面积S(xx)dx，则(X,Y)的概率密度f(x,y).

00其他312（2）fX(x)xx23dy3(xx2)，0x1f(x,y)dyx

0其他 FX(x)0x03fX(t)dt2x2x30x1

1x1

9

0x0230x1，可知X与U有关，故不。 当U0时，P{Xx}3x2x1x1（3）F(z)P{Zz}P{XUz}

P{U1}P{XUz|U1}P{U0}P{XYz|U0}

11P{Xz1|U1}P{Xz|U0}22

0x00x032230x1,P{Xx|U1}4x3x20x1 其中P{Xx|U0}3x2x1x11x10z132故P{Xz1|U1}4(z1)23(z1)1z2

1z20z0P{Xz|U0}3z22z30z1.

1z10,z013z22z3,0z12从而F(z) 3114(z1)23(z1)2,1z2221,z2ì23xï,0ïî0,其中(0,)为未知参数，X1,X2,X3为来自总体X的简单随机样本, 令Tmax{X1,X2,X3} （1）求T的概率密度。 （2）确定a，使得E(aT).

10

【解析】：（1）T的分布函数为

FT(x)P{Tx}P{X1x,X2x,X3x}

P{Xix}i13 （F(x)为X的分布函数）.

[F(x)]39x82则T的概率密度为fT(x)3[F(x)]f(x)90(2)ET

0x其他.

xfT(x)dx9x909dx99a10，则E(aT)aET，可知a. 10109 11

2017全国研究生入学考试考研数学三试题

本试卷满分150，考试时间180分钟

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

1cosx,（1）若函数f(x)axb,（A）abx0,x0,在x0，处连续，则（ ）

11 （B）ab 22（C）ab0 （D）ab2

（2）二元函数zxy(3xy)的极值点是（ ）

（A）(0,0) （B）(0,3) （C）(3,0) （D）(1,1) （3）设函数f(x)可导，且f(x)f(x)0，则（ ）

（A）f(1)f(1) （B）f(1)f(1) （C）f(1)f(1) （D）f(1)f(1)

（4）设级数

11sinkln1收敛，则k（ ） nnn2（A）1 （B）2 （C）1 （D）2

（5）设是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则

（A）E不可逆 （B）E不可逆 （C）E2不可逆 （D）E2不可逆

TTTT200210100（6）设矩阵A021，B020，C020，则 001001002（A）A与C相似，B与C相似 （B）A与C相似，B与C不相似

（C）A与C不相似，B与C相似 （D）A与C不相似，B与C不相似 （7）设A,B,C为三个随机事件，且A与C相互，B与C相互，则AB与C相互的充要条件是

（A）A与B相互 （B）A与B互不相容

1

（C）AB与C相互 （D）AB与C互不相容 （8）设X1,X2不正确的是 （A）

1nXn(n2)为来自总体N(,1)的简单随机样本，记XXi，则下列结论中

ni1(Xi1nni)2服从2分布 （B）2(XnX1)2服从2分布

（C）

(Xi1iX)2服从2分布 （D）n(X)2服从2分布

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）

(sin3x2x2)dx _______。

t（10）差分方程yt12yt2的通解为yt_______。 （11）设生产某产品的平均成本CQ1eQ，其中Q为产量，则边际成本为_______。

（12）设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数，且df(x,y)yeydxx(1y)eydy，f(0,0)0，则

f(x,y)_______。

101(13)设矩阵A=112，1,2,3为线性无关的3维列向量组，则向量组1,2,3的

011秩为_______。

(14)设随机变量X的概率分布为P{x2}1，P{x1}a，P{x3}b，若EX0，则2DX_______。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)求limx0x0xtetdtx3。

2

y3(16) (本题满分10分)计算积分dxdy，其中D是第一象限中以曲线yx与x轴24(1xy)D为边界的无界区域。

(17) (本题满分10分)求lim

(18) (本题满分10分)已知方程

kkln(1)。 2nnnk1n11k在区间(0,1)内有实根，试确定常数k的取值范围。

ln(1x)x 3

（19）（本题满分10分）设a01，a10，an11(nanan1)(n1,2,)，S(x)为幂级数n1axnn0n的和函数，

（I）证明幂级数

axnn0n的收敛半径不小于1；

（II）证明(1x)S(x)xS(x)0（x(1,1)），并求S(x)的表达式。

（20）（本题满分10分）设三阶矩阵A(1,2,3)有3个不同的特征值，且3122， （I）证明r(A)2；

（II）若123，求方程组Ax的通解。

（21）（本题满分10分）设二次型f(x1,x2,x3)2x1x2ax32x1x28x1x32x2x3在正交变换

2，求a的值及一个正交矩阵Q。 xQy下标准形为1y122y2222

4

（22）（本题满分11分）设随机变量X,Y相互，且X的概率分布为P{X0}P{X2}1，22y,0y1, Y的概率密度为f(y)其他,0,（I）求P{YEY}；

（II）求ZXY的概率密度。

（23）(本题满分10分)某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的。设n次测量结果为X1,X2,Xn相互且服从正态分布N(,2)，该

工程师记录的是n次测量的绝对误差ZiXi(i1,2,（I）求Z1的概率密度；

（II）利用一阶矩求的矩估计量； （IIII）求的最大似然估计量；

n)，利用Z1,Z2,Zn估计



5

2017全国研究生入学考试考研数学三解析

本试卷满分150，考试时间180分钟

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. 1cosx（1）若函数f(x),x0,在x0，处连续，则（ ）

axb,x0,（A）ab12 （B）ab12 （C）ab0 （D）ab2【答案】（A）

【解析】由f(x)在x0连续可得limx0f(x)f(0)

1lim1cosxx1x0axlim2x0ax2a，f(0)bab12 （2）二元函数zxy(3xy)的极值点是（ ）

（A）(0,0) （B）(0,3) （C）(3,0) （D）(1,1)【答案】

【解析】zxy(3xy)xyy(32xy) zyx(3xy)xyx(3x2y) zxx2y，zxy32x2y，zyy2x

验证可得（A）、（B）、（C）、（D）四个选项均满足zx0zy0

其中（D）选项对应

Azxx(1,1)2，Bzxy(1,1)1，Czyy(1,1)2

满足ACB230，所以该点为极值点.。 （3）设函数f(x)可导，且f(x)f(x)0，则（ ）

（A）f(1)f(1) （B）f(1)f(1) （C）f(1)f(1)

1

D）f(1)f(1) （

【答案】（C）

【解析】令F(x)f2(x)，则有F(x)2f(x)f(x)，故F(x)单调递增，则F(1)F(1)，即

[f(1)]2[f(1)]2，即f(1)f(1)，故选C。

（4）设级数

11sinkln1收敛，则k（ ） nnn2（A）1 （B）2 （C）1 （D）2

【答案】（C） 【解析】由sin1111111k1kln(1)o()ko()nnn6n3n3n2n2n21k11(1k)23o(2)，

n2n6nn又

11[sinkln(1)]收敛，故有k10，即k1，故选C。 nnn2（5）设是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则

（A）E不可逆 （B）E不可逆 （C）E2不可逆 （D）E2不可逆

【解析】选项A:由(E)0可知，(E)X0有非零解，故E即E不可逆。选项B:由r()1知，的特征值为0,0,TTTTTTTTT0,

T0,1，

(n1)个故E+的特征值为1,1,T1,2，因此E+T20，可逆。选项C:同理可得E+2T的特

(n1)个征值为1,1,T1,3，故E+可逆。选项D:同理可得E2的特征值为1,1,1,1，2T30，

(n1)个(n1)个故E2T10，可逆。

200210100（6）设矩阵A021，B020，C020，则 001001002（A）A与C相似，B与C相似 （B）A与C相似，B与C不相似

（C）A与C不相似，B与C相似 （D）A与C不相似，B与C不相似

2

【答案】（B）

【解析】由（EA）=0 可知A的特征值为2,2,1。

3r(2EA)1。 A可相似对角化，且A100020 002由EB0 可知B的特征值为2,2,1。

3r(2EB)2。B不可相似对角化，显然C可相似对角化，

AC。且B不相似于C。

（7）设A,B,C为三个随机事件，且A与C相互，B与C相互，则AB与C相互的充要条件是

（A）A与B相互 （B）A与B互不相容 （C）AB与C相互 （D）AB与C互不相容 【答案】（C）

【解析】由AB与C，得

P((AB)C)P(AB)P(C)P(ACBC)(P(A)P(B)P(AB))P(C)

P(AC)P(BC)P(ABC)(P(A)P(B)P(AB))P(C)，又由A与C，B与C得P(ABC)P(A)P(B)P(C)。 由此验证（A）（B）（C）（D）四项，

又（C）选项可得P(ABC)P(A)P(B)P(C)。

（8）设X1,X2不正确的是 （A）

1nXn(n2)为来自总体N(,1)的简单随机样本，记XXi，则下列结论中

ni1(Xi1nni)2服从2分布 （B）2(XnX1)2服从2分布

（C）

(Xi1iX)2服从2分布 （D）n(X)2服从2分布

【答案】（B） 【解析】（A）XiN(0,1)故(Xi)2i1n2(n)；

3

（B）XnX1N(0,2)XnX122N(0,1)

xxn12(xnx1)2即

222(1)

2(1)。

n1n22（C）由S(XiX),(n1)S(XiX)2n1i1i12(n1)。

（D）(X)1N0,，则n(X)nN(0,1)，所以n(X)22(1)。

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）

(sin3x2x2)dx _______。

【答案】

32。

【解析】由对称区间上积分的性质可知，

(sin3xx)dx22xdx2232。

（10）差分方程yt12yt2的通解为yt_______。 【答案】ytC2tt1tt2,CR。 2t【解析】由yt12yt2可得齐次特征方程为r20，得r2，故其齐次方程的通解为

yC2t，设y*at2t，代入得a11tt，故通解为ytC2t2,CR。 22Q（11）设生产某产品的平均成本CQ1e【答案】C(Q)1e【解析】

Q，其中Q为产量，则边际成本为_______。

(1Q)。

C(Q)1eQ得C(Q)Q(1eQ)， Q4

则边际成本为：C(Q)1eQ(1Q)。

（12）设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数，且df(x,y)yeydxx(1y)eydy，f(0,0)0，则

f(x,y)_______。

【答案】xyey。

yyyyfx,yyedxxyec(y)fx1yefye【解析】由题可知，x，y，，

fyxeyxyeyc(y)xeyxyeyf0,00fxy,eyxy0，，即c()即c(y)c，，故c0，即y。

101(13)设矩阵A=112，1,2,3为线性无关的3维列向量组，则向量组1,2,3的

011秩为_______。

【答案】2 【解析】 由

于

1,,2线性无关，可知矩阵

(1,2,3)可逆，故

r(A1,A2,A3)r(A(1,2,3))r(A)，不难计算的r(A)2，故r(A1,A2,A3)2。

(14)设随机变量X的概率分布为P{x2}1，P{x1}a，P{x3}b，若EX0，则2DX_______。

【答案】

9 2【解析】

由分布律的归一性可知

11ab1，又由于EX0，可知21a3b0，解得221111199a,b，从而EX2(2)21232,DXEX2(EX)2。

4424422三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)求limx0x0xtetdtx3。

【解析】先对变上限积分

x0xtetdt作变量代换uxt，得

5

x0x 0xtetdtxuexu(du)ex0ueudu

则由洛必达法则可知： 原式=limx0exx0ueudux3x2

=

2lim3x0x0ueuduxex2 32=lim3x0xex2

1x3xexe2xxex2 13xexex22=lim3x02 3y3(16) (本题满分10分)计算积分dxdy，其中D是第一象限中以曲线yx与x轴24(1xy)D为边界的无界区域。

【解析】

积分区域如图所示，选用直接坐标计算该积分，先对y积分，后对x积分得

6

原式dx0x0y3dy(1x2y4)2yx

x1dy4dx0(1x2y4)24011x|dx024204(1xy)111()dx22041x12x11(arctanxarctan2x)|0421(1)82

(17) (本题满分10分)求limkkln(1)。 2nnk1nn【解析】由定积分的定义式可知

1nkk1原式=limln1xln1xdx，再由分部积分法可知：

nnn0k1n21x111x21210xln1xdx20ln1xdx12ln1x|002dln1x

11112x1dxx1|1020441(18) (本题满分10分)已知方程【解析】 令f(x)11k在区间(0,1)内有实根，试确定常数k的取值范围。

ln(1x)x11，

ln(1x)x111ln2(1x)1xx222f(x)(1x)ln(1x)xx2(1x)ln2(1x)2

令g(x)(1x)ln(1x)x，可得

7

2 g(x)ln2(1x)2ln(1x)2x ln(1x)xg(x)20,x(0,1)1x故g(x)在[0,1]上单调递减，从而x(0,1)时g(x)g(0)0 故g(x)在[0,1]上单调递减，从而x(0,1)时g(x)g(0)0 因此有f(x)，可知f(x)在(0,1]上单调递减，从而f(1)011，ln211111，则要使得在内有实根，必有。 limf(x)lim1k(0,1)f(x)kx0x0ln(1x)x2ln22（19）（本题满分10分）设a01，a10，an11(nanan1)(n1,2,)，S(x)为幂级数n1axnn0n的和函数，

（I）证明幂级数

axnn0n的收敛半径不小于1；

（II）证明(1x)S(x)xS(x)0（x(1,1)），并求S(x)的表达式。

【解析】（I）由an11(nanan1)，两边同时减去an可知 n1an1an1(anan1) n1(1)n(1)n(a1a0) (n1)!(n1)!(1)k1

k!k1n11aa(an1an2)进而有n1nn1n(1)n1(1)n2(1)n1an2从而有anan1n!(n1)!n!则limnanlimn1nn12!1limnn1，故收敛半径R1； n!n（II）由逐项求导定理可知S(x)naxnn1n1

故(1x)S(x)(1x)

naxnn1n1nanxn1n1nanxn

n18

(n1)an1xnanx(n1)an1nanxna1x

nnn0n1n1xS(x)anxn0n1an1xn

n1则(1x)S(x)xS(x)(n1)an1n1nanan1xna1x

由an11(nanan1)可知(n1)an1nanan10， n1又由于a10，故(1x)S(x)xS(x)0

cex解此微分方程可得S(x)

1xex又由于S(0)a01，可知c1，从而S(x)。

1x（20）（本题满分10分）设三阶矩阵A(1,2,3)有3个不同的特征值，且3122， （I）证明r(A)2；

（II）若123，求方程组Ax的通解。

【解析】()由3122可知1,2,3线性相关，从而r(A)2，可知0为A的一个特征值，设A的另外两个特征值为1,2，由于A有三个互不相同特征值，可知A可以相似对角化，从而A12相似于对角矩阵，由于1,20，可知r()2，从而r(A)r()2。 0()先求Ax0的通解：由于r(A)2，可知Ax0的基础解系中仅含有一个向量，从而Ax01的任何一个非零解均为Ax0的基础解系。由于3122，可知A212230，

111因此2即为Ax0的基础解系，Ax0的通解为k2,kR。再求Ax的特解：显然

11

9

1111A1，因此1即为Ax的特解，综上所述，Ax的通解为k21,kR 1111（21）（本题满分10分）设二次型f(x1,x2,x3)2x1x2ax32x1x28x1x32x2x3在正交变换

2，求a的值及一个正交矩阵Q。 xQy下标准形为1y122y222221422【解析】二次型的矩阵为A111，由于二次型在正交变换下的标准形为1y12y2，

41a可知0为A的一个特征值，从而A3a60，可得a2。要计算正交矩阵Q，先求A的特

2征值，则由

EA1411141(6)(3)0，得A的特征值为0,6,3。

21112， 先求0的特征向量：Ax0的基础解系为12，单位化得1611111再求6的特征向量：(A6E)x0的基础解系为20，单位化得20， 2111111，故再求3的特征向量：(A3E)x0的基础解系为31，单位化得331122Q(2,3,1)022

333333666 3661，2（22）（本题满分11分）设随机变量X,Y相互，且X的概率分布为P{X0}P{X2} 10

2y,0y1, Y的概率密度为f(y)0,其他,（I）求P{YEY}；

（II）求ZXY的概率密度。

【解析】（Ⅰ）由数字特征的计算公式可知：EYyf(y)dy2y2dy012。 32224则P{YEY}PY3f(y)dy32ydy。

039（Ⅱ）先求Z的分布函数，由分布函数的定义可知：FZ(z)P{Zz}P{XYz}。 由于X为离散型随机变量，则由全概率公式可知

P{X0}P{XYz|X0}P{X1}P{XYz|X1}FZ(z)P{XYz} 11P{Yz}P{Yz1}2211FY(z)FY(z1)22

（其中FY(z)为Y的分布函数：FY(z)P{Yz}

（23）(本题满分10分)某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的。设n次测量结果为X1,X2,Xn相互且服从正态分布N(,2)，该

工程师记录的是n次测量的绝对误差ZiXi(i1,2,（I）求Z1的概率密度；

（II）利用一阶矩求的矩估计量；

（IIII）求的最大似然估计量；

n)，利用Z1,Z2,Zn估计



,【解析】（I）因为Xi~N(y22),2，)对应的概率密度为，所以YiXi~N(021fYye2，设Zi的分布函数为Fz，对应的概率密度为f(z)；

2当z0时，Fz0；

当z0时，FzP{Ziz}P{Yiz}P{zYiz}zz1e2y222dy；

11

z22e2, z>0则Zi的概率密度为f(z)F(z)2；

0, z02 （II）因为EZi0222，所以EZi，从而的矩估计量为ze2dz222z21Z2ni1ni2Z；

n（II）由题知对应的似然函数为L(z1,z2,...,zn,)ni121ezi222，取对数得：

dlnL()n1zi2zi2dlnL()2，所以，令0， lnLlnln32dd2i1i11n21n2得zi，所以的最大似然估计量为Zi。 ni1ni1

12

2018全国研究生入学考试考研数学三试题

本试卷满分150，考试时间180分钟

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.

1. 下列函数中，在x0处不可导的是： A.f(x)xsinx C.f(x)cosx

B.f(x)xsinD.f(x)cosx x

2.已知函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且 A.当f'(x)0时，f010f(x)dx0，则

1212B.当f\"(x)0时，f0

C..当f'(x)0时，f0

12D..当f\"(x)0时，f0

12(1x)21x223.设Mdx， Nxdx， K（1cosx）dx，则 2--1xe2222A.MNK B.MKN C.KMN D.KNM

4.设某产品的成本函数C(Q)可导，其中，Q为产量，若产量为Q0时平均成本最小，则

A.C'(Q0)0 B.C'(Q0)C(Q0) C.C'(Q0)Q0C(Q0) D.Q0C'(Q0)C(Q0)

1105. 下列矩阵中，与矩阵011相似的是

00111-1101 A.011B.011

001 001

111101 C.010 D.010001001 

A.r(A AB)r(A) B.r(A BA)r(A) C.r(A B)max{r(A),r(B)} D.r(A B)r(A B) 7.设随机变量X的概率密度f(x)满足f(1x)f(1x),= 。

A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6

TT

6.设A,B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，（X Y）表示分块矩阵，则

20f(x)dx0.6，则P{x＜0}1n8.已知X1，X2.....Xn为来自总体X~N(,)的简单随机样本，XXi，

ni121n1n2*S(XiX)，S(Xi)2，则（） n1i1n1i1A.

n(X)n(X)~t(n) B.~t(n-1)

SSn(X)n(X)~t(n)~t(n-1) D.

S*S*C.

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.

9. f(x)x2lnx在其拐点处的切线方程是 。

10. earcsin1edx= 。

11. 差分方程yxyx5的解为= 。

22x2x

12. 函数f(x)f(xx)f(x)2xf(x)xo(x)，且f(0)2，则f(1)= 。

13. 设A为3阶矩阵，1，2，3为线性无关的向量组，若

A12123，A2223，A3-23，则A的实特征值

为 。

14. 已知事件A,B,C相互，P(A)P(B)P(C)1，P（AC|AB）= 。 2

三、解答题：15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. lim[(axb)ex]2，求a,b

x1x16. 求

22，D由xdxdyy3(1x)与yD3x，y轴围成。

17. 一段绳子总长为2m，分成三段，分别围成圆形，正方形，正三角形。三个图形的面积

之和有最小值吗？若有，求出最小值。

118. 已知cos2xanxn，求an。 2(1x)n019. 设数列xn满足：x10，xnenxn1exn1，n=1，2，......

证明：数列{xn}收敛，并求limxn。

20.（本小题11分）

设实二次型f(x1,x2,x3)(x1x2x3)(x2x3)(x1x3)， 其中为是参数。

（1）求f(x1,x2,x3)0的解。 （2）求f(x1,x2,x3)的规范形。

21.（本题满分11分）

22212a1a2已知a是常数，且矩阵A130可经初等列变换化为矩阵B011。 27a111（1）求a；

（2）求满足AP=B的可逆矩阵P.

22. 已知随机变量X，Y相互，且P(X1)P(X1)分布，Z=XY （1）Cov(X,Z). （2）求Z的分布律.

1，Y服从参数为的泊松2123. 已知总体X的密度函数为f(x,)e,x。x1,x2,........xn为来自总体

2X的简单随机样本，为大于0的参数，的最大似然估计量为 （1）求。 （2）求E,D.

x

2018考研数学三参

一、选择题

1.D 2.D 3.C 4.D 5.A 6.A 7.A 8.B

二、填空题

x2x2x1x9. y4x3 10. earcsin1e1eC12. 2e 13.2 14. 13

三、解答题

15.令x1t则： 1(abt)ettlim0(atb)etttlim10t2 则lim(t0abt)et10a1 原式(abt)et1tlim0ttlimtt0e(abt)be

tlimet0(abtb）2

则ab2b1

216.原式=

21x2)22220dx3(3xxdy320x((1x)x)dx2232230x21x2dx-30xdx

3332-（3-2）1632

11.yC25

17.解：设圆的周长为x，正三角周长为y，正方形的周长为z，由题设xyz2，则目

x213y2z2x232z2()()y，故拉格朗日函数为 标函数：S（）2223443616x232z2L（x,y,z,）y(xyz2)则：

43616Lxx0 2LyLz23y0 362z0 16Lxyz20

解得x26381. ，y,z,3343343343341.

此时面积和有最小值S

18题

334114nx2n2n由题知：cos2x2xn02n!n02n!nn11x2nnn11n1n'x'1nx1n1x1xn0n0n11n2nn1ncos2x4x1n1x2n01xn02n!1n1kk2k114,n2k2k!ank0,1,22k2,n2k119.证明：设f(x)e1x,x0,则有

x

ex1 f'(x)e10,因此f(x)0,1，

xx

ex1-1从而e1,x20;

x1x2猜想x10,现用数学归纳法证明； n1时，x10,成立；nk(k1,2,......)时，有xk0,则nk1时有假设

exk1exk11,所以xk10;xe

因此xn0,有下界.

exn1exn1xn又xn1xnlnlneln; xnxnxne设g(x)e1xe,

xxx0时，g'(x)exexxexxex0,

所以g(x)单调递减，g(x)g(0)0,即有e1xe,

xxexn1因此xn1xnlnln10,xn单调递减. xnxne由单调有界准则可知limxn存在.

n设limxnA,则有AeAeA1;

n因为g(x)ex1xex只有唯一的零点x0,所以A0.

x1x2x30,20.解：(1)由f(x1,x2,x3)0得x2x30,系数矩阵

xax0,31211110A101011,

10a00a2 a2时，r(A)3,方程组有唯一解：x1x2x30;

2 a2时，r(A)2,方程组有无穷解：xk1,kR.

1y1x1x2x3,这是一个可逆变换，(2) a2时，令y2x2x3,

yxax,133因此其规范形为y1y2y3;

222a2时，f(x1,x2,x3)(x1x2x3)2(x12x3)2222x122x26x32x2x36x1x3x23x323(x2x3)22(x2),222此时规范形为y12y2.因此其规范形为y1y2y3; 21解：（1）A与B等价，则r(A)=r(B),

222

12A131 又所以B0a12a3901a1212a0,

0r3r11300a227a11r3r10111a2(2)AP=B，即解矩阵方程AX=B:

0a13122106344122(A,B)130011r012111272111000000-6k13-6k24-6k34的P2k112k212k31;kk2k31又P可逆，所以P0，即k2k3，-6k13-6k24-6k34最终P2k112k212k31，其中k1，k2，k3为任意常数，且k2k3kk2k31

22.解：（1）由已知P{X1}11 ，P{X1}，Y服从的泊松分布，22所以cov(X,Z)cov(X,XY)E(X2Y)E(X)E(XY)

E(X2)E(Y)E2(X)E(Y)D(X)E(Y).

（2）由条件可知Z的取值为0，1，2......

P{Z0}P{X1,Y0}P{X1,Y0}e,

P{Z1}P{X1,Y1}k11e,P{Z1}P{X1,Y1}e,22

1e 同理，P{Zk},k1,2......,2k！P{Z0}e.

23. 解：（1）由条件可知，似然函数为

x1n1 L()e,x1R,i1,2...n,

i12xinx取对数：lnL()ln2ln2lni,i1i1nxidlnL()n1xin求导：2i120, di1解得得极大似然估计

xi1in. （2）由第一问可知

xi1in，所以

xE()E(X)1axedx211D(X){E(X2)E2(X)} nnxD()D(xi1n1n)x121a121a22{xedx}{xedx}.n2n0n